二次、三次方程解法的演绎

二次方程的解法在中学代数教科书里已分册作了较详细地讲解,本文着重二次方程解法的演绎,希望有助于读者直观理解数的发展,另外对三次方程的解法作扼要的介绍。     

细辨认 莫弄错

《代数》第三册第85页写道:任何一个关于 x 的一元二次方程,经过整理,都可以化成 ax~2+bx+c=0(a≠0)的形式.……二次项系数 a 是不等于零的实数.因为如果 a 等于零,那么这样的方程就不是二次方程了.对于与二次项系数含有字母的方程有关的问题,辨认它是不是二次方程,至关重要.课本上对于一元二次方程的描述.大致有下面几种类型:     

运用三倍角公式求三次方程的解

在古代数学家找到二次方程解法之后,经过六百多年的努力探索才找到三次方程的解法,后人称为卡丹解法。对于标准型的三次方程 x~3 px q=0 (1)卡丹解法系引进变换x=u v (2)将其化为一个二元三次联立方程 u~3 v~3=-q (3) uv=-p/3 (4)这组方程可用二次方程的解法求解。     

一道高中联赛题的别解

1995年全国高中数学联合竞赛第二试的第二题为: 求一切实数p,使得三次方程: 5x~3-5(p 1)x~2 (71p-1)x 1=66p的三个根均为自然数。 解 由观察易知x=1为原三次方程的一个自然数根。 由综合除法,原三次方程可降为二次方程5x~2-5px 66p-1=0(*)。 原三次方程的三个根均为自然数←→二次方程(*)的两个根均为自然数。     

浅谈三次方程根的求解

中学阶段,对于二次函数及二次方程作了详尽的研究,但对于三次方程涉及甚少。实际上,导数进入高中数学,为研究三次函数的图像和性质,进而探求三次方程的根提供了有力的工具。三次方程根的问题在近年的高考和模拟题中常有出现,希望在复习中引起重视。     

第三十三讲 方程·16

5．二元二次方程组 两个二元方程构成的方程组中,若有一个方程是二次的,则称这个方程组是二元二次方程组．     

代数与初等函数复习提要(二) 二元二次方程组

一、二元二次方程组的基本概念方程是含未知数的等式,由于含未知数的个数不同,含未知数的项的次数不同,方程可分为一元一次、一元二次、二元一次、二元二次方程等等。     

巧设二次方程解题

下面三种情形,常常借用二次方程来求解: 第一种情形:如果条件式含有两个结构相同的二次式,则可考虑利用方程的定 义构造二次方程来解答, 例1 设 求 的值. 分析 由于两个条件式 结构相同,故可构造二 次方程 则a1,a2是这个二次方程的两个不等实根,从而 .显然,在此式中令x=-b1,则可得所求的值为-1.(解答略)     

“函数图象告诉了我们些什么”教学思考与认识

依据《数学课程标准》编写的教科书在编排结构体系上作了一些有益的创新，采用螺旋上升的方式呈现重要的概念和思想．比如对方程和函数的处理，就改变了以往“先集中出方程，后集中出函数”的做法，按照“一次”和“二次”的数量关系，交替有序地出现一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数．[第一段]     

“函数图象告诉了我们些什么”教学思考与认识

1 教材背景分析依据《数学课程标准》编写的教科书在编排结构体系上作了一些有益的创新,采用螺旋上升的方式呈现重要的概念和思想.比如对方程和函数的处理,就改变了以往"先集中出方程,后集中出函数"的做法,按照"一次"和"二次"的数量关系,交替有序地出现一次方程(组)、一次函数、二次方程、二次函数.这样处理在分阶段地深化对方程和函数的理解的同时,也强     

关于特殊高次方程的几种解法

鉴于高次方程的特殊解法没有一般规律可循,故学生往往颇感困难.本文给出特殊高次方程的几种解法,作为现行高中代数第三册(甲种本)中有关内容的补充与教学参考. 首先指出:二项方程x~n-α=0在复数城内总是可解的,因为它相当于求数α的n次方根.利用二项方程,可以求解三项方程x~(2n) px~n q=0,这只要令y=x~n,得到辅助方程y~2 py a=0,求出y的两个根即得两个二项方程,从而可求出全部根.当n=2时,三项方程成为双二次方程,其解甚易。对于其它类型的高次方程,特殊解法的核心是通过各种方式实行“降次”,最后归结为二次方程或二项方程求解.     

