再谈|z_1| |z_2| … |z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|等号成立的条件

我刊1995年第2期第21页上“利用|z_1|十|z_2|十…|z_n|≥|z_1 z_2 … z_n|求函数的最小值应注意条件”一文刊出后,先后收到了天津市民族中学孟德酉(邮编:300122)、安徽巢湖市一中陈达宜(邮编:238000)、湖南湘潭大学子校刘建军(邮编:411105)、山东师范大学数学系91级1班孙振波(邮编:250014)、湖南湘乡市教师进修学校王达尊(邮编:411400)、浙江永康市芝英中学俞和平(邮编:321306)等多位同志来函、来文,指出了该文的错误所在,并阐明了正确的方法,现把各位同志来稿综述如下,以示更正,并向以上各位作者表示衷心的谢意,谨向读者致歉.     

不等式｜｜z_1｜-｜z_2｜｜≤｜z_1±z_2｜≤｜z_1｜+｜z_2｜的建立与证明

教师 :设z1 、z2 是非零复数 ,如何用几何方法作出复数z1 +z2 对应的向量 ?学生 :分别作出复数z1 、z2 对应的向量OA、OB ,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB ,则向量OC就是复数z1 +z2 对应的向量 .如图 1所示 .教师 :图 1所给出的解答完善吗 ?学生 :不完善 .当向量OA、OB共线时 ,平行四边形OACB就不存在了 .对角线向量OC也就随之消失 .因此 ,这时不便用平行四边形法则来作出z1+z2 对应的向量 .教师 :此时 ,如何作出z1 +z2 对应的向量 ?学生 :先作出复数z1 对应的向量OA ,然后以A为起点作向量AB ,使AB与复数z2 对应 ,则向量OB就…     

复数z_1、z_2的商z_1/z_2与∠z_1Oz_2之间的关系

复数练习题中，经常出现已知复数ｚ１、ｚ２的商，求∠ｚ１Ｏｚ２（ｚ１、ｚ２是复数ｚ１、ｚ２的对应点）或∠ｚ１Ｏｚ２的三角函数值这类题目。在解此类题目时，学生普遍感到思路不清，有困难。究其原因，实为学生对两者之间的内在联系没有弄清。本文想对此作一些探讨，使学生在解题时有规律可循。设即为纯虚数＝９０°。同理，若Ｒ，ｙ≠０），为纯虚数＝９０°。ｚ２－ｚ例１　已知复数ｚ１、ｚ２的对应点为ｚ１、ｚ２，例２已知ｚ１、ｚ２在复平面上的对应点分别是ｚ１、ｚ２，ｚ１＝ａ，３ｚ１２－２ｚ１ｚ２＋２ｚ２＝０，求ｚ１Ｏｚ…     

使用|Z_1 Z_2|≤|Z_1| |Z_2|时要注意等号成立条件

本刊1985年第四期刊登了《复数证明不等式初探》一文,该文能灵活运用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|进行解题,阅后得益非浅,但美中不足之处是在使用这个不等式时没有指出等号成立条件。从而学生在使用不等式|z_1 z_2|≤|z_1| |z_2|时存在盲目性。这正是我们教师应该指点之处。为了说明问题,我们将原文中例6,求证: (x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)≥17~(1/2)(原文题目有印错)改为: 例1:求函数y:(x~2-4x-5)~(1/2) (10-2x x~2)~(1/2)的极小值。     

利用Δ法求函数值域应注意的问题

在求形如 y =ax2 bx cdx2 ex f的值域时 ,可将函数转化为关于x的二次方程 ,通过判别式求出函数的值域 .但利用Δ法求函数值域时应注意以下两个问题 .1 .如果函数 y =ax2 bx cdx2 ex f(d≠ 0 )的分母含关于x的二次三项式 ,分子的最高次是二次或一次或零次 ,函数的定义域为R ,可采用Δ法求函数的值域 .例 1　求函数 y=2x2 2x 3x2 x 1 的值域 .解 :令 g(x) =x2 x 1 ,其Δ =1 2 -4=-3 <0 ,∴故 g(x) =x2 x 1 >,函数 g(x)的定义域为R .∴已知函数可化成(y -2 )x2 (y -2 )x y -3 =0 .∵x∈R且 y≠ 2 ,∴关于x的方程应有Δ =(y…     

求函数最小值的数值方法

本文利用等距节点的插值方法,推导出某些特殊函数的最小点及最小值的近似值的计算公式。     

求函数值域应注意的一个问题

在应用初等方法,求如下类型的函数y(x)=sum from i=1 to ∞(1/n)a_ix~k_i……(1)(n为不小于2的自然数,a_i>O,x>0,K_i为非零整数且sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的值域时,因sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的诱发,极易上基本不等式a_1+a_2+…+a_n/n≥a_1a_2…a_n~(1/n)……(2)(n为不小于2的自然数,a_i均为正数;当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,等式成立)的当！请看下面的例1:     

