挖掘课本习题潜能例谈

例 1 .求证等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离和等于腰上的高。已知 :△ ABC中 ,AB=AC,P为 BC上任意一点 ,PE⊥ AB,PF⊥ AC,CD⊥ AB。如图 1。求证 :PE PF=CD。证明 :过 P点作 PM⊥ CD,∵ PE⊥ AB,CD⊥ AB,∴四边形 PMDE是矩形 ,∴PE=DM。∵PM⊥ CD,CD⊥AB,∴AB∥PM,∴∠ B=∠ MPC。∵AB=AC,∴∠ B=∠ ACB,∴∠ MPC=∠ ACB。在△ MPC和△ FCP中 ,　∠ PMC=∠ CFP,　∠ MPC=∠ ACB,　 PC=CP,∴△ MPC≌△ FCP,∴PF=CM,∴CD=DM CM=PE PF。反思 1 .此题条件等腰三角形可变为等边三角形。…     

等腰三角形一个判定方法的证明及应用

<正>等腰三角形具有"三线合一"的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.(1)如果∠1=∠2,那么AD⊥BC,BD=CD;(2)如果BD=CD,那么∠1=∠2,AD⊥BC;(3)如果AD⊥BC,那么∠1=∠2,BD=CD.上述性质中,共存在4个关系式:AB=AC,∠1=∠2,AD⊥BC,BD=CD.而改写后的每条性质都有两个条件,且都有一个条件是"AB=AC".反过来,在关系式∠1=∠2,AD⊥BC,     

从一道高考题谈起

20 0 3年高考江苏卷数学第 (16 )题是 :对于四面体 ABCD,给出下列四个命题(1)若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD.(2 )若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥ AD.(3)若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD.(4 )若 AB⊥ CD,BD⊥ AC,则 BC⊥ AD.其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号 )真命题的序号是 (1)、(4 ) .给出的四个命题中的 (1)、(2 )是关于邻棱或对棱相等的四面体问题 ;(3)、(4 )是关于邻棱或对棱垂直的四面体问题 .笔者感兴趣的是 :一组、两组、三组对棱分别相等的四面体有何性质 ?一组、两组、三组对棱分别垂直的四面体又有何性质 ?经过…     

怎样用梯形中位线定理解题

一、题中有中位线直接用　　例 1 .已知 :如右图 ,梯形ABCD中 ,AB∥ CD,EF是中位线 ,EF交 BD、AC于 G、H,DC=1 0 ,EF=6,求 GH的长。分析 :由题设知 ,EF是梯形 ABCD的中位线 ,由此可以求出 AB=2 ,由 EF∥ AB∥ CD,E是 AD的中点 ,易知 EG、EH分别是△ ABD和△ ACD的中位线 ,故 EG=1 ,EH=5,从而 GH=EH- EG=4。二、梯形不完善补形用例 2 .已知△ ABC中 ,BD、CE为角平分线 ,EM⊥ AC于 M,DN⊥ AB于 N,P是 DE的中点 ,PQ⊥BC于 Q。求证 :PQ=12 (EM DN)。　　分析 :由于 BD、CE分别为角平分线。作 EM′⊥BC…     

构造一类三棱锥巧解异面直线问题

如图1,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD(或AC⊥CD),这样的三棱锥又称为直角锥,设AB=a,BC=b,CD=c,记异面直线AD与BC所成的角为a,AD与BC间的距离为d,则(Ⅰ) (Ⅱ) 证明是容易的,这里略去。     

巧用勾股定理解竞赛题

直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD…     

2010年全国高考山东卷理科数学第19题（Ⅱ）别解

题目如图1,在五棱锥P-ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB//CD,AC//ED。AE／/BC．∠ABC=45°,AB=2√2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形．     

射影定理的一个推论及其应用

现在我们先给出射影定理的一个推论:直角三角形两条直角边平方的比等于它们在斜边上的射影的比。已知:如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证:AC2BC2=ABDD。证明:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ADC∽△ACB,△BDC∽△BCA,∴ACAB=AACD,BACB=BBCD,即AC2=AB×AD……①,BC     

“三线合一”性质的逆命题及其应用

等腰三角形“三线合一”性质 :等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。它包含以下三个真命题 :在△ ABC中 (如图 1) ,(1)若 AB=AC,AD⊥ BC,那么 BD=CD,∠ 1=∠ 2 ;(2 )若 AB=AC,BD=DC,那么 AD⊥ BC,∠ 1=∠ 2 ;(3)若 AB=AC,∠ 1=∠ 2 ,那么 AD⊥ BC,BD=DC。可以证明 ,上述三个命题的逆命题都是真命题。综合上述六个命题 ,可知 :在△ ABC中 ,如果 1AB=AC;2 AD⊥ BC;3BD=DC;4∠ 1=∠ 2四项中任意两项成立 ,那么其余两项一定成立。下面举例说明等腰三角形“三线合一”在解题中的应用。例 1.已知 :…     

三垂边空间四边形及其应用

空间四边形ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB．两两垂直的三条边简称三垂边，另一边为非垂边．连CA，得DC上面ABC，DC⊥AC，则AD^2=AC^2 CD^2=AB^2 BC^2 CD^2，即非垂边的平方等于三垂边的平方和．如上图形称为三垂边空间四边形，它是常见的基本图形．