初中代数中高次方程有关的几个问题

我们知道,一元n次方程当n≥3时,称为高次方程,五次和五次以上的方程可以证明它没有一般解的公式,三次和四次方程虽有求解公式,但不属中学教材范刚,因此在中学特别是初中解高次方程,也只能是一些高次方程的特殊类型。初中代数三册(1981年版)简单的高次方程一节,除介绍双二次方程外,尚有     

三次方程实数根的有关问题

因为函数、方程、不等式之间有密切联系,所以函数、方程、不等式综合问题历来是高考命题的重点,在高中数学新课程之前的高考题中二次方程、二次函数、二次不等式综合题屡见不鲜．随着对导数这一研究函数性质的重要工具考查的日渐深入及高中新课改教材中函数零点、零点存在定理、二分法、三次函数等知识的引入,在高考中悄然出现了三次函数、三次方程、三次不等式的综合性题目,而这些题目大都与三次方程实数根有关．因此研究、总结、归纳三次方程实数根有关问题的常见类型及相应解题策略,对把握今后高考命题的方向,指导学生求解相关问题就显得很有必要．     

坐标轴平移公式在作函数图象中的应用

全国六年制重点中学高中平面解析几何第三章介绍了解析几何的一种重要工具——坐标变换。在这章里介绍了直角坐标系的坐标轴平移变换,给出了变换公式,并研究了利用移轴化简缺xy项的二元二次方程为标准方程。这     

一元三次函数的图象和性质

“一元三次函数、三次方程”问题在中学数学中具有重要地位,与高等数学具有紧密联系,文章以“导数”和“三个二次（即二次函数、二次方程、二次不等式）”知识为工具对一元三次函数图象和性质作全面深刻探讨并获得了一般性的结论,对一元三次方程实根情况进行了深入的探讨,对一元三次函数图象的切线作例示探讨,文章列举了若干典型例题进行分极点分布和函数单调性研究．     

初中《数学》第四册简介

初中《数学》第四册(试用本)共有三章。前两章是代数内容。其中“一元二次方程”一章包含了一元二次方程的解法、根的判别式及根与系数的关系,还包含了能归于一元二次方程解法的一些高次方程、分式方程、根式方程以及一些二元二次方程组的解法。“指数和常用对数”一章包含了零指数、负整数指数、分数指数、n次根式,以及关于常     

英语第三册重难点及综合练习

电大英语课第三学期的教材仍由三部分组成:文字教材、录像带和录音带。文字教材包括《电大英语教科书Ⅲ》、《电大英语学生手册Ⅲ》和《电大英语教师指导书Ⅲ》。教科书共包括18个单元的内容,每单元2讲电视课,教科书的第三节仍着重突出培养学生阅读英语的能     

有关"三个二次"的高考试题综述

"三个二次"即二次函数、二次方程、二次不等式是高考中永恒的主题.三者之间相互联系,相互转化,密不可分,其中二次函数是核心,二次方程、二次不等式是二次函数的特例.本文根据近几年有关"三个二次"的高考试题考查的侧重点不同,试图把有关"三个二次"的高     

“三个二次”在研究函数单调性极值中的工具作用

二次方程、二次函数、二次不等式及其相互关系,统称为"三个二次".二次函数的零点问题就是二次方程实根问题,二次方程的实根(若有)通常就是二次不等式解集的边界.分析零点、二次函数图像、单调性与函数值,数形结合是研究二次相关问题(单调性、极值、最值、参数范围、存在性等)的重要途径.     

对二元二次方程一般形式的研究

二元二次方程所代表的曲线是圆锥曲线（包括退化的圆锥曲线）,本文是对二元二次方程系统的研究,提供了将一般形式的二元二次方程转换为圆锥曲线方程的一般方法。