插板法解一类排列组合题

题目 :现有 1 0个完全相同的球全部分给7个班级 ,每班至少 1个球 ,问共有多少种不同的分法 ?解　题目中球的分法共三类 .(1 )有 3个班每个班分到 2个球 ,其余 4个班每班分到 1个球 .其分法种数Ｎ1 =Ｃ37.(2 )有 1个班分到 3个球 ;1个班分到 2个球 ;其余 5个班每班分到 1个球 .其分法种数Ｎ2 =Ｃ1 7Ｃ1 6.(3 )有 1个班分到 4个球 ;其余的 6个班每班分到 1个球 .其分法种数Ｎ3=Ｃ1 7.所以 ,1 0个球的分法种数为 :Ｎ =Ｎ1 +Ｎ2 +Ｎ3=Ｃ37+Ｃ1 7Ｃ1 6+Ｃ1 7=84.由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算 ,比较繁琐 ,若是上题中球的数目…     

“隔板法”的妙用

在排列、组合应用题教学中,有一类问题,使用“隔板法”,常能收到事半功倍之效.例1把10个相同的排球分给4个不同的小组,每个小组至少一个,有多少种不同的分法?分析由于排球是不可辨认的,所以分法的异同主要由分得的排球数决定.(一)若4个小组每组至少1个,则可分为:1,1,1,7;1,1,2,6;1,1,3,5;1,1,4,4;1,2,2,5;1,2,3,4;2,2,2,4;1,3,3,3;2,2,3,3.∴共有44444432223222NA3A3A2=A×+A×+A?A×4+A4=84.(二)把10个排球放成一行:〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇,其中有9个间隔,用3块隔板放入9个间隔中,可把10个排球分成4组,每组至少1个,一共有N=C93=84(种)显…     

运用“隔板法”巧解题

在解有关排列组合问题时,常会用到"隔板法"."隔板法"就是在n个元素间的(n-1)个空中插入个m个板,把n个元素分成(m+1)组的方法.应用"隔板法"解题,必须至少满足两个基本条件:(1)这n个元素必须相同(即:元素相同)(2)所分成的每一组中至少有一个元素(即:至少一个)"隔板法"常用于相同元素的分配问题,常见的有投球进盒、名额或指标的分配、不定方程的整数解问题例1有5个一样的球,分给3个人,每人至少分1个,则有几种不同的分法呢?解析可以想象成5个球排成一排,中间有4个空,我们把四个空分别记为1,2,3,4,则从4个数字里取两个数字,     

一道组合题及其变式的解析

变式训练和一题多解是提高思维能力的有效途径,尤其是对排列组合应用题,解答常常似是而非,而又难知错误所在,此时,利用变式及一题多解来比较、纠错尤显必要.请看下面一道典型习题.【例】将n 1个相同的小球装入n个不同的盒是,若不允许有空盒,有多少种不同的装法?解析一:问题可转化为将排成一排的n 1个球,分成n部分,每部分至少有一个球的分法数.n 1个球之间具有n个空档,设将n-1块隔板插入这n个空档中,每一种插法都可将n 1个球分成符合要求的n部分,所有的插法数为Cnn-1种,即有Cnn-1种装法.解法二:设n个小盒所装球个数分别为x1、x2…xn,则问题…     

趣题三则

口酌 1.怎样分? 你能将右图分成形状相同、大小相同的12块吗? 容易想到的分法如图2、3、4.你还能想出其他的分法吗?(南京市成伍)而酬明图2图3图4 2.两支蜡烛 停电时,小明点起了两支蜡烛.这两支蜡烛一般长,可不一般粗.粗蜡烛可点2小时,细蜡烛可点1小时.来电后,小明吹灭了两支蜡烛,发现粗蜡烛是细蜡烛长度的2倍.问停电多长时间? (吉林省长春市第八十中学徐彬杨玉英) 3.哪个球重盘不一样? 在一个装置上连结着A一H八个球形物体.现在所有的杆是水平的,呈平衡状态.其实这八个球中只有一个球外观与别的球一样,但重量则与另外七个球的重量完全不同.…     

排列组合解题教学中的批判性思维训练

一例错解及其启示 题目把n个无区别的小球放入k个不同盒中(k≤n),问有多少种不同分法?这个问题的简单情形是不允许出现空盒,设想n个小球一字排开,每两个小球之间有一个间隔,共有,n-1个间隔.由于不能出现空盒,相当于从n-1个间隔中任意选择k-1个间隔来放进隔板,从而共有C<'k-1><,n-1>种不同的分法.     