利用反函数求函数的值域应用中应注意的一个问题

利用求反函数的定义域的方法来求原函数的值域时，求解过程中，若“两边平方”，一定要注意原函数的定义域，并正确求出反函数这一问题。     

利用反函数求函数的值域应用中应注意的一个问题

利用求反函数的定义域的方法来求原函数的值域时,求解过程中,若“两边平方”,一定要注意原函数的定义域,并正确求出反函数这一问题。     

求函数解析式及应注意的问题

函数是中学数学最重要的概念之一，求函数的解析式是比较复杂的问题，不仅要求解析式，同时要考虑定义域，因而学生在学习过程中常常感到较难，无从下手．下面对求函数，f(x)的解析式的方法及应注意的问题作一归纳，供同学们参考学习．     

一道求函数最小值典型问题的教学实践

以一道典型问题为主线,将基本不等式、函数的单调性与函数的最大值和最小值相结合,总结教学实践中的一些尝试和思考．在教学中,运用“设陷”的问题情境,采用阅读引入、变式处理、多媒体软件辅助等手段,通过问题引导,激发学生思考,促进学生在问题解答过程中获得相关经验的积累．更重要的是将时间还给学生,这对学生而言,远比学习知识本身重要得多．     

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下最小值的方法及其推广

求函数f(x,y)=x~2 y~2在条件x y=1下的最小值,通常有如下几种解法: 解法一 应用一元函数的配方法 由条件x十y=1,得y=1—x,将其代入f(x,y)=x~2 y~2,得到一元函数 f(x)=x~2 (1—x)~2=2x~2-2x 1=2(x-1/2)~2 1/2(1)因为(x-1/2)~2≥0,故由(1)式知,当x=1/2时,函数f(x)取最小值。将x=1/2代入y-1—x,得y=1/2。因此,当x=1/2,y=1/2时,函数f(x,y)-x~2 y~2在条件x y=1下取最小值(1/2)~2     

巧求函数y=Asin~mx Bcos~nx的最小值

一般来说,求函数y=Asin~mx Bcos~nx(A,B>0,m,n∈N,且m、n>2)的最小值较为困难,但是我们可通过灵活地设置参变量,巧妙地利用几何—算术均值不等式转化为平方关系,sin~2x cos~2x=1而求得,下面举例说明之。     

充分发挥d=｜z_2-z_1｜的功能

充分发挥ｄ＝｜ｚ２－ｚ１｜的功能黄关汉（浙江义乌市新义中学３２２０００）高中代数下册课本中，复数ｚ１、ｚ２表示的两点Ｚ１、Ｚ２，设Ｚ１Ｚ２→模为ｄ，则ｄ＝｜ｚ２－ｚ１｜．充分发挥这一公式的功能，可以解决一大类问题，如｜ｚ－ｚ１｜＝ｒ，｜ｚ－ｚ１｜＋｜...     

求函数最值的一般方法和应注意的问题

本文主要是总结一下现行统编教材中涉及到的最值问题的求法,以及在应用这些方法时要注意的问题。一、一元二次函数的最值 1.y=ax~2 bx c(a≠0,x∈R)当x=-b/2a时,y(最值)=(4ac-b~2)/4a 2.y=ax~2 bx c(a≠O,x∈[α,β])(1)-b/2a∈[α,β]时,y_(max)=max{f(-b/2a),f(α),f(β)}     

求最大值与最小值时应注意的几个问题

解最值的题中,常利用的方法有:判别式法、三角函数的有界性、基本不等式和二次函数的配方法。这些方法虽然易记,但是由于不重视正确理解概念和条件,所以解题时常出现一些错误.下面就四个方进行浅析。 一、利用“△”法求极值时,忽视方法或公式成立的条件 【例】求函数y=3/(2+cosx)(4-cosx)的极值。错误解法:把原函数变形为ycos~2x—2ycosx—8y+3=0由y≠0和△≥0 得y<0或y≥1/3,所以y极小值=1/3 错误的原因是认为这是二次有理分式函数,故不中考虑地用“△”法求极值,而没有考虑     

用判别式法求函数值域应注意的几个问题

用判别式法求函数值域应注意的几个问题邢天军（甘肃省临泽一中７３４２００）利用判别式解题是数学解题中一种重要且常用的方法．对于可化为形如ａ（ｙ）ｘ２＋ｂ（ｙ）ｘ＋ｃ（ｙ）＝０（＊）的函数式ｙ＝ｆ（ｘ）,用判别式法求其值域,即求方程（＊）中ｘ在定义域内有...