2016年四川高考圆锥曲线题的推广与证明

<正>一、考题重现(2016四川卷)已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(I)求椭圆E的方程及点T的坐标;     

一道椭圆离心率问题的解法探究

<正>圆锥曲线中关于离心率的考查一直是热点问题.下面是扬州市的一道调研测试题,考查了椭圆的离心率,原题如下:如图1,斜率为1/3的直线l经过椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)左顶点A,且与椭圆交于另一个点B,若在y轴上存在点C使得△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为___.分析本题中直线与椭圆相交,在已知一个交点坐标的前提下求另一个点的坐标,     

一道质检题的解析与引申

题在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²=1(a>1)的左、右焦点分别是F1,F2,P是C上异于长轴端点的动点,∠F1PF2的平分线PB交x轴于点M.当P在x轴上的射影为F₂时,M恰为OF2的中点.     

焦半径公式应用类型探究

<正>焦半径公式:已知F1,F2是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a2=1(a>b>0)的左、右焦点,P(x_0,y_0)是椭圆上一点,则|PF_1|=a+ex_0,|PF_2|=a-ex_0。证明:椭圆的左准线方程为x=-a²/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a2/c。由椭圆的第二定义,得|PF_1|/(x_0+a²/c)=c/a,即     

一道求椭圆离心率问题的多角度分析

<正>求椭圆的离心率的思路就是构造一个a,b,c的方程,然后化简整理即可得。而求离心率的取值范围就属于一类较难问题了,其难点在于需要发现一个或多个限制a,b,c的不等式,即要构造一个关于a,b,c的不等式或不等式组。例题已知F_1,F_2是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左右焦点,P是椭圆上一点,∠F_1PF_2=90°,求椭圆离心率的取值范     

对一道高考题的探究

<正>2015年高考四川卷理科第20题是高考试题中考察圆锥曲线的典型类型.该题内涵丰富,具有进一步研究的价值.本文通过"特殊到一般"的归纳和"类比"思想对其展开了一系列的探究.一、试题再现如图1,椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率是     

解决曲线中的范围问题

<正>高中数学中的曲线范围问题是一个比较灵活的问题,复杂多变,但万变不离其宗,其总体上可以归结为——找一个不等关系,而不等关系可以从以下三个方面找寻。一、直接由已知给出一个不等关系这类题目的不等关系清晰明确,比较容易从题目中获取。例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A、B两点,若     

2011爱沙尼亚国家队选拔题简证及推广

2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a²+b²=9c²,证明:（2c）/a+c/b≥3^1/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a²+b²     

构造方程求两个三次根式的代数和

<正>在求形如(A+B^(1/2))(1/2))^(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B^(1/2))(1/2))^(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B(1/3)(B≥0)的两个三次根式的代数和时,我们可把整个三次根式设为一个新变元,令x=(A+B^(1/2))(1/2))^(1/3)+(A-B(1/3)+(A-B^(1/2))(1/2))^(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)(1/3),然后利用两数和的立方公式:(a+b)³=a3=a³+b3+b³+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)3+3ab(a+b)【此公式可通过(a+b)³=(a+b)3=(a+b)²(a+b)=(a2(a+b)=(a²+2ab+b2+2ab+b²)(a+b)求得.】将变换后的式子两边三次方,得到关于x的     

椭圆中焦点三角形的性质及应用探究

<正>定义:如图1,设F1,F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点,P是椭圆上的任意一点(异于长轴的端点),则称△F1PF2为椭圆的焦点三角形.性质一:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为2b2/a.     

位置关系的判断及应用

<正>解析几何是高中数学和重要组成部分,对其的考查也是一个重点,在这一部分内容的考查中,位置关系的判断及应用是常见的一类题型,本文就重为来对此类问题的解法进行探究。例题已知抛物线C1:y²=2px(p>0)的焦点为椭圆C_2:x2=2px(p>0)的焦点为椭圆C_2:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右     

一个关于椭圆切线的猜想的否定之辨析

文[1]给出了如下定理: 定理1 若A,B分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)短轴(长轴)的两个端点,P为椭圆上任意一点(不与A,B重合),直线PA,PB交长轴(短轴)所在直线于C,D两点,则椭圆在点P处的切线平分线段CD.     

用仿射变换研究椭圆

<正>在圆锥曲线的学习中,大多数题型的解题方法都偏向于列方程而非几何中的思考。仿射变换这种方法将椭圆转化为圆,从而利用圆的一些性质进行辅助研究与解题。一、仿射变换的介绍与性质设椭圆的直角坐标方程为x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)(1)。作仿射变换T:{x′=x,y′=(a/b)y。     

与椭圆离心角相关的两个有趣性质

我们把椭圆x2/a2+y2/b2=1的参数方程｛x=acosθ y=bsinθ意一点P(acosθ,bsinθ)的离心角.本文介绍与椭圆的离心角相关的两个有趣性质供读者参考. 性质1 椭圆(或圆)x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的两条相交弦AB,CD的四个端点共圆的充要条件是这四个端点的离心角之和为周角的整数倍.     

坐标式三角形面积公式及其应用

<正>高考题1(2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上O,A,B三点不共线,设OA→=a,OB→=b,则△OAB的面积等于()A.(a²*b2*b²-(a·b)2-(a·b)²)2)^(1/2)B.(a(1/2)B.(a²b2b²+(a·b)2+(a·b)²)2)^(1/2)C.1/2(a(1/2)C.1/2(a²b2b²-(a·b)2-(a·b)²)1/2D.1/2((a2)1/2D.1/2((a²*b2*b²+(a·b)2+(a·b)²)1/2答案:C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式:定理1若三点O,A,B不共线,则S_(△OAB)=1/2     

椭圆的两个性质及应用

<正>本文给出椭圆的两个性质及其应用.一、两个性质性质1设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),F1、F2分别为左、右焦点.P是椭圆上的一动点,则当点P从椭圆的短轴端点向长轴端点运动时,∠F1PF2逐渐变小.     

一道南京市高三调研试题的探究

题目(2021年南京市高三数学调研试题第21题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,F是椭圆C的右焦点,且AF=3 FB,AF·FB=3.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k₁,k₂,若k(k₁+k₂)=1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标.     

巧借a+b≥2((ab)～(1/2))求最值

先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）^1/2.证明:a,b都大于0,所以(a^1/2-b^1/2)²≥0,所以a-2（ab）^1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）^1/2.当a=b时,a+b=2（ab）^1/2.     

2013年高考解析几何大题的研究

1 对江西文科高考解析几何大题的研究 (2013年江西文科高考第20题)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b =3. (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任A意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值.     

由一道高考不等式证明题引发的思考

<正>1试题呈现2017年高考全国Ⅱ卷文、理科第23题:已知a>0,b>0,a³+b3+b³=2,证明:(Ⅰ)(a+b)(a3=2,证明:(Ⅰ)(a+b)(a⁵+b5+b⁵)≥4;(Ⅱ)a+b≤2.这道试题难度不大,但值得我们去品味,通过对这道试题的探究和反思,得到了一些有意义的结论:一是两个不等式的多种证法,可谓精彩呈现;二是两个不等式的变式与推广,使我们对问题认识的更深