因式分解的若干技巧

因式分解是数学中的一种重要的恒等变形．它在各省、市的初中数学竞赛中时有出现，本文介绍解这类题目的几种技巧，供参考．一、巧添项例1分解团式：x5＋x＋1．（1986年扬州市初中数学竞赛试题）二、巧拆项例2分解因式：4x3－31x＋15＝解原式（1991年“缙云杯”初中数学邀请赛试题）例3分解因式：a2＋2b2＋3c2＋3ab＋4ac＋5bc．（1991年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）解原式三、巧用双十字相乘法（199年‘“给方杯”初中数学邀请赛试题）四、巧配方例5分解因式：。’－y十几～如上3一．门”2年郑州市初二教学团体赛试题、例6分解国式：…     

配方法在解题中的应用

配方法是初中数学中一种重要的解题方法．配方法是指通过拆项、添项等手段把一个代数式或代数式的几个部分变形成完全平方式．借助它，可使很多问题获得巧妙而又迅捷的解答．下面以近年来的竞赛题为例，介绍配方法在解题中的几个应用．一、用于分所因式例1分解困式X‘－7X’十及一＿．门994年“祖冲之杯”初中数学邀请赛初二试题）问原式一（x‘＋ZX’＋1）一gX’一（X’＋n‘一（3X）’一（X叶3x＋1）（x’一3x十I）．例2分解因式a’－b’＋4a＋Zb＋3一．（1992年郑州市初二数学团体赛试题）用原式一（。‘＋4。＋4）－tb’－Zbchl）…     

竞赛中的分式求值问题

纵观近年来的各种初中数学竞赛，分式求值问题屡见不鲜．这类问题涉及的知识面广，灵活多变．解答它们，关键在于找到已知条件和要求公式之间的内在联系，进行适当的变形．下面举例介组若干方法，供参考．（1994年“祖冲之杯”初中数学邀请界初二试题）（1991年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）（1990年四川省初中教学联赛试题）三、添项拼凑法例4已知则的值为。（1993年“五羊杯”初宁教学邀请赛初三试题）由得W、注元后化法倒5已知美一美一早，那么（1992年“育才杯”沈阳市初申数学邀请赛试题）幻6已知x、儿。、a、b‘c皆为实效，至…     

巧用平方策略解求值题

乘方与开方是两种互逆运算．解某些与二次根式有关的求值题时,巧用平方策略,可化繁为简、变难为易．（1993年“希望杯”初二数学邀请赛试题）解已知两等式分别平方,得例2若的值为_____（1998年黄冈市初中数学竞赛试题〕（1994年“缙云杯”初二数学邀请赛试题）解已知等式两边平方,经过适当变形,得例4已知p、q为有理数,满足。的值是（）（1997年安徽省初中数学竞赛试题）q、q为有理数,练习题（1994年“缙云杯”初二数学邀请赛试题）2．若x＝则-1的值是_________＿．（1993年四川省初中数学竞赛试题）巧用平方策略解求值题@安义人…     

数字问题竞赛题的解法

有些复杂的数字问题竞赛题。由于数字太大，式子冗长，令人望而生畏，这时若能冷静观察仔细分析，巧用字母替换数字，常常能使问题化难为易，迅速获解，试举几例说明．例1计算：1992×19941994－1994×19931993＝．（94年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）解设x＝1994，则（93年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）（90年南昌市初中数学竞赛试题）（92年泰州市数学奥林匹克学校初二竞赛试题）（A）p为无理数；下面几题供同学们练习：（91年“希望杯”全国数学邀请赛题）（91年天津市初中数学竞赛试题）（1991年“石室杯”初二数学竞赛试…     

用代换法解求值竞赛题

纵观近几年各省、市初中数学竞赛试题，代数式求值问题是一类热门题型，解这类题目若能根据其结构特征，灵活运用各种代换法，则能使问题化难为易，迅速获解，下面举例说明常用的几种代换法．一、思位代换故应选（B）．＝、整体代换（993年北京市初二数学竞赛复赛试题）把a－b，b－c，a—c各当作一个“整体”进行代换，得三、常值代换（1991年天津市初中数学竞赛试题）四、倒数代换（990年“五羊杯”初中数学竞赛试题）五、降次代换．（1990年“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）两边平方，得02＋x－1=0六、自身代换例6V6－／35＋V6＋／35的…     

解分式求值竞赛题的技巧

纵观近几年各地的数学竞赛，常常出现一些与分式有关的求值问题．解这类题需要利用各种技巧进行适当的恒等变形．下面结合实例介绍解这类竞赛题的几种技巧，供参考．一、巧用分式的基本性质（1991年“希望杯”全国数学邀请赛初一试题：解”．”abc＝1，由分式的基本性质，得二、巧取倒数的值是＿．（1992年上海市初中数学竞赛试题）解已知三式各取倒数，得由以上三式易得例3如果X＋（1988年广州等五城市初中数学联赛试题）三、巧设比值例4已知音一。。‘一”””2（1992年沈阳市“育才杯”初中数学邀请赛试题）例5如果abc学O，且（1987年杭…     

