棱台体积公式新证

设 n棱台上、下底面面积分别为 S′,S,高为 h,则体积V=13(S+SS′+S′) h. (1)图 1·先 ·证 ·三 ·棱 ·台ABC- A1 B1 C1 的情形 ,如图 1,连 AC1 ,A1 B,BC1 将它分为三个三棱锥 ,其中VB -A1 B1 C1 =13S′h,VC1 -A BC=13Sh.还剩下一个三棱锥 B- AA1 C1 .作 C1 D∥A1 A交 AC于 D,则VB -A A1 C1 =VB -A A1 D=VA1 -A BD=13S△ A B D·h.现在求 S△ A BD,作 DE∥ BC交 AB于 E,则△ ADE∽△ ACB∽△ A1 C1 B1 ,又 A1 C1 =AD,故△ ADE≌△ A1 C1 B1 ,从而 S△ A D E =S△ A1 C1 B1 =S′.作△ADE的高 EM…     

推导棱台体积公式的一种方法

立几教材中推导棱台体积公式的方法是用补形法求两个棱锥体积之差，其实也可用分割法求出棱台的体积，先看三棱台的体积。     

正棱台体积和侧面积公式及应用

本文给出了正棱台体积和侧面积公式,并介绍了它的应用。 定理1 如果正n棱台上下底面边长分别为a_1、a_2,下底面与侧面的夹角为θ,那么它的体积是V_(正梭台)=n/24(a_2~3-a_1~3)cot~厂π/ntanθ(a_1相似文献   

《度量之书》中棱台体积公式的来源分析

分析《度量之书》中棱台体积的几种计算方法,探讨了相关法则的公式构造与思想来源。从数学传播的角度,指出研究《度量之书》的重要意义。     

正四棱台体积公式的再探索和教学尝试

《中学数学教学参考》2004年第3期和《中学教研（数学）》2005年第6期上分别刊登了有关正四棱台体积公式推导的文章，笔者读后感受颇深．学生身上所蕴涵的自主探索及创新能力确实很强，有时完全出乎教师的意料之外．笔者依样画葫芦把此问题抛给了笔者所任教学校理科实验班的学生，     

从海伦公式谈起

设△ABC的三边长分别为、、abc,p= ()/2abc ,△ABC的面积为S,则 ()()()Sppapbpc=---. 这就是著名的海伦公式,它的证明主要应用三角形的面积公式及三角形的余弦定理,简证如下: ∵1sin2SabC=, ∴22224sinSabC=. ∵222cos2abcCab -=, ∴22222224(1())2abcSabab -=- 222222()4abca     

从海伦公式谈起

众所周知 ,每个数学分支的形成 ,都有其深刻的数学背景 ,每个数学结论的给出 ,都有其坚实的数学依据 ,数学公式的产生当然也不例外 .海伦 (Heron)公式公元 1世纪 ,希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出一个用三角形三边表达三角形面积的著名公式———海伦公式 :若a、b、c为三角形三边长 ,则该三角形面积为S =p(p-a) (p -b) (p -c) .这里 ,p=12 (a +b +c)表示三角形半周长 .这个公式简洁、对称 ,极具美感 ,深深揭示数学之美、数学之妙[1] .据称《度量论》一书曾一度失传 ,直至1 896年舍内 (R .Sch ne)在土耳其发现了它的手抄本后 ,…     

从台尔曼公式谈起

1961年，台尔曼(M．H．Tallman)给出下面一个可产生素数的公式：     

棱台的又一体积公式

教材中,棱台的体积公式为: C台= 又可化为如下形式:V台= 这一公式说明,三棱台可以分割为三个三棱锥.其中两个三棱锥分别以三棱台的上、下底面为底面,而另一三棱锥的体积是这两个三棱锥体积的几何平均值.以下举例说明这一公式在处理三棱台体积中的应用.     

