关于直线同y轴所成的角

如果直线l同y轴相交,则将直线ι沿逆时针旋转到第一次与y轴平行(重合)时所转过的角,称为ι对于y轴的倾斜角,记作β.如果l与y轴平行或重合,则规定β=0°.因此,0°≤β<180°.把关于y轴的倾斜角的正切,称为关于y轴斜率,记作k_y=tg β,(关于x轴的倾斜角和斜率分别记作a和k_x=tg a) 斜率公式.过两点P(x_1,y_1,),Q(x_2,y_2)(x_1≠x_2)的直线的斜率为k_y=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)。     

关于点到直线距离公式的推导

解析几何课本(甲种本)49页中,对点到直线距离公式的推导,分α<90°和α>90°两种情况,分别得α_1=α和α_1=π-α。讨论相当烦琐。但,如果采用下面的推导方法,将简便得多。在直角三角形中,两直角边为a,b,斜边为c,斜边上的高为d。大家熟知有c~2=a~2 b~2。利用面积相等有:a~2b~2=d~2(a~2 b~2),这样就得另一有趣的简单关系:1/d~2=1/a~2 1/b~2。下面就利用这个关系推导点到直线的距离公式: 已知点P(x_0,y_0)和直线l:Ax By C=0, (1)当A≠0,B≠0,且P不在l上时: 这时l不平行于坐标轴。过P分别作平行于y轴,x轴的直线分别与l交于M(x_1,y_1)和N(x_2,y_2)。在所设条件下,PMN     

高等数学(下)教学要求及期末复习提要

第九章 空间解析几何 1. 理解空间直角坐标系的概念,了解坐标轴上的点及坐标平面内的点的坐标的特殊表示,掌握两点A(x_1,y_1,Z_1)、B(x_2,y_2,Z_2)间的距离公式:会表示三个坐标平面及三条坐标轴,例如xoy平面可表示为z=0,x轴可表示为     

由定比分点公式引出的一个定理的应用

考虑到定比分点公式中λ是有向线段的比,我们可以很容易地得到一个很有用处的定理:过 P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)两点的直线若与直线L:Ax+By+C=0相交于点P,则     

三点共线定理的应用

三点共线定理是:平面上三点(x_1,y_1)(x_2,y_2),(x_3,y_3)共线的充要条件是x_1 y_1 1x_2 y_2 1=0.x_3 y_3 1 关于这个定理的应用大致有两类:一是判断三点共线;二是根据三点共线证明或求解某些特殊问题。本文列举数例说明三点共线定理的后一种应用,供教学参考。     

用构造法解题

有些数学问题,根据其自身结构的特点,联想已学过的知识加以比较,可以构造成已知知识的模型来解决。 1 构造两点间的距离公式求最值 已知P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)两点,则 例1.1 求函数的最小值. 分析 y的表达式近似两个“点与点的距离”之和.如果能够把问题转化为一个动点到两个定点距离之和(构造两点间的距离公式),则最小值问题也就迎刃而解了。 解 如图1,设点P(x,0),A(0,1),B(2,-2),则y就是x轴上的动点P到两定点A,B的距离之和     

定点P关于直线L的对称点的坐标计算公式

求定点P(x_6,y_0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P’的坐标,按照常规的方法是先求出过定点P(x_0,y_0)而且与l_c Ax+By=0垂直的直线方程,然后求出两直线的交点,再利用中点坐标公式,求出对称点P'的坐标。蔡乘湘曾经在《教学与研究》(1987—1)上刊文给出特殊情形(A=±1B=-1)的计算公式。本文将给出一般情形的坐标计算公式,于是蔡乘湘所给出的定理就作为这个公式的特例。值得一提的是所给出的坐标计算公式在形式上与点到直线的距离公式有密切的联系,很容易记忆,计算也方便,推导过程也不困难。     

巧用分点坐标公式解等差数列题

线段的定比分点坐标公式x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y:(y_1 λy_2)/(1 λ),λ=(x-x_1)/(x_2-x)反映了线段的起点P(x_1,y_1)、终点P_2(x_2,y_2)、分点P(x,y)与定     

一种形式 多个结论

我们熟知:当已知线段两端点为P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)、点P(x,y)分所成的比为λ时,点P的坐标是: x=(x_1+λx_2)/1+λ,y=(y_1+λy_2)/1+λ(λ≠-1) 如果我们将上述线段更换为圆柱、棱柱、圆台、棱台、圆锥、棱锥,则可得到一组与线段定比分点坐标公式形式相似的结论: 若换线段为棱台有:结沦一:设棱台上、下底的面积分别为S′、S,平行于两底的截面积为S_0,若截面分高的上、下两部分之比为λ,则:     

构造“点列”解题初探

对于点列P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2、y_2)、P_3(x_3,y_3),有关于它们的直观的几何性质,也有关于它们的代数性质。一些数学问题,若能精心设计,注意构造“点列”来研究,会使解法新颖别致,简洁明瞭。本文试图以课本及有关刊物上的问题为例说明之。     

