相似三角形的应用

相似三角形应用广泛,尤其在计算方面有它的独到之处,它常起到几何与代数之间相互沟通的桥梁作用。现举例如下:一、利用相似形求线段的长例1(如图1)在△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,若DE⊥AE,∠ADC=45°,DE∶AE=1∶5,BE=3,求△ABD的面积。解:在Rt△DEA中,设DE=x,则AE=5xAD=(5x)2+x樤2=樤26x在Rt△ADC中,∵∠ADC=45°,∴AC=DC=樤22AD=樤13x在Rt△BDE中,BD=32+x樤2=9+x樤2在Rt△BDE和Rt△BAC中,∠DBE=∠ABC则Rt△BDE∽Rt△BAC∴DEAC=BDBA,即x樤13x=9+x樤23+5x解得x1=2,x2=-92(x不能为负数,∴x2不合题意舍去)…     

用方程解比例线段的计算问题

例 1 .已知 :如图 1 ,正方形 ABCD的边长是1 ,P是 CD边的中点 ,点Q在线段 BC上 ,当 BQ为何值时 ,三角形 ADP与三角形 QCP相似 ?(2 0 0 2年云南曲靖市中考题 )分析 :设 BQ=x,则两直角三角形相似有两种可能 :(1 )当 Rt△ADP∽ Rt△QCP时 ,有 ADQC=PDPC;(2 )当 Rt△ ADP∽ Rt△ PC     

基本图形的应用和拓展的教学设计

一、引入基本图形 1.认识基本图形 如图1,在Rt△CAB和Rt△ECD中,AC =CE,点D在边BC的延长线上,且∠ACE=∠ B=∠D=90°,Rt△CAB与Rt△ECD全等吗?请说明理由. 先提问学生:判断三角形全等的方法有几种?所要判定的两个三角形全等需要通过那种判定方法? 请学生解决上述问题并总结上述问题的特征和结论,可以让学生进行讨论交流.     

在应用与拓展环节上设计一题多解

新课程理念下创新教学设计要有利于开发学生的智力,培养学生的能力,有利于发展学生思维的广阔性、灵活性和创造性,有利于促进学生思维能力的发展和素质的提高,而要达到这一目的,在教学设计中应用与拓展这一环节上设计一题多解,课堂上让学生探索、研究、交流、不失是一种好方法:如我在九年级的复习备考中就设计了这样一个题目:如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将直角边AB折叠,使它们落在斜边AC上,折痕为AD,求BD的长。解法(一),(方程法):解:由勾股定理,得AC=10又由折法知RtΔAED≌RtΔABD∴AE=AB=6,ED=BD。∴CE=AC…     

一道习题的运用

立体几何中有一道习题 ,若用该题的结论来解课本中的其他习题 ,比常规解法显得简便得多 .先看该题 :题目　AB和平面α所成的角是θ1 ,AC在平面α内 ,AC和AB的射影AB′成角是θ2 ,设∠BAC =θ ,求证 :cosθ1 ·cosθ2 =cosθ .证明　如图 1 ,过AB上一点D向平面α作垂线DE ,垂足为E ,显然点E在直线AB′上 ,过E向AC作垂线EF ,垂足为F ,连结D、F ,根据三垂线定理 ,AC ⊥DF .在Rt△ADE中 ,cosθ1 =AEAD,在Rt△AEF中 ,cosθ2 =AFAE,在Rt△ADF中 ,cosθ =AFAD,∴cosθ1 ·cosθ2 =AEAD·AFAE =AFAD =cosθ.结论得证 .…     

让学生思维动起来

在课堂上有许多老师为了课堂的流畅性和课堂进度总是很少考虑学生,不愿给学生太多的思维空间,如果老师能够换个角度,给学生多一点思维空间,让学生动起来,那么你可能会收到许多意想不到的效果.我在讲《生活中的平移》时,设计了下面一道例题:已知:如图所示,将Rt△ABC沿着直角边AB的方向向右平移2个单位得到Rt△DEF,如果AB=4,∠ABC=90°,并且△ABC的面积为8,求阴影部分的面积.解析:例题呈现后,我给了学生充足的思考时间,几分钟后就有一个学生到黑板上写出     

妙用相似三角形的周长比等于相似比解题

相似三角形有两个重要性质:(1)相似三角形的周长比等于相似比;(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方,性质(2)的解题应用十分广泛,受重视程度较高,而性质(1)的关注度相对偏低.实际上,用相似三角形来解相关的线段问题,有时不必将每条边都求出,直接应用"相似三角形的周长比等于相似比"整体求解,往往可以使解题过程更简洁,下面举例说明,以飨读者.例1证明勾股定理如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,求证:a~2+b~2=c~2.证明:D是BC上一点,将Rt△ABC沿AD翻折使点C落在斜边AB上的点E处,则AE=AC=b,BE=c-b,DC=DE,所以BD+DE=BD+DC=a,因为∠BED=∠BCA,     