棱台中截面公式的推广

高中数学第二册棱台中截面公式 2S_0~(1/2).=S~(1/2) S′~(1/2)的证明,是一个很好的一题多证的例子。我在这一段教学中,给出多种证法,以培养学生灵活运用所学知识的能力。从多种证明中推衍出一个推广定理。证明如下:推广定理:平行于棱台底面的任意截面,若分棱台高成 m:n,则有     

一节基于数学史的教学课例：正四棱台的体积公式

对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一节基于数学史的教学课例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。     

从凸多边形内角和公式谈起

请同学们回顾一下,凸n边形的内角和公式S_n=(n-2)·180°是如何推导出来的?推导公式的指导思想是把求多边形的内角和问题转化为求三角形的内角和问题,“转化”的办法是将多边形分割为若干三角形,由于分割多边形有多种方法,所以推导多边形内角和的方法也有多种。 (1)在图1中,由n边形的某个顶点引对角线,将n边形分成(n-2)     

从凸多边形内角和公式谈起

请同学们回顾一下,凸n边形的内角和公式S_n=(n-2)·180°是如何推导出来的?推导公式的指导思想是把求多边形的内角和问题转化为求三角形的内角和问题,“转化”的办法是将多边形分割为若干三角形,由于分割多边形有多种方法,所以推导多边形内角和的方法也有多种: (1)在图1中,由n边形的某个顶点引对角线,将n边形分成(n-2)个三角形,每个三角形内角和为180°,故S_n=(n-2)·180°。     

关于棱台中截面公式的证明和推广

棱台概念的本质在现实生活中,升和斗给我们以棱台的感性认识,但有些升和斗的图形,并不一定是棱台形。什么是棱台呢?用平行于棱锥底面的平面,截去棱锥上面的一个小棱锥后,所余下的图形叫棱台(如图一)。     

从椭圆焦点三角形的面积公式谈起

定义有心圆锥曲线上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫焦点三角形. 在圆锥曲线中,焦点三角形是一个引人注目的三角形,它的面积是一个非常重要的几何量,与其相关的问题是历年高考中的常青树.在解决有关焦点三角形问题中,如果能灵活地应用焦点三角形的面积公式,往往可以使复杂问题简单化,减少运算量,使问题迎刃而解.本文仅与椭圆焦点三角形为例,就这方面进行初步的探讨.     

从一个数列的通项公式谈起

高中《代数》教材中有一则数列题:数列{a_n}的项满足a_1=b,a_(n 1)=ca_n d,其中c≠1,说明这数列的通项公式是a_n=(bc~n (d-b)c~(n-1)-d)/c-1,学生常问该结论是如何得出的,下面介绍两种方法。一、归纳法 (上述题解本期已另有文章讨论,本文略——编者) 例1.数列{a_n}:a_1=1,a_(n 1)=4-a_n/3-a_n,求通项     

四面体体积公式

1.V四面体_(A-BCD)=1/b befsinαsinγ··sin∠AMO,其中b=AC,e=BC,f=CD,α=∠ACD,γ=∠BCD,∠AMD是面ACD和底面BCD所成的角(根据《三角法辞典》3088条改写)。     

从高考试题探求一类多面体体积公式

题1 (2005年高考试题全国卷(Ⅰ)) 如图1,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,图1则该多面体的体积为( )     

学生的想法出乎我的意料——《正四棱台体积公式》教学尝试及所得

笔者有幸在《中学数学教学参考》2004年第3期上读到《一节基于数学史的教学课例：正四棱台体积公式》一文，感觉此文很有特色，读后收获颇丰．文中两个亮点尤为引起笔者的兴趣，一是学生对正四棱台的剖分以及对其体积公式的推导和探究，二是运用了“金字塔”、《九章算术》、古巴比伦人的错误公式等数学史料．     

类似于海伦公式的四面体体积公式

平面几何中,有一个叫做海伦——秦九韶的三角形面积公式 S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2), 其中a、b、c是三角形三边的长,p是周长的一半。有趣的是,在立体几何中,也有一个与之相类似的四面体体积公式 V四面体=1/3abc··(sinωsin(ω-α)sin(ω-β)sin(ω-γ))~(1/2),①其中a、b、c是共顶点的三条棱的长,α、β、γ是相邻棱组成的面角,ω是这三个面角和的一半。公式①的证明: 设四面体M—ABC中,MA=a,MB=b,MC=c,∠AMB=α,∠BMC=β,∠CMA=γ。作BO⊥平面MAC,垂足为O。作OA′⊥MA,垂足为A′。作OC′⊥MC,垂足为C′。连结BA′、BC′,则BA′⊥MA,