重要极限公式lim/x→0(1+x)1/x=e的推广

lim/x→0(1 x)1/x=e是高等数学中重要的极限公式之一.教材中这类1∞型极限的解题方法比较单一,为此我们拓宽了求解此类型极限的思路,对重要极限公式lim/x→0(1 x)1/x=e进行了推广、论证,推广式的计算方法简便易行,具有较好的实用性.     

具Holling-Ⅳ功能反应捕食系统的平衡点分析

2010年已研究了系统dx/dt=x(1-k1x-k2x2)-xy/a+x2,dy/dt=y(μx/a+x2-D)正解的有界性,正平衡点不稳定时系统至少存在一个稳定极限环,以及利用Hopf分支理论讨论了系统至少存在两个极限环的情况.进而研究此系统平衡点的拓扑性态,并对应给出轨线拓扑结构图,对先前的研究进行补充.     

一类平面二次系统(Ⅰ)类方程的极限环的存在性

运用分支的方法,通过分析未扰系统的同宿轨在小扰动下的稳定流形和不稳定流形之间的相对位置,研究了一类含四个自由参数的平面二次微分系统(Ⅰ)类方程(x)=-y+(бx)+ lx2 +mxy+ny2,y=x,n≠0的极限环的存在性问题,给出了系统存在极限环的条件.     

不等式e~x≥x+1和ln(x+1)≤x的应用

不等式a~2+b~2≥2ab早已有大量的研究结果,而不等式e~x≥x+1和ln(x+1)≤x(x>-1)的应用却很少有人研究.其实后面这两个基本结论,在有些不等式放缩中所起的作用真是妙不可言,本文将试图通过案例来说明它在不等式放缩中的应用.     

一类n+2次生态系统的极限环

本文研究一类n 2次生态系统:dx/dt=x(a0 a1x-a2x2-a3yn-a4xyn)-H0,dy/dt=y(bx2-d).利用常微分方程定性理论进行分析,得到了该系统极限环存在与不存在的充分条件.     

非线性算子方程f ( x , λ ) ＝ ( x1 x 22 + λx 2 + λ4, - x 21- x 2 )T =0在原点附近的分岔问题

利用LS简约和Newton图研究了非线性方程 f(x ,λ) =(x1x22 λx2 λ4 ,-x21-x2 ) T =0 在原点附近的分岔现象 ,得到了从平衡点分枝出来的全部实的三个解枝 .     

重要极限lim(1+1/x)~x=e from x→∞的推广——1~∞型极限的求法

将重要极限limx→∞(1+ 1x) x =e(或limx→ 0 (1+ 1x) 1x =e)推广为极限limx→x0[1+u(x) ] v(x) =ek(其中limx→x0u(x) =0 ,limx→x0v(x) =∞ ,limx→x0u(x)v(x) =k) .可以解决一般的 1∞ 型极限的求法 ,当k为无穷大或不存在时也适用 .因此 ,为求函数的极限提供了一种简便有效的方法 ,具有很强的实用性     

一类Kolmogorov系统的定性分析

研究一类捕食-被捕食者系统{dx/dt=x(a0 a1x-a2x2-a3y-a4y2) hdy/dt=y(bx2-d),得到该系统不存在极限环以及存在唯一稳定极限环的充分条件.     

一类食饵种群具有常数存放率的n+2次kolmogorov系统的极限环

讨论一类食饵种群具有常数存放率的n+2次kolmogorov系统:x′=x(a0+a1x-a2x2-a3yn-a4xyn)+F,y′=y(x2-1),得到系统不存在极限环和存在唯一极限环充分条件,并推广了前人的部分结果。     

二重极限lim(x,y)→(0,0)(x+y)的存在性

根据不同教材关于二重极限的不同定义,讨论了lim(x,y)→(0,0)(x+y)的存在性,指出由于定义的不同,这一问题有着两个结论完全相反的答案.     

巧寻因式(x2±x+1)

我们知道x3-1=(x-1)(x2+x+1),且对于一元多项式F(x)=a1 xn+a2xn-1+…+axx+an+1,若F(1)=0,则F(x)中一定含因式(x-1),若F(x)中不含因式(x-1),又如何寻求f(x)是否含因式(x2+x+1)?事实上,若F(x)含因式(x2+x+1),而不含因式(x-1)时,令x-1≠0,则有F(x)(x-1)=(x3-1)g(x).显然,当x3=1时,F(x)(x-1)=0,故有F(x)=0,而x3=1可转化为x3-1=0即(x-1)(x2+x+1).若x≠1,则必有x2+x+1=0.所以,把x3=1代入F(x)中,一定有F(x)=k(x2+x+1).若不然F(x)≠0.由此,很容易识别F(x)中是否有因式(x2+x+1)其方法是:     

函数f(x)=√x2+ax+b±√x2+cx+d的最值

结论1若△1=a2-4b≤0,△2=c2-4d≤0,则函数f(x)=√x2 ax b √x2 cx d的最小值是f(x)min=1/2√(√-△1 √-△2)2 (a-c)2.     

一类三阶非线性系统的全局渐近稳定性

本文利用能量度量算法构造了三阶非线性系统(x...) a(x¨) b(x.) f(x)＝0(其中f(0)＝0)的李雅普诺夫函数,从而研究了它零解的全局渐近稳定性.     

重要极限公式lim from x to 0 (1 x)~(1/x)=e的推广

lim from x to 0 (1 x)~(1/x)=e是高等数学中重要的极限公式之一,教材中这类1∞型极限的解题方法比较单一,为此我们拓宽了求解此类型极限的思路,对重要极限公式lim from x to 0 (1 x)~(1/x)=e进行了推广、论证,推广式的计算方法简便易行,具有较好的实用性。     

重要极限lim from (x→∞)(1 1/x)~x=e的推广及其应用

把重要极限lim from (x→∞)(1 1/x)～x=e推广到一般的l∞型极限上去,给出5个命题,结合具体例子,简便有效解决l∞型极限.     

不定方程x21+x22+…+x2k=w的系列解研究

采用归纳的方法对不定方程x21 x22 … x2k=w所包含的一类方程x21 x22 … x2k=z2(k≥2)及另一类方程x21 x22=zn(n≥2)推导出系列解的模式.这些解有本原解,也有非本原解.     

不满足交换律(x1+x2+…+xm)n系数的性质

本文给出了当x1,x2,…,xi满足(x1 x2 … xi-1)xi=a(x1 x2 … xi-1)2 qxi(x1 x2 … xi-1) bx2i时,(x1 x2 … xm)n的展开式,以及当a=0、b=0特殊情况时系数的性质。     

一类三次多项式Hamilton系统的极限环分支

主要研究了如下近似Hamilton系统{x=y y=-x3＋εQ（x,y）的极限环情况,其中Q（x,y）=∑lj=0 ajxj｜y｜2m.通过分析其一阶Melnikov函数,证明了当l=2n-2或2n-1时其存在n个极限环.     

一类非线性模型的定性分析

对一类具功能反应的食饵-捕食者模型:.x=xg(x)-yφ(x),.y=y(-d+eφ(x))进行了研究,讨论了该系统平衡点的性态,系统无环的充分条件及正平衡点外围存在唯一稳定极限环的条件.     

函数f(x)=x+k/x(k>0)的性质及其变形和应用

本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令…