斜边直角边定理证法之我见

不管是几何专著,还是历来的初中几何课本,在证明“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”时,采用的方法都是目前全日制初中统编教材里拼接的方法。因为这种方法在几何证明中不常用,因此,我们在教学中引导学生探索发现了这一定理证明的新方法。学生感到新证法比拼接法容易理解和掌握。下而提出我们的证法与见解,愿与同行切磋。已知:在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠ACB=∠A′C′B′=Rt∠,AB=A′B′,AC=A′C′求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明:分别作两个三角形的斜边AB、A′B′边     

挖掘隐含的“直角”条件解三角形

直观的RtΔ是用RtΔ的特殊性质求解."隐蔽"的RtΔ呢?需要你去提取、发现、转化、造成.本节的宗旨就是培养你的这种发现、构造的能力,将各种伪装下的RtΔ找出来,建筑解题的通途.当你遇到斜三角形、四边形时,如何应用解直角三角形的知识求解?     

充分利用等（不等）量关系解题

（本讲适合初中） 1 利用等量关系解题 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,CA=b,AB=c．利用勾股定理易推导出下面两个等量关系式：     

对知识保持的几点思考

1 问题的提出 课外活动时间,一位初二学生问我:"3-2等于多少?"我反问:"你认为等于多少呢?"学生想了想回答:"等于-9.""你是怎样算的?""3-2=-32=-9."我又找来水平相近的两位同学,他们作出了同样的回答.     

化学课堂上盛开“爱”的花朵

学生的学习成绩=情感*方法*智商,其中可改变空间最大的是学科情感,而学科情感也是学生学习的前提.文章从建立融洽的师生关系,营造和谐的学习氛围;将化融入生活,激发学生的学习兴趣;发挥化学实验的优势,使学生积极参与学习;及时鼓励和强化,增强学习信心;四个方面阐述了如何让学生爱上化学课.曾在特级教师常作印老师的博客中读到一篇题为《叩问课堂:课堂教学的"前因后果"》的文章,文中提出:学生的学习成     

构造直角三角形解题

有些几何题 ,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化 ,就会收到化难为易、事半功倍的效果 .1　求边长例 1、如图 1所示 ,在△ABC中 ,AB=4 ,BC=3 ,∠ABC=1 2 0°,求 AC的长 .解 :经过 A作 CB延长线的垂线 ,垂足为 E.因为∠ABC=1 2 0°,故∠ ABE=60°.在 Rt△ ABE中 ,AE=AB· sin60°=4× 3 /2=2 3 ,BE=AB· cos60°=4× 1 /2 =2 .在 Rt△ACE中 ,AC=AE2 CE2=( 2 3 ) 2 52 =3 7.2　求角例 2　如图 2所示 ,在△ ABC中 ,AB=4 ,AC=2 1 ,BC=5,求∠ B的度数 .解 :作 AD⊥ BC于 D.设 BD=x,则 D…     

每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…     

一道重基础宽思路考察思维能力的赛题

江苏省第八届初中数学竞赛第五题是:已知△ABC 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如图(a),连结 DE,设 M 为 DE 中点.(1)求证:MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE,固定 Rt△ABD,让 Rt△ACE 绕顶点 A 在平     

再看直角三角形“HL”全等

<正>直角三角形的全等比一般三角形的全等多一种"HL"的判定方法.在学习过程中,学生很难理解为什么直角三角形判定全等的时候只要一条斜边和一条直角边对应相等就行了呢?下面给出几种合理的解释.证明一如图1,已知Rt△ACD与Rt△ABD的一组直角边和一组斜边对应相等,即AB=AC,AD=AD.将这两个三角形两直角边AD重合拼接成一个等腰△ABC,由等腰三角形性质可知当     

例析典型的分类问题

<正>运用分类思想解决问题,能够培养学生慎密思维的优良品质.本文拟对初中数学中典型的分类问题加以举例分析.一、直角三角形的边、角问题例1在RtΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D为RtΔABC外一点,且ΔACD是等腰直角三角形,则BD的长是.解分3种情况:①当∠DAC=90°时,如图1,BD=4;A D C B A D C     

一题多解

题:已知△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°,如图(A),连结DE,设M是DE的中点.(1)求证:MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE,固定Rt△ABD,让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(B)的位置.试问:MB=MC是否还能成立?证明你的结论.(第八届江苏省初中数学竞赛题)     

一道湖北卷高考向量试题赏析

2004年高考数学(湖北卷)理科第19题: 如图1,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角θ取何值时,BP·CQ的值最大?并求出这个最大值.     

关于轴对称图形的问题

角平分线和等腰三角形都是轴对称图形,同时也是极为重要的几何图形。在解决有关问题时,要掌握一些常规的处理方法。本文以下面几例来说明运用角平分线和等腰三角形解题的技巧。一、有关角平分线问题在解决含有角平分线的问题时,常需添加的辅助线有以下几种:1.由角的平分线上一点向角的一边或两边作垂线,运用角平分线的特征解题。例1已知:如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA的平分线交对边于E,又交斜边上的高AD于O,过O引OF∥CB交AB于F,试说明:AE=BF。分析:由于E是∠ACB的平分线上的点,可作辅助线EK⊥BC,垂足为K。可知Rt△AO…