热力学关系式的数学基础和应用

热力学关系式十分丰富和完美,特别是热力学偏导数关系式更是变化多端,初学者往往不易掌握.但只要了解其基本数学关系式的来源和依据,便可对各种变化一目了然并能灵活运用.本文仅就“热力学关系式的数学基础和应用”做一简要论述.一、数学基础(一)欧拉倒易关系或若f是x和y的函数,当x和y变化了dx和dy,则函数f改变df,即 这样,将自变量由x_1换成f_1,而函数由f换成g,实现了函数微分式的变换.以上几个公式是热力学关系式的数学基础.据此就能引出许多重要的热力学公式.二、恒组成封闭体系的热力学关系式(一)热力学状态函数的微分表达式封闭体系只做体积功的第一定律的表达式为:du=δQ-pdv对可逆过程,热力学第二定律可表为:δQ=Tds将两个定律联合起来,可得:du=Tds-Pdv(1)此式是从热力学定律建立的内能的微分表达式.从这一基本关系式经过函数微分变换即利用上节关系式(三),可求得H、F、G的微分式.引入新函数H=U+PV     

巧记物理化学中的“麦克斯韦”关系式

麦克斯韦关系式是物理化学及化学热力学中的重要关系式,它为建立热力学函数之间的关系开辟了便利通道。因此,要求学生要熟练掌握。但是,麦克斯韦几个关系式之间非常相似,记忆起来相当困难,因此成为学生学习的难点之一。面对这种情况,本文提出一种十字坐标图记忆麦克斯韦关系式的方法。1传统记忆麦克斯韦关系式的方法1.1利用数学中全微分的性质设Z代表体系的任一状态函数,若Z是两个变数x和y的函数,则可表示为:z=f(x,y),根据全微分的性质dz=z xydx+z yxdy,若令M=z xy,N=z yx,M和N也是x和y的函数,进一步将M对y偏微分得M yx=2Z y x;将N对x偏微分得N xy=2Z x y,因此M yx=N xy1.2全微分性质引入麦克斯韦关系式化学热力学函数已推出dU=TdS-PdV,若令M=T,N=-P,而M和N也是S,V的函数,所以有M VS=N SV替换成T和-P,则上式变为T VS=-P SV同理,根据dH=TdS+VdP,则可得到麦克斯韦第二关系式T PS=V SP根据dF=-SdT-PdV,则可得到麦克斯韦第三关系式S VT=P TV根据dG=-SdT+VdP,则可得到麦克斯韦第四关系式S...     

计算机数学基础复习辅导

1　多元函数微积分1 1　重点内容多元函数微分学 :二元函数的概念 ,二元函数定义域的确定 ,二元函数偏导数、全微分的概念及求法 ;复合函数微分法和隐函数微分法。多元函数积分学 :二重积分的定义、几何意义 ,直角坐标系下计算二重积分和交换积分次序 ,极坐标系下二重积分的计算。1 2　典型例题例 1　求函数z =f(xy ,x2 +y2 )的偏导数和全微分。解　设u=xy ,v =x2 +y2 ,由复合函数求导法则 : z x = z u u x+ z v v x =y z u+2x z v z y= z u u y+ z v v y =x z u+2 y z v全微分为 :dz = z xdx + z ydy =(y z u+2x z v)dx +(x z u+2 y z v)…     

计算机数学基础(A)期末复习提要

1 多元函数微积分1.1 了解空间直角坐标系的有关概念,知道几个简单的二次曲面,会求空间两点之间的距离。会用不等式组表示平面区域。 两点P1（x1,y1,z1）与P2（x2,y2,z2）间的距离公式: d=|P1P2|=1.2 会求简单二元函数的定义域。1.3 了解二元函数的偏导数与全微分概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单二阶偏导数。 求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。一般的复合函数形式如Z=f（u,v）（其中u=u（x,y）,v=v（x,y））,变量之间的关系可以用以下图形表示:     