浅谈隔板法的应用

1　基本应用隔板法是插空法的一种特殊情况 ,能解决一大类组合问题 ,请看以下典型问题 :例 1　 9个相同的小球放到 6个不同盒子里 ,每个盒子至少一个球 ,有多少种不同的放法 ?解析　法 1:先在盒子里各放一个球 ,再把剩下的 3个球放到 6个盒子里 ,分三类 :① 3个球放到一个盒子里 ,有C1 6 种放法 ;② 3个球放到 2个盒子里 ,球数分别为 2 ,1,共A26种放法 ;③ 3个球放到 3个盒子里 ,每个盒子各 1个球 ,共C36 种放法 .根据分类计数原理 ,共有C1 6 A26 C36 =5 6种放法。法 2 :把 6个盒子看作由平行的 7个隔板组成的 .每一个满足要求的放法都…     

看清问题 用好隔板

例1 将7个相同的小球分装到3个不同的盒子中，每个盒了举少分到1个小球，共有多少种不同的分法？     

巧分妙割

这是一个4×4的网格,沿格线将其分割成形状、大小都相同的两块,你能想出几种不同的分法?     

不妨预先放入“-1”个小球

众所周知,有一类相同元素的分配问题是可以借助“档板法”来处理的.例1将10个相同的小球分装到3个不同的盒子中,每个盒子中至少分到1个小球,共有多少种不同的分法?解析把10个小球一字排开,中间有9个空位,若从中任取2个空位插上档板,则可把这10个小球分成3份,每份至少1个小球,将每个盒子对应取其中1份,恰好满足题意的要求,所以共有C92种不同的分法.这方法虽巧,但有局限性,即有“每盒子至少分到1个小球”的要求.如果没有了这样的要求,该如何处理呢?例2将10个相同的小球分到3个不同的盒子中,共有多少种不同的分法?解析该题是在没有任何限制的…     

2006年第1期问题解答

1.有一块长30厘米、宽24厘米、高15厘米的长方体,平均分成3块后,表面积增加多少平方厘米?解:若沿长将它分成3个长方体,则表面积增加:4×24×15=1440(平方厘米);若沿高将它分成3个长方体,则表面积增加:4×30×24=2880(平方厘米);若沿宽将它分成3个长方体,则表面积增加:4×30×15=1800(平方厘米).注:此题中表面积增加多少与分长方体的方式有关.要把一个长方体平均分成3块,分的方法有多种,不同的分法,分后增加的表面积会不同.2.A国人表示日期的方式是日/月/年,而B国人表示日期的方式是月/日/年.所以,对于1/6/2005这个日期,A国人会理解成2005…     

数学学习方式的选择——辩证的小学数学教育系列思考之四

一、案例:“平均分的意义”教学 1.把6张扑克分给两个学生,有几种分法? 2.平均分的概念。 (1)比较上面几种分法,哪一种分法比较特殊?为什么说它特殊? (2)像这样的分法我们给他取一个名字,你能吗? (3)什么叫平均分? 3.判断平均分,并说明理由。 (另补充把一个圆平均分成2份、不平均分两种情况。) 4.平均分的分法。 (1)平均分需要知道哪两个条件?     

智力小挑战

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"搭伴法"——解决平均分组问题的黄金搭档

看下面的几个平均分组问题: 问题1:小王、小张、小李、小赵4人平均分成2组参加劳动,有多少种分法? 问题2:A、B、C、D、E、F、G、H、I、J共10名男生,平均分成2组打篮球,有多少种分法? 问题3:A、B、C、D、E、F共6人平均分成3组,每组2人,有多少种分法?     

