快速解决圆锥曲线中点弦问题的方法

正一、从一道课本习题的求解说起例1(人教A版选修2-1第80页,复习参考题A组第9题)经过点M(2,1)作直线l交双曲线x~2-y~2/2=1于A、B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程.分析由双曲线关于x轴对称可知,当直线l的斜率不存在时,M不可能是AB的中点,故直线l的斜率k一定存在.又已知直线过点M(2,1),要求直线l的方程,只需求出其     

深入探究 必有所得(高二、高三)

题过定点尸(2,3)作直线l,分别与x轴、y轴的正方向交于A、B两点,求使△AOB的面积最小时的直线方程. 经过求解,我的答案是 3x Zy一12- 若将尸点坐标改为(2,1)线是x Zy一4一0. 于是我猜想:O.,满足条件的直即m:a一n:b. 在一本参考书上有这么一道题: 已知直线x一y一O,x y一O,点尸(1,2).过点尸作直线l与这两条直线交于x轴上方的两点A、B.当S△AoB面积最小时,求直线l的方程. 如图1所示,直线l过定点尸(m,n),分别与x轴、y轴的正方向交于A(a,o),B(o,b)两点,当△AOB面积最小时, 书上给的参考答案很繁琐,下面我用上述结论和坐标变换来解: 如图2…     

教材中一道习题的探究

《数学》第二册(下B)第51页第4题:“已知正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为1,求直线DA′与AC的距离。下面将从三个方面谈探究解法。一、运用“转化思想”化为易求的图形距离。由课本第49页的两条异面直线公垂线存在性的探求知:两条异面直线的距离,等于其中一条直线(a)到过另一条直线(b)且与这条直线(a)平行的平面的距离。在此基础上提出是否存在分别过两条异面直线的两个平行的平面呢?如果存在,这两个平行平面的距离与这两条异面直线的距离有何关系?据此给出求异面直线距离的思想方法吗?     

也谈环形面积的求法

贵刊1994年第1—2期合刊第74页,卢让珩同志关于环形面积的求法和1994年第5期第41页,郝增祥同志推导的环形面积公式,对拓宽学生的知识面是有益的。但用卢、郝     

一道课本例题的探究与延伸推广

<正>1 课本例题的探究人教A版选修2-1中第70页例5:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.此题细细研究,较为有意思,其结论较为优美.考虑其逆命题:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,过B作平行于抛物线对称轴的直线BD交准线l于点D,则直线AD过抛物线顶点O.其逆命题也较为有趣,经推证命题也成立,简证如下:设直线AB的方程为     

三角形的坐标面积公式及其应用

<正>我们先从2015年上海高考数学文科第22题说起.试题如图1,已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于点A、B和C、D,设AOC的面积为S.(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明     

“面积的认识”教学实录

教学内容：人教版教材三年级下册第71页。 教学过程： 一 整体感知 师：孩子们,你们知道今天要学什么内容吗？ 生：知道,面积。 师：那你们曾经听说过“面积”吗？ 生：在我做题时,爸爸跟我说过面积。 生：我家买房的时候,提到过面积。     

问题3.9

已知四边形ABCD，过点A作一条直线l,使直线l平分四边形ABCD的面积。     

一道课本例题的拓展与利用

教材中,有不少典型的例题,对它们的探究,能激发学生学习数学的兴趣,培养学生的探索精神,本文介绍的是对普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2-1第70页例5的拓展探究与利用.原题过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.     

圆锥曲线的弦对顶点张直角的一组性质

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件:设直线l与抛物线y2=2px相交于A、B两点,则OA⊥OB(O是坐标原点)的充要条件是直线l过定点(2p,0).文[1]还对有心圆锥曲线的弦对对称中心张直角进行了研究并获得了一组结论.本文给出关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件.定理1设椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A,上、下顶点分别为B、B1,直线l与椭圆交于C、D两点,则(1)AC⊥AD的充要条件是直线l过定点M1(a(aa22+-bb22),0);(2)A1C⊥A1D的充要条件是直线l过定点M2(-a(aa22+-b b22),0);(3)BC⊥BD的充要条件是…     

也谈环形面积公式的推导

贵刊1994年第1—2合期第74页上,卢让珩同志就环形面积的求法所提出的设想及对所作的验证有人提出异议。我认为是对的。可作如下推导证明:     

一类直线系方程的应用

由全国日制普通高中教科书（必修）88页第4题，不难得到下面结论：设l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0是两条相交直线，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0（＊）表示过l1与l2交点的直线系（不含直线l2）。     

中心对称图形一个性质的妙用

先看人教九年级(上)第69页拓广探索第8题:如图1,过菱形对角线交点的一条直线,把菱形分成了两个梯形,这两个梯形是全等的吗?为什么?为了叙述问题的方便,不妨设菱形的四个顶点分别为A、B、C、D,菱形的两条对角线相交于点O,EF为过点O的一条直线分别交AB、CD于点E、F.于是问题转化为判断梯形AEFD与梯形CFEB是否全等?     

