关于p^k（p〉3）元域上的三次方程

F是p^k(p&;gt;3)元域。本文首先证明，研究F上的三次方程可以转化为研究方程x^3+ax+b=0(a≠0，b≠0)，而后得到，x^3+ax+b=0(a≠0,b≠0)在域F中有且仅有一根，或一个单根与一个二重根，或三个互异的根，或没有根；给出了必要充分条件，完整地解答了这一问题。     

前进一步天地宽

熟知,实系数二次方程20,axbxc++=(a 0)的根全为实数,当且仅当判别式 240bacD=-? 这个的结果是很有用的.特别是在证明不等式或确定函数的值域等问题中,利用上述结果,常能化难为易,化繁为简. 对实系数三次方程,情况怎样呢？因为实系数三次方程的虚数根必共轭成对出现,故实系数三次方程必至少有一个实数根.在什么情况下,它的三个根全为实数呢？ 定理 实系数三次方程32xuxvx+++w 0=的根全为实数,当且仅当 22332184427uvuvwuwvw+++, 或323(922(3))/27uvuuv--- 323(922(3))/27wuvuuv-+- (1)证明 设给定方程的三个根分别是,,rst,由韦达定理,得 …     

一元二次方程根与系数关系的应用

我们知道，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：如果的两个报是x1、x2，那;反之，以为根的一元二次方程是o．这个关系在数学中有很广的应用．通常可以用来解决以下问题：一、已知一个一无二次方程和它的一个根，不解方程、求另一个根．例1已知方程2x’一3。＋2。l一0的一”个根为1，求另一个根和nL的值．思路分析此题已告知方程及方程的一个根，欲求另一个根，可根据根与系数的关系求解．解设方程的另一个根为x，由根与系数的关系得：I＋。、一7及I·。、一m．”””“”“”“”“”一2”—～。—’一1122方程的另一个根是专，。，…     

一道高中联赛题的别解

1995年全国高中数学联合竞赛第二试的第二题为: 求一切实数p,使得三次方程: 5x~3-5(p 1)x~2 (71p-1)x 1=66p的三个根均为自然数。 解 由观察易知x=1为原三次方程的一个自然数根。 由综合除法,原三次方程可降为二次方程5x~2-5px 66p-1=0(*)。 原三次方程的三个根均为自然数←→二次方程(*)的两个根均为自然数。     

一元二次方程根与系数的关系及应用

大家知道,如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1、x2,那么x1＋x1x2是一元二次方程。ax2＋bx＋c＝0的两个根．这就是我们常说的一元二次方程根与系数的关系．下面举例说明它的常见应用．一、已知一元二次方程和它的一个根,成另一个根及参数的值例1解答下列各题：（1）如果是方程个根,求方程的另一根及C的值;（2）已知关于。的方程一2＝0的两个实数根的平方和比两根之积的3信少10,求k的值．（199年济南市中考题）分析（1）设方程的另一个根为X1,那么由根与系数的关系,有显然,利用①可求出另一根;利用②可求得C＝1．2）设方…     

构造一元二次方程三法

构造一元二次方程三法吴登文知道一元二次方程的两个根，或新方程的根与原方程根之间的关系，要求新方程，通常是采用韦达定理来解决。对此，本文介绍三种简便实用的方法，供参考。一、构造因式法。解一元二次方程，可用因式分解法求根。反过来，如果知道方程的两个根，亦...     

灵活利用根的判别式

在一元二次方程的学习中,我们知道,b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用字母“△”表示,即△:b2-4ac.它的取值大小,决定着一元二次方程实数根的有无及多少,具体而言,有如下三种情况: 1.当△＞0时,方程有两个不相等的实数根: 2.当△=0时,方程有两个相等的实数根: 3.当△＜0时,方程没有实数根. 灵活利用根的判别式,可帮我们巧妙地解题.     

