议“水管问题”──一类延续了近两千年的错误问题

数学问题中，有一类称为“水管问题”的，水地装有进水管、出水管，水有进有出，求流水时间，水池水量等等。这是一类传统的数学问题，在《算术辞典》的第551～558页专有一节，收入题目达30个，该辞典第1259页列出了公元310年左右metrdorus所辑问题集中的一个四管注水问题，我们有理由认为“水管问题”存在了近两千年了。近年来，随着应用问题的不断加强，“水管问题”也愈来愈多地在中小学教学中被采用，请看下面两例：例1，水池装有编号为①～⑤的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同开两条水管，注满水池的时间如下表：那么…     

构造方程和不等式解竞赛题

方程和不等式是数学竞赛中的常见内容,有些数学竞赛题表面上看很难,似乎与方程和不等式无关,其实,只要你认真审题,就会发现可以通过构造方程并结合不等式的有关知识求解。     

初中数学竞赛中常用的解题策略

竞赛题以其难度大,新意浓的特点而代表了活的数学,因此数学竞赛是一种高思维层次、高智力水平的角逐。有些赛题不仅学生难于下手,就是教师有时也可能一筹莫展,本文试就初中数学竞赛中常用的解题策略作一探讨。     

式题速算“六巧”

解一些数学运算竞赛题，只要能恰当、灵活地利用已知条件，就可使繁冗的运算简捷，解答快速。现以最新赛题的解答为例，展示六种活用数据、快速解答式题的技巧，供大家教学时参考。     

从一道数学竞赛题谈起

数学竞赛的关键在于命题,命题的关键在于创新。数学竞赛中一条重要的命题途径就是改造成题,推陈出新。怎样借鉴成题进行改造?在改造过程中又应怎样创新?让我们从一道数学竞赛题谈起。 命题1 设N是等边△ABC外接圆上的任意一点,则在AN、BN、CN三条线段中,必有一条线段是另两条线段之和。 这是波兰第六届数学竞赛试题,由托勒密定理立得如下结论:     

巧构造几何图形炒解竞赛题

有些数学竞赛题,如果从题设和结论的结构特征出发,合理构造已学的几何图形来解,往往会收到事半功倍之效．现举几例说明．     

利用整体求和求积法解数学竞赛题

有些竞赛题如用课本上的一些常规的思维方法来求解,有时不易奏效。但是,如果把它看成一个整体,考察题设与题断的整体结构和特征,弄清条件与结论的内在规律,从整体上进行推算,却有事半功倍之效,现仅用整体求和与整体求积两种思想方法求解一些数学竞赛题,供大家参考,现举例如下:     

活用随机事件间的关系求解概率问题

有些数学竞赛题所涉及的对象之间存在着数量间的大小关系,如果我们能抓住这一本质特征,在不改变原题性质的基础上有目的地将这些对象按大小顺序排列起来,再结合其他数学方法和技巧,往往可使问题获得解决.这种方法叫做排序法,下面举例说明它在解竞赛题中的应用.     

图论方法与国内的数学竞赛

作者丁一鸣.近年来,国内数学竞赛中出现了一类较特殊的试题.解这类题时若能把题设的条件简洁直观地反映到由点、边构成的一个图上,将给有些题目的解答带来极大便利, 这就是所谓图论方法.本文用此法选解了几道竞赛题,意在说明运用此法的规律和特点,并为读者提供了几道可用此法求解的竞赛题.有兴趣的读者不妨一试.     

贴近高考 适当拔高——2002年全国高中数学联赛(第一试)客观题解答

数学竞赛题对高考试题的前瞻性和导向性值得研究 .多年前的竞赛题成为现今高考命题的热点 ,这一现象是有目共睹的 (如二次函数及相关问题 ) .近年来 ,各类竞赛题相继降低门槛 ,越来越贴近高考 ,为高考复习增添了题源、新的思路、方法和新的知识生长点 .如何对竞赛题进行取舍 ,用以借导高考复习 ?竞赛题强调了哪些数学思想方法 ?竞赛题提供了哪些知识生长点 ,拓展了哪些数学知识范围 ?竞赛题为高考题提供了哪些导向和热点 ?等等 ,都值得探讨 .2 0 0 2年的全国高中数学联赛题 (第一试 )的客观题简明朴实 ,活而不难 ,拙中藏新 ,拔高恰当 ,贴近…     

