数学通报2596号问题的另证与推广

2021年第4期《数学通报》刊登了彭翕成老师提供的问题2596号如下:1问题呈现如图,在△ABC中作中线BM,已知∠ABM=∠A+∠C,求证:BC=2BM,tan∠BAC/tan∠ABM=3.彭老师给出了利用高中正余弦定理以及三角变换等知识的证明过程,现给出两种利用初中平面几何知识的证法以及对该问题的推广.     

锐角三角函数的创新题

锐角三角函数是初中数学的重要内容.在中考中,出现了以考查创新思维能力为目的的新题型.现归纳总结如下,供你学习时参考. 一、规律探究 例1 如图1,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=1,tan∠BA3C=1/7,计算tan∠BA4C=____,…按此规律,写出tan∠BAnC=_____(用含n的代数式表示).     

同心圆中定值问题的有趣现象

<正>1一次意外所引起的疑问在一次练习中,笔者向学生布置了以下一题:同心圆的圆心是点O,半径分别是1和2,过圆心的直线交大圆于A、B,交小圆于C、D,点P是小圆上任一点.求:tan∠APC·tan∠BPD.本题方法很多,基本方法是分别构建含∠APC、∠BPD或与它们相等的角的直角三角形,将tan∠APC、tan∠BPD表示成线段比的形式,再通过变形化简等步骤获解.这里仅举一个常见的解法:如     

一道高三质检试题的解法赏析

题目已知M,N为直线3x+4y-10=0上两点,O为坐标原点,若∠MON=π/3,则ΔMON的周长最小值为______.解法1:如图1,作OH⊥MN于H,则OH=d=10/√3²+4²=2,设∠HOM=α,则∠HON=π/3-α,OM=2/cosα,ON=2/cos(π/3-α)HM=2tanα,HN=2tan(π/3-α),于是ΔOMN的周长l=2/cosα+2/cos(π/3-α)+2tanα+2tan(π/3-α).     

利用“割补”化斜为直

<正>在实际问题中,我们经常会遇到斜三角形的问题,这时可通过"割"或"补"的方法,将斜三角形恰当地转化为直角三角形进行解答.例1如图1,在△ABC中,∠A=30°,tan B=3^(1/2)/2,AC=23(1/2)/2,AC=23^(1/2),求AB的长.分析∠A=30°,由tan B=3(1/2),求AB的长.分析∠A=30°,由tan B=3^(1/2)/2知,∠B不是特殊角,故可知△ABC不是直角三角形.而欲求AB的长,需用到AC、∠A和tan B,因此,需构造直角三角形把∠A、∠B化为直角三角形中的角,然后运用各元素之间的关系求解.解如图1,过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ABC中,     

第42届IMO试题1的又一三角证明

第42届IMO试题1是一道平面几何题。题目设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明:∠CAB+∠COP<90°. 文[1]给出了一个构思精巧的纯平面几何证明,文[2]给出一个三角证法.笔者在对该题作出研究之     

初中数学基本能力考核探微(续)

4 解决综合问题能力的考核设置情境,通过点、线、图形的运动变化,深层次地考查运用知识和数学思想解决问题的综合能力.例14 已知:如图13,tan∠MON=1/2,点 A 是 OM上一定点,AC⊥ON,垂足为C,AC=4cm,点 B 在线段 OC上,且 tan∠ABC=2.点 P 从点 O 点出发,以每秒5~(1/2)cm 的速度在射线 OM 上匀速运动,点 Q、R 在射线     

几何中的角度问题解法探究

<正>平面几何是立体几何、解析几何的基础,平面几何问题主要是求边、角、面积等类型,掌握这些问题的解法是非常必要的。例1(2010年江西)E,F分别是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则tan∠ECF=()。     

一个三角最值题的多种解法

题目若斜△ABC的内角A、B满足sin B/sin A=2cos(A+B),则tan B的最大值为____.分析1:根据所求目标,分离∠A、∠B,求出tan B的解析式,然后利用“1”的换元,转化为tan A的函数和基本不等式相结合,解决问题.     

一个数学问题的变式探究与应用

问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。     

平面几何用于解析几何

例1 已知椭圆x^2/4＋y^2/3=1上一点P在第三象限,且∠PF2=120°（其中F1,F2是椭圆的两焦点）,求tan∠F1PF2． 解 设∠F1PF2=0,则 ∠PF2F1=60°-θ,     

锐角三角函数考点分析

正在锐角三角函数中,涉及的概念较多,除了解直角三角形的应用以外,还有以下常见的考点.一、三角函数的定义例1如图1,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是().A.2/3B.3/2C.2(13)(1/2)/13D.3(13)(1/2)/13分析:直接求值较难,把∠AOB放进直角三角形中,如图2,在     

一道数学竞赛题的几种证法

题目如图1,⊙O是以AB（A、B为平面内两定点）为直径的圆,M、N是⊙O上（异于A、B）的两个定点,P是线段AB上（不包括A、B两点）的动点．求证：tan∠PMA·tan∠PNB为定值．     