简述高等数学(一)的要点和规律

高等数学（一）主要是研究微积分，以函数在某点附近或某区间上的局部性质和整体性质为研究对象，用极限的思想方法贯穿，又由一元函数推广到多元函数，进而引申到导数和微分积分的结构体系。即函数——极限——导数（微分）——积分。 （一）遇到一个函数，主要是考虑函数的定义域和对应规律，至于自变量和因变量用什么符号表示，那是无关紧要的。 例如：下列几组函数中哪组相同？ ①y＝与y＝x－2 ②y＝πx与s＝πr ③y＝与y＝x＋1 ④y＝与y＝ 答案是②和④相同。因为①和③两组中从y1化为y是有条件的，即定义域不同，所以为不同函数。 （…     

小议函数y=Asin（ωx＋φ）＋b图像的变换

函数y=Asin（ωx＋φ）＋b图像的变换有平移变换与伸缩变换。振幅、周期的变化涉及伸缩变换,而初相、图像上下位置的变化涉及平移变换。由于y=Asin（ωx＋φ）＋b的图像变换是三角知识中的重点与难点．是高考中的命题点。我们有必要搞清函数图像的变换与函数解析式变化得对应关系。笔者就函数图像横向的平移与伸缩变换和函数解析式中的自变量的变换之间的对应关系介绍一些简便的变换方法。     

计算机数学基础(A)复习提要

1 多元函数微积分1.1 了解空间直角坐标系的有关概念,知道几个简单的二次曲面,会求空间两点之间的距离。会用不等式组表示平面区域。 两点P1（x1,yi,z1）与P2（x2,y2,z2）间的距离公式:1.2 会求简单二元函数的定义域。1.3 了解二元函数的偏导数与全微分概念,熟练掌握求偏导数与全微分的方法。会求简单的二阶偏导数。 求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。一般的复合函数形式如z=f（u,v）（其中u=u（x,y）,v=v（x,y））,变量之间的关系可以用图形表示:     

一类分式函数求值域的基本方法

方法一:反函数法根据反函数的性质,一个函数若存在反函数,那么反函数的定义域就是原函数的值域.这样,从原函数表达式y=f(x)中,解出自变量x来,得到一个以y为变量,x为函数的新函数x=f-1(y),这个函数自变量y的取值范围,就是原函数y=f(x)的值域.这个方法一般适用于分子、分母都是一次式的分式函数.例1.求函数y=1-x2x+5的值域.分析:因为y=1-x2x+5=-12+722x+5图象为以点(-52,-12)为中心,平行于x轴,y轴两条相交线为渐近线的双曲线.从自变量x到函数y是一一映射,存在反函数.解:由y=1-x2x+5得x=1-5y2y+1,这个函数中,自变量y的取值范围是y≠-12.所以,原…     

函数y=f(x)的反函数为何要表示成y=f-1(x)形式

现行中学数学试验教材中反函数是这样定义的: 函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C.我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出,得到x=φ(y).如果对y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=φ(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=f-1(y).     

把握数学知识体系,提高教师能力及素质(上)

一、基础性知识的剖析(一)概念:1.概念中重点词语的咬文嚼字.如:函数概念中的"唯一".函数概念:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.     

函数在小学数学中的渗透

函数是近代数学研究的重要对象,是研究近代科学技术和解决生产实际问题必不可少的工具.函数研究的是变量之间的相依关系和变化规律.设在某变化过程中有两个变量x和y,变量y随着变量x一起变化,而且依赖于x.当变量x每取一个确定的值,变量y都有唯一确定的值与之对应,那么就称变量x、y之间的关系为函数关系,y叫做x的函数,记作y=f(x).其中x叫做自变量,x的变化范围称为函数的定义域;y叫做因变量,与x相对应的y的值叫做函数值,其全体     

绝对值函数的图象

统编数学课本和一些书刊中,有些函数的自变量是处在绝对值符号里的,如y=2|x|,y=1 lg|x-1|,y=2~(|x|)和y=cos|x|等,这类函数叫做绝对值函数。欲准确、迅速画出绝对值函数的图象,关键在于能否正确处理绝对值符号。本文将介绍画这类函数的图象的基本方法和特殊方法。一、基本方法这种方法的要点是,根据绝对值的定义:     

有关反函数的几个问题

一、反函数的概念： 一般地,函数y=f（z）（x∈A）中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出来,得到x=φ（y）．如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ（y）,在A中都有唯一的值和它对应,那么x=φ（y）,就表示y是自变量,x是自变量y的函数．这样的函数x=φ（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数．记作x=f^-1（y）．     