函数背景下斜三角形面积问题新解

<正>平面直角坐标系中,三边都不在坐标轴上(或不与坐标轴平行)的三角形面积问题,成为了近年中考命题的热点之一.解决此类问题有一定的难度,常用的方法有:割补法,公式法,平行线法等.本文介绍一种全新解法,供大家参考.定理若A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)(x_1≠x_2)为直线y=kx+b(k≠0)上的两点,P(m,n)为直线y=kx+b外一点.则有     

平面解几中的对称问题解法浅谈

解几中的有关对称问题,课本中没有给出系统内容,但解题中又经常用到,本文将结合图形,根据对称特点,找出规律,予以总结.1.“点关于点”的对称.点 P(x_1,y_1)关于 M(x_0,y_0)的对称点 P 的坐标,可由中点坐标公式得出:P′(2x_0-x_1,2y_0-y_1).2.“点关于直线”的对称直线 l 外一点 P(m,n)关于直线.:Ax By C=0(A,B 不同时为零)的对称点 P′的坐标,可利用 PP′与 l 的位置关系——l 垂直且平分 PP′求得,实际上是转化为“点关于点”的对     

平面向量数量积的热点问题

一、平行问题这类问题主要考查向量平行的充要条件:若向量α=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2),且b≠0,则a//b(?) x_1y_2-x_2y_1=0．     

建立几何模型智解代数、三角问题

建立斜率公式模型形如(y_1-y_2)/(x_1-x_2)的分式,可把它理解成平面直角坐标系内,连接两点p_1(x_1,y_1),p_2(x_2,y_2)的直线的斜率,从而把这类问题转化为解析几何中直线的斜率问题.     

学习三角形的行列式面积公式的体会

现行高中代数课本第二册行列式一章中有一道习题如下: 已知三角形三个顶点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。C(x_3,y_3),则三角形的面积 S=1/2(?)的绝对值。(P186第14题) 从该题的证明过程(这里从略)中可知:当A、B、C按逆时针方向排列时,取正号;当A、B、C按顺针方向排列时;取负号。由此题可立即推出;平面上三点(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)共线的充要条件是(?)=0。(P189第27题) 应用这两个公式来解有关三角形面积与三点共线的平面几何问题,可以使解题思路清晰,解答过程简捷。现举例说明如下: 例1 在四边形ABCD内,三角形ABD、BCD。ABC的面积之比是3:4:1,M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,且B、M、N三点共线,试证M、N分别为AC、CD之中点。(83年全国数学竞赛试题二,第三题)。     

错在哪里

1.湖北咸丰李永贵来稿题:过点B(0,-b)作椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的弦;求这些弦的最大值。解设M(x_0,y_0)为椭圆上任一点,由两点间的距离公式可得 |BM|~2=(x_0~2-0)~2 (y_0 b)~2=x_0~2 y_0~2 2by_0 b~2, ①因点M(x_0,y_0)在椭圆上,∴x_0~2=(a~2b~2-a~2y_0~2)/b~2,代入     

公式■·■=x_1x_2+y_1y_2的另一种证法

高中数学第一册(下)(试验修订本)第120页中给出了平面向量的数量积的坐标表示公式:a·b=(x_1i+y_1j)·(x_2i+y_2j)=x_1x_2+y_1y_2;并给出了证明。下面我们给出此公式的另一种证法。     

利用分点公式求曲线方程例谈

在定比分点公式x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ)中,每一个公式均涉及到四个量。这四个量中,只要有三个确定,就可根据分点公式求出第四个;如果只有两个确定,那么其余两个之间的关系也可由分点公式给出。这是利用分点公式求曲线方程的依据。 例1 已知三点A(1,2)、B(4,1)、C(3,4),试求与BC平行,且分△ABC为等积两部分的直线l的方程。 解:如图,设直线l∥BC交AB、AC于P、Q两点     

利用线段长度的不同表示方式解题

<正>设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则A、B两点之间的线段长度一般为:AB=((x_1-x_2)²+(y_1-y_2))2+(y_1-y_2))^(1/2).当两点的横坐标相同时,AB=|y_1-y_2|;当两点的纵坐标相同时,AB=|x_1-x_2|.线段长度的不同表示方式可以简化解题过程,使问题变得简单而清晰,并轻松做到不重不漏.一、简化分类讨论例1(2015年衢州中考题)如图1,已知     

两点之间距离公式的应用

<正>我们在求解涉及二次函数的综合问题时,经常会遇到这样一类问题,即求动点坐标,使得该点与另外两固定点所构成的三角形为直角三角形或等腰三角形.在遇到这类问题时,许多学生会感到比较棘手,无从下手.其实借助勾股定理,灵活运用两点之间的距离公式,问题就会变得比较简单.公式(两点之间距离公式)如图1,点P(x_1,y_1)、点Q(x_2,y_2)为平面直角坐标系中的任意两点,则有