数学综合题归纳与训练 三、几何与代数综合题

几何与代数综合题涉及到初中代数与平面几何、三角函数等多方面的知识 ,只有熟练掌握并注意适时、灵活、综合运用这些知识 ,才能理出思路进而求解 .近年来 ,中考综合题突破了常规 ,在注重知识与方法综合运用的基础上 ,更加注重思维能力的综合考查 .图 1　　例 1　如图 1,已知在平面直角坐标系中 ,⊙O1经过坐标原点 ,且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B .(1)若点O到直线AB的距离为125 ,且tan∠OBA =34,求线段AB的长 ;(2 )若点O到直线AB的距离为125 ,过点A的切线与y轴交于点C ,过点O的切线交AC于点D ,过点B的切线交DO的延长线…     

数学奥林匹克高中训练题(81)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)图11.某抛物线形池塘图1所示,其中A、B池塘边上的两对应,O为池底中心(即抛线顶点).则对于池塘的点C,tan∠CAB tan∠CBA满足().(A)当点C靠近点O,其值增大(B)当点C靠近点O,其值减小(C)无论点C在何处,其值不变(D)无法确定2.定义数列{an}:ai∈0,     

一个结论的导出与应用

1.结论及证明如图1,过抛物线y=ax~2上任意一点P的切线交x轴于A点、PB⊥x轴于B点.若∠POB=α、∠PAB=β,则有tanβ=2tanα     

这样解答正确吗

人教社出版的《全日制普通高中教科书试验修订本必修·第二册·上》第133页第5题如下:两定点的坐标分别为A(-1,0)、B(2,0),动点M满足条件∠MBA=2∠MAB,求动点M的轨迹方程.配套的教参给出了如下的解答:如图1,设∠MBA=α,∠MAB=β,(α>0,β>0),点M的坐标为(x,y),∵α=2β,∴tanα=tan2β=2tanβ1-tan2β,当点M在x轴上方时,tanβ=yx+1,tanα=-yx-2,所以-yx-2=2y1+x1-y2(x+1)2,也就是,3x2-y2=3,当点M在x轴的下方时,tanα=yx-2,tanβ=-yx+1,仍可得上面的方程.又α=2β,∴|AM|>|BM|,因此点M一定在线段AB垂直平分线的右侧,所以所求的轨…     

错在哪里

问题1如图,已知两定点A(-1,0),B(2,0),求使得∠PBA=2∠PAB的点P的轨迹方程.解设直线AP,BP的斜率分别是kAP,kBP,点P的坐标为(x,y),设∠PBA=β,∠PAB=α,因β=2α,则tanβ=tan2α,tanβ=12-tatannα2α.①∵kAP=x y1=tanα,kBP=x-y2=tan(π-β)=-tanβ,∴代入①有-x-y2=2yx 11-x y12②整理得3x2-y2=3,即为点P的轨迹方程.解答错了!错在哪里?评析上述解法有以下几处错误:(1)推导点P的轨迹方程时,只考虑了点P的x轴上方的情况,未对点P在x轴下方的情况进行分析.(2)由题设∠PBA=2∠PAB,从而有|PA|>|PB|,故轨迹在线段AB的垂直平分…     

如何构图求tan15°值

构造法是解题的一种工具,也是一种重要的数学思想方法,课本中30°、45°、60°的正切值就是通过构造特殊的直角三角形而求得,tan15°同样可构造合适的图形求出,而且有多条构造途径,下面介绍几例:途径1:从含30°角的直角三角形中直接分出一个15°角如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,设BC=1,则AB=2,由勾股定理,得AC=#3.作∠CBD=15°交AC于D,则∠DBA=45°,再作DE⊥AB于E,则DE=BE.设DE=BE=k,则AD=2k,AE=%3k,由AB=2得#3k+k=2.∴k=#3-1.故CD=AC-AD=#3-2k=#3-2(#3-1)=2-#3.∴tan15°=tan∠DBC=CBDC=2-#13=2-#3.(还可作∠…     

妙用对称图形解题一例

在平面几何中 ,许多题目由于自身的特殊性 ,有着非常独特、巧妙的解法 .如果不注意其特殊性而一味采用常规解法 ,将会绕弯子 ,甚至劳而无功 .下面的一道例题 ,从其特殊性入手考虑 ,利用对称性 ,很容易求得问题的答案 .例　已知等腰△ABC的顶角∠ BAC=80°,点 O为△ABC内一点 ,且∠ OCB=2 0°,∠ OBC=10°.求∠ OAC和∠ OAB的度数 .解　作点 O关于 AC的对称点 O ,连结 OO 、O C、O A、O B.算出∠ O CA=∠ OCA =30°,则知△ COO 为正三角形 ,有 OC=OO .再计算出∠ BOC=∠ BOO =150°,立得　△ BOC≌△BOO ,∴　∠OO …