数学情境,一定要真实吗

正数学来源于生活,但数学又不完全等同于生活。随着新课程改革的深入推进,我们都在更加理性地思考自己的数学课堂。关于情境的选取,究竟是要"虚拟"还是要"真实"?这个取舍,是我们教学过程中普遍感到纠结的事情,也是很多专家学者存在广泛争议的话题。笔者结合多年的教学实践和思考认为:情境的选择应根据具体的教学内容而定,可以是真实的,也可以是虚拟的。"一个水池,单打开进水管6小时可以注满水池,单打开出水管8小时可放完水池里的水。问,如果同时打开进、出水管,多长时间可以注满一个空水池?"     

这是“错传错教”吗?

小学数学十册40页第11题;一个施工队安装一条水管,头6天装了224米。照这样的速度,又用了15天把水管全部装完。这条水管一共长多少米?一学生问;设水管共长x米,把它列成6/224=15 6/x的比例式去解对吗?     

不可思议的水管问题

全国初中数学联赛有这样一道有趣的试题:某水池有编号为1,2,……,9的九个水管,有的是进水管,有的是出水管,已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表所示:水管号①②②③③④④⑤⑤⑥⑥⑦⑦⑧⑧⑨⑨①时间(小时)248163162124248496则九个水管一齐开,()小时可把水池灌满.(A)19;(B)12;(C)1;(D)2.解析考虑所有水管的两倍一齐开1小时可灌满水池的几分之几,有12+14+18+116+131+162+1124+1248+1496=1516+31496=1516+116=1,这表明九个水管的两倍开1小时恰好可把水池灌满,所以,九个水管一齐开,2小时可灌满水池,故选D.这里有两个“不可思议”的问题:…     

多思出巧解

有些数学题,特别是某些内涵丰富的竞赛题,已有的解法似乎巳很巧妙,但多思以后,通常能发现更为简捷、更为巧妙、或更有章可循的解法.例如下题:题 线段AC与BD相交于一点P,使PA=PD,PB=PC,设O是△PAB的外心,求证:OP⊥CD.”(波兰第43届数学奥林匹克最后一轮试题的第一题)     

怎样用R_k解一类数学竞赛题

我们用R_k来记k位都是1的整数11…11。在这里我们仅用R_k的一些有趣性质解决一类数学竞赛题。这类竞赛题如 (1)五十届美国william Lozoell Putnam数学竞赛题 首末两位都是1,中间是0,1交叉的整数1010…101中有多少素数? (2)加拿大赛题     

解题策略(三)

三、列表分析有些数学竞赛题的条件多,且数量关系比较隐蔽。解这类题,通常可采用列表法,把题中的条件一一列举出来。这样列表,会使已知条件和问题一目了然,便于观察、分析。下面就用列表法解答几道题。例1．甲、乙、丙、丁和小强一起进行象棋比赛,每两人都要赛一盘。     

拆项巧算分数（式）求和题

在各类数学竞赛题中,有一类数目庞大、项数繁多的分数（式）求和题．这类题目让人望而生畏,但我们只要仔细分析,就会发现每一个项都可以拆成两项,这一拆项．就为解题创造了条件．下面选取几例谈谈．     

从基本题中找思路

从基本题中找思路景占策一些数学竞赛题，看似比较难解，其实只要仔细分析，就会发现这些题是由简单题组合或引伸而得到的因此，可从简单题入手解答之。例１．已知９５个数ａ１ａ２……ａ９５，每个都只能取＋１或－１两个值之一，那么８１８２＋８１８３十…一ａ９４ａ９...     

与2008有关的赛题

不少数学竞赛题和年号有关,随着2008年北京奥运会的临近,有2008这个数字的竞赛题也不断出现,一般这些题都带有趣味性,下面请看与2008有关的一些竞赛题．     

98上海市“杜邦杯”中学生应用数学竞赛决赛试题及简解

上海市第七届(98“杜邦环”)中学生应用数学竞赛于98年10月举行决赛。竞赛题都是有实际应用背景的问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,其中第四、第五两题是命题老师将近两年大学生数学建模竞赛题简化而成的。