竞赛中多角和的计算问题

数学竞赛中,有时会遇到一些多角和的计算问题．解答它们,经常需要利用下面的性质和定理：1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．任意多边形的外角和等于3er．3．n边形的内角和等于（n－2）·18o．例1如图1,ZA十上B＋／C＋ZD＋LE＝．（1993年“给云杯”初中数学邀请赛试题）gljZ如图2,LA十上B十上C十上D＋ZE十上F等于（）（A）270o;（B）3er;（C）450”;（D）540“．（1993年安徽省初中数学竞赛试题）（1994年“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）解连结EC．练习1．如图4,LA十上B＋LC＋ZD＋ZE（1992年“希…     

根式运算中的常值换元技巧

在根式的化简、求值运算中．若根据数字特征作灵活代换．往往使问题巧妙获解．现举例说明例1化简（1992年山东省初中教学竞赛题）例2（1992年“勤奋杯”全国数学邀请赛初二试题）解发设解设，则xy＝1.∴原式＝（x3＋y3）＋（x＋y）－（x－y）2＝（x2－xy＋y2）－（x－y）2＝xy＝1例4　　　化简的结果是．（1991年湖北黄冈地区初中数学竞赛题）（答案：1．－9；2.选择（C））（1994年《祖冲之杯》数学邀请赛初二试题）根式运算中的常值换元技巧@雷力智$吉林通榆县七中@司秀珍$吉林通榆县七中…     

怎样比较有理数的大小

在数学竞赛中,常常出现比较有理数大小的问题．本文介绍解这类题目常用的几种方法,供同学们参考．一、取倒数法比较大小（北京市第二届“迎春杯”初一数学竞赛试题）二、化成同分子比较大小分数从小到大排列．（第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）（1997年“希望林”全国数学邀请赛初一试题）故选A．三、巧用赋值法比较大小例4已知a、b、c都是有理数,且a＞b＞C,则下列式子中正确的是（）（1998年全国初中数学联赛试题）可取a＝1,b＝0,c＝－1代入各选择支,只有a＋b＝1＞b＋c＝－1成立,故选B例5如果a、b均为有理数,且b＜0,则a…     

例说分式方程的应用

学习了分式方程之后，我们可以应用它来解决一些数学问题．现举例说明．无意义．（1992年浙江省初中数学联赛试题：解要使已知式子无意义，则X的取值应使已知式子的三个分母中任一个为零，知式子无意义．例2若方程的解是正数，的取值范围是．（1990年武汉市初二数学竞赛试题）解由已知方程，得依题设，a的取值应使x＞o且x羊2，解之．得a＜2且a一一4·故。的取值范围是a＜2且a单一4．（199年祖冲之杯初二数学邀请赛改编题）又已知等式可化为求a＋b的值．再已知等式可化为解之，得x—－2．．“．a＋b—一2．例5用甲、乙两泵合抽一池水，若单…     

挖掘隐含条件 探求解题途径

解决数学问题，隐含条件不可忽视，仔细挖掘题目当中的隐含条件，不仅是正确解题的需要，而且还是探求解题途径的方法之一．例1如果都成立那么的最简结果是（天津市第三届“新蕾杯”初二数学竞赛题）解由算术报的定义知，本题的隐含条件是例。若m适合关系式：试确定m的值．（1994年北京市初二数学竞赛题）解本题的隐含条件是故原方程变为又由x＋y＝199，得（1993年“希望杯”全国初二数学邀请赛题）解本题的隐含条件是例4解方程解本题的隐含条件是（1990年“缙云杯”初中数学邀请赛题）结合（1）式，得x＝0．经检验，x＝0是原方程的解．练习…     

非负数及其应用

非负数是指不小于零的数，包括正数和零．这是个非常重要的数学概念．纵观这几年的各种初中数学竞赛试题，各个地区的中考试题，乃至和课本配套使用的练习册、试题集中，都常常有非负数性质的运用．如：１·已知｜３ｙ－１８｜＋｜ａｘ－ｙ｜＝０，如果Ｘ是正偶数，求ａ．（１９８９年“五羊”杯初中数学竞赛试题）２，若（Ｘ－１）２＋（２ｙ＋１）２＝０，求ｘ＋ｙ的值．（１９８５年北京市中考试题）３．方程ｘ２＋｜ｘ｜＋１＝０有（）个实数根．（Ａ）４；（Ｂ）２；（Ｃ）１；（Ｄ）０．（１９９１年“希望杯”全国教学邀请赛试题Ｊ４…     