排列组合中一类“放球入盒”问题的解法

“放球入盒”问题可以分为两类.一n个不同的小球放入m个不同的盒子里例17个不同的小球放入7个不同的盒子里,有几种不同的放法?分析:先将7个小球全排列,然后依次将小球装入7个盒子里,共有A77=7!种.不能同时将球和盒子都作全排列,因为将球全排列后,每个盒子都有可能装到每个小球.例27个不同的小球放入7个不同的盒子里,恰好有一盒子是空盒,则共有几种不同的放法?分析:运用乘法原理中的分步要不重复,不遗漏.对于本题,第一步,选一盒为空,有C17种;第二步,从7个不同小球中选两个成一组,有C27种;第三步,从剩余的6个空盒中选一空盒装已选的2个球,有…     

巧用几何性质,妙解面积问题

例1图1所示的铁皮,工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两块,请您帮助工人师傅设计五种不同方案(不写作法,保留作图痕迹或简要说明).分析与解现用三种方法解答如下:(1)逐步二等分法①如图2中,先分出两块S(4×2),剩下的长方形7×4中连对角线AB,即为所求;②如图3中,先分出4块S(4×2),剩下的长方形4×3中,连对角线CD,即为所求.(2)对称中心法①如图4中,先分出两块面积S(4×2),剩下的长方形尺寸为7×4,经过它的对称中心O,任作一条直线EF(使点F在线段CD上),正好将长方形二等分,所以直线EF即为所求;73说明这里用到一个性质:过长方形的…     

隔板原理在组合问题中的应用

问题　把ｎ个相同的小球放入ｍ个不同的盒子中 (ｎ ≥ｍ≥ 1) ,要求每个盒子非空 ,问有多少种不同的放法 ?这是一个常见的组合问题 ,可先将ｎ个小球排成一列 ,然后在每两个小球的ｎ- 1个空档中插入ｍ- 1块隔板 ,这样就将ｎ个小球分割成ｍ组 ,每组小球依次放入ｍ个盒子中 ,就得到Ｃｍ- 1ｎ- 1种不同放法 .我们不妨把这种方法称为“隔板原理” ,它在解决一类组合应用题时十分有用 ,试看以下几例 :例 1　某校高一年级共有 12个班级 ,现要从中选出 2 0名同学参加座谈会 ,要求每班至少有一名同学参加 ,共有多少种不同的选法 ?解　将 2 0个名额 (…     

对《数的组成教学一得》的一点补正

看了《幼儿教育》1989年第7期《数的组成教学一得》一文,感到作者虽然采取启发幼儿分析实例的办法进行教学,值得借鉴,但文中将“5的所有分法”列为7种,却是不够全面的,有必要给予补正。我在教学中也曾以5个苹果为例,启发幼儿分给自己家里的人,说说该怎样分。结果,除了一部分幼儿按通常的分法分成“3和2”或“4和1”以外,许多幼儿都能按照家里的实际人数,采取不同的分法。如:有的幼儿说“妈妈1个,爸爸1个,我吃3个。”有的说:“我吃1个,2个给爸爸,2个给妈妈。”还有的说“我家奶奶年纪大,奶奶吃2个。我和爸爸、妈     

关于一道数学竞赛题的解答

中学数学奥林匹克竞赛辅导(中国标准出版社)P121—125中有这样一道题: 一个给定的凸n边形A_0A_1A_2…A_(n-1),用不在形内相交的对角线将它分成n-2个三角形,问有多少种不同的分法? 该书的解答是错误的,为便于分析,我们将解答译要抄录于下: 解:记分法数为S_n,易见S_3=1,S_4=2我们来建立凸k 1边形分法数S_(k 1)与S_k、S_(k-1)的递推式.     

例谈排列组合中的重复问题

在解决一类排列组合问题时 ,容易出现重复计算 ,学生对此感到棘手 .如何避免重复计算 ,笔者现就这些问题及解法略举几例 ,供大家参考 .问题 1　将 6人分成两组 :(1 )如果第一组 2人 ,第二组 4人 ,有多少不同的分法 ?(2 )如果每组 3人 ,有多少种不同的分法 ?分析　显然 ,第一组