反函数理解和应用

有关反函数高中教材是这样定义的：一般地函数y=f（x）（x∈A）中,设它的值域为C。我们根据这个函数中x、y的关系,用y把x表示出来,得到x=Φ（y）,如果对于y在C中的任何一个值,通过x=Φ（y）,x在A中有唯一的值和它对应,那么x=Φ（y）就表示y是自变量,x是自变量y的函数。这样的函数x=Φ（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）的反函数,记作x=f^-1（y）。     

函数与方程思想在数学解题中的应用

<正>函数和方程思想是解决很多问题的关键,方程与函数之间可以相互转化,在导数、不等式中都有应用。一、函数思想1.函数思想简述y=ax+b是函数的最基本的表达形式,x是自变量,a是系数,b表示一个常数,y是随着自变量x的变化而变化的因变量,这就是一个函数的公式。函数可以表示为y=     

高中数学中分离技巧的应用

正"分离"是高中数学中常用的一种解题技巧,掌握这种技巧,对于简化相应题目的思维量与解题步骤大有裨益.笔者结合教学实践谈一下四种常用的分离技巧.1分离自变量函数中有自变量与因变量,我们常见的函数是因变量关于自变量的函数.分离自变量即是把自变量通过变形从函数解析式中分离出来.例1求函数y=10x-110x+1的值域.解:y=10x-110x+1,10x-1=y·10x+y,10x=y+11-y,所以x=lgy+11-y,由y+11-y0,得-1y1,所以函数y=10x-110x+1的值域为(-1,1).     

计算机数学基础(A)例题解析1

1　多元函数微积分1.1　学习要点多元函数微分学　空间直角坐标系 ,二元函数的概念 ,二元函数的定义域的确定 ,二元函数偏导数、全微分的概念及求法 ,复合函数微分法和隐函数微分法。多元函数积分学　二重积分的定义及几何意义 ,直角坐标系下计算二重积分和交换积分次序 ,极坐标系下二重积分的计算。1.2　重点内容二元函数的偏导数与全微分 (包括复合函数和隐函数 ) ;直角坐标系下的二重积分。1.3　例题解析例 1　填空题(1)函数z =1ln(1-x- y) 的定义域是。(2 )设函数z(x ,y) =ex2 +y2 ,z′x(- 1,1) =。(3)二元函数z=x3 - 4x3 y2 +5y4, 2 z …     

一类线性非齐次微分方程的新解

对于线性非齐次微分方程L(y)=f(x),当函数f(x)=amemx+am-1e(m-1)x+…+a2e2x+a1ex+a0(m为整数,ai为常数,i=1,2,……,m)时,可通过自变量变换ex=t,将线性非齐次微分方程L(y)=f(x)化为方程L(y)=amtm+am-1tm-1+…+a2t2+a1t+a0直接求其特解。     

求函数自变量取值范围常见错误剖析

一、随意变形例 1.函数 y=x+ 3· x- 3中 ,自变量 x的取值范围是。 (2 0 0 2年全国重点名校中考模拟题 )错解 :∵ y + x+ 3· x- 3=(x+ 3) (x- 3) =x2 - 9,∴ x2 - 9≥ 0 ,解之得 x≥ 3或 x≤ - 3。剖析 :因为变形后的函数 y=x2 - 9与变形前的函数 y=x+ 3· x- 3,它们的自变量取值范围不同 ,故出现错解。正解 :要使函数有意义 ,必须x+ 3≥ 0 ,x- 3≥ 0 ;　 解之得 x≥ - 3,x≥ 3。∴自变量 x的取值范围是 x≥ 3.二、随意约分例 2 .函数 y=x2 + x- 2x2 - x- 6 中 ,自变量 x的取值范围是。 (2 0 0 2年山东省烟台市中考模拟题 )错解 :因为 y=(x…     

对函数y=Asin(ωx+φ)的图象几个问题的思考

<正>一、教材摘要北师大版高中数学4(必修)第一章第8节"函数y=Asin(ωx+φ)的图象"的主要内容是函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质、与函数y=sinx之间的关系、函数图象的变换.本节重点:由y=sinx通过图象变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象;函数