也谈换元法在因式分解中的应用

因式分解是初二代数的重要内容，因式分解的方法，除课本中所介绍的几种外，还有一种常用的方法──换元法．为帮助初二同学掌握这种方法，现以部分竞赛题为例，归纳小结用换无法分解因式的几种方式，供初二同学课外学习时参考．一、应用单换元法分解团式（华罗庚数学学校初一训练题）二、应用双换无法分解因式侧2分解因式：（x＋y）（。，＋y＋Zry）＋tw＋1）tw－1）．（1992年第九届“纪云杯”初中数学邀请赛试题）解设x＋v一a，rs一b，则三、应用多换无法分解因式例3分解团式：（o＋c一za）’＋（c＋a－if，）‘＋（a＋l，－ic）3．（华…     

有理数的运算技巧

数学竞赛中,关于有理数计算的数值都较大,算式复杂,直接运算非常繁难．下面介绍几种常用的计算技巧,供参兮一、叠加技巧例1计算：（湖北省孝感市“英才杯”初中数学竞赛试题）分析将原式的各项倒序排列后与原式相加,则可得到各项都为的算式,从而获解．解设原式＝S,将原式的各项倒序排列后与原式叠加,则二、分组结合技巧（第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）分析将相加得零的数结合在一起可使运算简便．三、裂项相消技巧（1988年“辽教杯”初二数学竞赛题）分析设风为自然数,则上列各项都可以这个公式将原式中的各项裂项后…     

逆向运用 妙解横生

是《二次根式》一章的一个重要公式．学习了这一个公式以后，不少同学对它的正向运用比较得心应手，而对其逆闭却很不习惯．其实，有不少题目，逆用这一公式来解，可以化难为易，化繁为简，收到事半功倍之效．例1当x≠0时，把式子根号外面的因式移到报号里面，那么原式等于（）（1994年四川省中考试题）故应选（B）．例2计算：（1993年北京市初二数学竞赛试题）故应选（A）．例3若a、b都是正实数，上（1992年全国初中数学联赛试题）价4设。＋b＋c＋3—2（H＋／方三十J7）），则。2＋b。＋c2一。（1990年“玉羊杯”初中数学竞赛试题）解由…     

利用二次根式的定义解题

形如的式子叫做二次根式．在此，我们必须特别注意二次根式定义中a≥0的限制条件．解一些与二次根式有关的数学问题时，灵活利用这一条件，可使问题的解答巧妙、简捷．例1在实数范围内化简（1993年缙云杯初中数学邀请赛初二试题）故原式（1993年吉林省初中数学竞赛试题）例3已知实数a满足,那么a－19922的值是（）（A）1991；（B）1992；（C）1993；（D）1994．（1992年希望杯全国数学邀请赛初二试题）解∵a－1993≥0，∴a≥1993．∴1992－a＜0．这时，已知等式化为∴a－1993＝19922．∴a－19922＝1993.故应选（C）．例4设等式在实数范围内…     

图书介绍

代码 书名 由卜购价 N1 第15届(2004)“希望杯”全国数学邀请赛初中试题、培训题及解答 10.50元 N2 第15届(2004)“希望杯”全国数学邀请赛高中试题、培训题及解答 10.50元 A1 第14届(2003)“希望杯”全国数学邀请赛初中试题、培训题及解答 10.50‘元 A2 第14届(2003)“希望杯”全国数学邀请赛高中试题、培训题及解答 10.50元口 A3 第13届“希望杯”全国数学邀请赛试题、培训题及解答 1 2.00元 B1 “希望杯”数学竞赛培训教程(初一册) 14.00,元 B2 “希望杯”数学竞赛培训教程(初二册) 14.00元 B3 “希望杯”数学竞赛培训教程(高一册) 1…     

倒一倒解法巧

在解一些条件分式求值问题时,根据题目特点,通过取条件式或求值式的倒数来解答,常常能简化计算过程,获得简捷巧妙的解法．一、条件式倒一倒（第八届“希望杯”数学邀请赛初二试题）解由已知,得以上三等式左右两边分别相加,得二、来值式倒一倒（1”6年全国初中数学联赛四川省预赛题）解求值式取倒数,得三、条件式、来值式同时倒一倒（第四届“希望杯”数学邀请赛初一培训题）整理可得练一练＿．（第七届“希望杯”数学邀请赛初二培训题;答案：六．）、l’、,。”’～18“”＿（1988年广州等五市初中数学联赛题：答案：：．）”～’…     

竞赛中的有理数计算

近年来的各类初中数学竞赛，经常遇到有理数计算的问题．这类问题，项数多、数字大，解答它们，难度虽然不太大，但结果易出错．因此，我们必须掌握和运用一些技巧．一、分组结合（A）5．5；（B）5．655（C）6．05；（D）5．85；（1994年“希望杯”初一数学邀请赛试题）例2计算（12＋32＋52＋…＋992）－（22＋42＋62＋…＋1002）．（1991年天津市初二数学竞赛试题）解原式＝（12－22）＋（32－42）＋（52－62）＋…＋（992－1002）＝（1＋2）（1－2）＋（3＋4）（3－4）＋（5＋6）（5－6）＋…＋（99＋100）（99－100）＝－（1＋2＋3＋4…