谈谈复数方程的复习

复数是中学阶段数的概念的最后一次扩充。它的引入,使方程的根的理论获得了一个较完整的表述。在复习这一内容时,为使学生对方程的根的一些性质有一个较深刻的认识以及能熟练的解决含有参数的复数方程问题,必须注意以下几点:     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不     

一道赛题的再探索

1999年山东省初中数学竞赛试卷的第 4题如下 :已知方程 x2 a1 x a2 a3=0与方程 x2 a2 x a1 a3=0有且只有一个公共根 ,求证 :这两个方程的另两个根 (除公共根外 )是方程x2 a3x a1 a2 =0的根 .这个题目原证明过程见 [1 ],在这里 ,我们要进一步探索的问题是 :形如 :x2 a1 x a2 a3=0 ,( 1 )x2 a2 x a1 a3=0 ,( 2 )x2 a3x a1 a2 =0 ( 3)的三个方程在什么情况下两两有且只有一个公共根 ?本文将给出具有以上形式的三个方程两两有且只有一个公共根的充分必要条件 .为了叙述的方便 ,我们先引进如下定义 .定义　如上形式三个方程两两…     

求作新方程三法

求作一个新的一元二次方程使新方程的根为原方程各根的k倍或平方等,可有以下三种方法.现举一例说明之. 例不解方程,求作一个新的一元二次方程,使它的两根是方程2x~2+4x—3=0两根的 (1)2倍;(2)平方.     

一个代数定理的初等应用

代数基本定理的一个推论是:一个n次方程(或多项式)的根不可能多于n个(重根按重数计算)。这在一些方程或多项式理论的书籍中可找到它的证明,故不再赘述。下面举例说明它在初等数学中的一些应用。     

巧用根与系数关系求参数

一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)是初中数学教学的重点,它的应用十分广泛,例如可用于:(1)检验方程的根是否正确;(2)已知二次方程中的一个根,可求出方程的另一个根或方程中字母系数(参数)的值;(3)已知一个次方程的两根或已知两根的和与     

巧用分式方程的增根解题

<正>我们知道,在求分式方程解的过程中,一定要对方程的根进行检验.若是增根,则必须舍去.但是,在处理某些含有字母系数的分式方程时,若能巧妙地利用方程的增根,就能顺利地打开解题的思路,简捷明快地解决问题.一、开门见山,直接给出的增根例1(2012年攀枝花市中考题)若分式     

代数基本定理

在复数范围里,一元n次方程(n≥1)至少有一个根.据此即可得出推论:在复数范围内,一元n次方程(n≥1)有且仅有n个根(k重根作k个根计).     

一元三次方程有重根的两个结论及应用

本文给出一元三次方程存在重根的两个结论,并应用它解决有关一元三次函数图象的切线方面的相关问题.     

一元二次方程创新题赏析

一元二次方程是各种考试的重点.在近年的中考试题中,出现了不少新题型,它主要考查我们利用方程知识解决新问题的能力.现以中考题为例,把这类问题归纳总结如下.一、开放型问题例1(1)已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是((((((((只需写出一个方程).(2)写出两个一元二次方程,使每个方程都有一个根为0,并且二次项系数都为1:((((((((.(3)若方程x2-m=0有整数根,则m的值可以是((((((只填一个).分析:(1)有一个根为1的一元二次方程的特点是(x-1)(x-a)=0,令a取不同的数,就得到不同的一元二次方程.因此,有一个根为1的一元二次方程有无数个.…     

研讨三次式应注意判别式

笔者曾见过某些习题或考题中,关于三次函数 y=ax~3+bx~2+cx+d 讨论其性质以及画函数图象等,所给出的题是欠妥的,也就是题目本身无多大价值,要么给出的函数只是单增函数,要么是单减函数(在实数城上),这一类题达不到练习或考查的目的。此外,笔者也曾在某些资料上看到,给出的一元三次方程,要确定它的三个近似根……,但方程本身只有一个实根。本文的意图就是(一)给出三次函数 y=ax~3+bx~2+cx+d 的极值判别式:δ=b~2-3ac。(二)给     

构造一元二次方程解题例举

构造一元二次方程是一种重要的解题技巧,它可以使一些看似与方程无关的问题,用方程的知识得以简捷地解决.那么,应根据什么来构造一元二次方程呢? 一、利用一元二次方程根的意义我们知道,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则有ax12+bx1+c=0、ax22+bx2+c=     

初中代数中高次方程有关的几个问题

我们知道,一元n次方程当n≥3时,称为高次方程,五次和五次以上的方程可以证明它没有一般解的公式,三次和四次方程虽有求解公式,但不属中学教材范刚,因此在中学特别是初中解高次方程,也只能是一些高次方程的特殊类型。初中代数三册(1981年版)简单的高次方程一节,除介绍双二次方程外,尚有