对直线和平面平行的判定定理证明的一点想法

人民教育出版社出版的高级中学课本《立体几何》(必修 )第 1 8页 ,是这样给出直线和平面平行的判定定理及其证明过程的 :“直线和平面平行的判定定理　如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 ,那么这条直线和这个平面平行 .图 1已知 :a α,b α,a∥ b(如图 1 ) .求证 :a∥α.证明 :∵ a α,∴ a∥ α或 a∩α=A.下面证明 a∩ α=A不可能 .假设 a∩α=A.∵a∥ b,∴ A b.在平面 α内过点 A作直线 c∥ b.根据公理 4 ,a∥ c,这和 a∩ c=A矛盾 ,所以 a∩α=A不可能 .∴a∥ α.”这一经典证法是多年来许多教材所选用的证明方法 .这种证…     

一个最值问题的探究

正问题:过点M(2,1)的直线l分别与x,y的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程。·y x B O A M(2,1)探究一:解法探究分析一:由于题中的直线l斜率存在且过定点M(2,1),所以在设直线l的方程上可优先选用点斜式。利用直线l方程可求出直线l在x,y上的截距,然后利用面积公式进行求解。     

对一道课本习题的探究

普通高中课程标准实验教科书苏教版《数学1》（必修）第95页32题：如图1，已知过原点O的直线与函数Y=log8 x的图象交于A，B两点，分别过A，B作Y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点。     

课本习题中的小秘密

苏教版必修二课本第77页有这样一道习题：已知两条直线alz＋61y＋1=O和a2x＋62y＋1=0都过定点A（1,2）,求过两点P,（a1,b1）,P2（a2,b2）的直线方程．本题的解法是：因为两直线都过A（1,2）,所以a,＋2b1＋1=0,a2＋2b2＋1=0．由于（a1,b1）和（a2,b2）均适合方程x＋2y＋1=O,所以所求直线方程为X＋2y＋1=0．这种求直线方程的方法不同于我们求直线方程的常规方法,     

也谈正四棱锥截面的画法

《中学数学教学》1984年第一期介绍了魏克服同志用“迹线法”画多面体截面,其中第四例:“在正四棱锥V一A刀CD中,P〔VA,Q〔V五,R〔VC,过校锥的尸、Q、R作截面。”文中作法仅适用于尸Q于AB,且QR于BC时的情况,没有考虑p口了AB或QR 1 BC。实际上,这题有四种情况,作法各不相同,补充如下。 (幼PQ廿A丑,QR非石C见魏文原解。(2)P口IAB,而QR非BC 连PQ、QR,延长R口、CB相交于E,过E作直线x夕了AB交DA的延长线于F,连结F尸并延长交棱DV于S,连SR,则四边形PQRS为所求截面(图一)。 p赢’厂耸男“ 图一(下转第28页)(上接第34页)(3)…     

作一条直线平分多边形面积

《中小学数学》(初中版)2014年第4期《过任意点都能作一条直线平分三角形面积吗》,文中给出了“过三角形一边上任意点作直线平分三角形面积”的尺规作图方法.文章还提出两个未解决的问题:①过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?②平分三角形面积的直线是否都可以用尺规作出来.本人在平时的教学过程中对这方面问题也积累了一些经验.对于过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?答案是肯定的.其实,不仅对三角形而且对于任意一个平面图形都存在无数条直     

此题推广后很有用(高二、高三)

题已知点A(1,0)和直线l:x=3,动点M到A的距离与到l的距离之和为4. (1)求M点的轨迹T. (2)过A作倾斜角为a的直线与T交于P、Q两点,设d=|PQ|,求d=f(a)的解析式. (第12届培训题78题) 解答见本刊2001年第1期27页,此处从略. 由题设及解答知轨迹为抛物线,A为抛物线的