数学竞赛中最值问题的构造法

最值问题在各级各类数学竞赛中经常出现 ,有些最值问题用常规方法处理有一定的难度 ,而采用构造法 s既巧妙、又简捷 ,能启发人的思维。本文通过实例浅谈一下具体应用。1　构造方程例 1 ,设两个实数 XY的平方和为 7,立方和为1 0 ,求 x+y的最大值。 (1 983年美国数学竞赛题 )解 :依题意 :x2 +y2 =7x3+y3=1 0令 :x+y=s,xy=t,即可构造如下方程s3- 2 1 s+2 0 =0　即 (s- 1 ) (s- 4) (s+5) =0因此　maxs=max(x+y) =4。2　构造图形例 2 ,求函数 f(x) =x4 - 5x2 +4x+1 3+x4 - 9x2 - 6x+34的最小值。解 :先将 f(x)变形为 :f(x) =(x- 2 ) 2 +(x2 - 3)…     

尤拉公式eiθ=cosθ+isinθ的一种证法

尤拉公式 eiθ=cosθ+ isinθ深刻地揭示了指数函数与正弦函数、余弦函数间的密切联系 ,在数学分析、复变函数以及微分方程论中有着极其广泛的应用。为了使学生较早接触到尤拉公式 ,以便更好地加以利用 ,可用与一般教科书不同的方法来证明尤拉公式。1　几个极限1 .1　 limn→∞〔( 1 + αn) 2 + ( βn) 2〕n2 =eα( α,β为常数 )证 :令γ=2αn+ ( αn2 ) + ( βn2 ) ,则当 n→∞时 ,γ→ 0 ,且 n2 ·γ=α+ α2 n+ β2 n→α∴ limn→∞〔( 1 + αn) 2 + ( βn) 2 〕n2 =limn→∞〔1 +γ〕n2 =limγ→ 0 〔( 1 +γ) 1γ〕γn2 =eα1 .2　 l…     

贝母属三个分类群的核型研究

本文对浙贝Fritillaria thunbergii Miq．(取材于浙江鄞县和舟山)、东贝 F.thunbergii var． chekiangensis Hsiao et K.C.Hsia和皖贝F.anhuiensis S．C.Chen et S．F.Yin的核型进行了分析比较， 其中东贝和浙贝(舟山)为首次报道．浙贝的核型：取材于浙江鄞县的为2n=24=4m(1sc) l)+4st(1sc) +16t(1sc)，取材于浙江舟山为  2n=24=2m+2sm+12st(1sc)+8t(2sc)，东贝的核型为 2n＝24=2m+2sm+8st(2sc)+12t(4sc)，皖贝的核型为2n=24=2m+2sm+8st(2sc)+12t(5sc)。3个分类群均属3B核型。     

黄精属5种植物的核型研究

 本文报道了安徽省黄精属Polygonatum Mill．5种植物的染色体数目和核型。玉竹P. odoratum (Mill.)Druce黄山材料2n=16=10m(3sc)+6sm，滁县琅琊山材料2n=18=10m(1sc) +2sm+6st(2sc)，二者均属2B核型． 长梗黄精P．filipes Mirr. 黄山材料2n=22=8m+8sm(2sc)+6st，属3B核型，安徽繁昌材料2n=14=10m+4sm和2n=16=8m +4sm+4st，二者均属2B核型。多花黄精(P.cyrtonema Hua)安徽黄山材料2n=20=8m+6sm+6st和2n=22=6m+8sm +4st+4t，二者均属3B核型，安徽滁县琅琊山材料2n=18=8m(2sc)+6sm+4st，属2B核型。长苞黄精(P．desoulayi kom．) 2n=22=10m(2sc)+6sm(1sc)+6st，属3B核型；轮叶黄精(P．verticillatum(L．)All．)2n=18=2m+2sm+10st+2t+2T和2n=24=6m+4sm+12st+2T，二者均属3B核型。其中玉竹2n=16，长梗黄精2n=14和2n=22，长苞黄精2n=22，轮叶黄精2n=18的染色体数目和核型均为首次报道。     

用函数方法巧解数列中的有关问题

数列是一类特殊的函数(其定义域为N*或N*的有限子集),因此在研究数列的有关问题时,要注意函数方法的应用,下面举例说明。例1:已知SN为等差数列｛!n｝的前n次的和,求证:Sp-Sqp-q=Spp++qq分析1:设等差数列｛"n｝的公差d,利用等差数列前几次和的公式及题中的信息暗示,可证明证明(一)设等差数列｛#n｝的公差为d,则SP=p$1+p(p2-1)d(1)Sq=q%1+q(q2-1)d(2!####"####$)(1)-(2)得Sp-Sq=(p-q)&1+d2(p+q-1)(p-q)∴SpP--qS q=(1+(p+q-1)2d∴Spp--Sq q=Spp++qq分析2:若等差数列｛*n｝的公差为d,则它的前n次和Sn=d2n2+(+1-2d)n,进一步有Snn=2d n+(…     

云南松居群核型变异及其分化研究

在分析研究6个云南松居群核型变异的基础上,应用常规统计方法和巢式分析方法,在常规染 色体水平上探讨云南松居群间、个体间和细胞间的变异式样及其分化。结果如下:(1)云南松居群核型 变异不显著,6个居群的核型公式均为2n=24m(6～10SAT),核型类型均为1A。(2)云南松居群仅相 对长度系数、臂比和次缢痕数目及其分布有小的变化。6个居群染色体相对长度系数(I．R．L)分别为: 滇中居群P1=16M2+6M1+2S;滇东南居群P2=14M2+8M1+2S;滇西居群P3=12M2+10M1+2S; 地盘松居群P4=14M2+8M1+2S;细叶云南松居群P5=14M2+8M1+2S;云南松与思茅松渗入杂交 居群P6=10M2+12M1+2S。(3)巢式方差等级分析表明,云南松染色体结构变异有10％左右来源于居群间,有90％左右来源于居群内个体间或细胞间。     

毛莨在江西的核型变异

本文报道了毛茛(Ranunculus japonicus Thunb．)在江西发现的核型变异。R．japonicus 的基本核型为2n=14=6m+4sm十4st (2SAT)；变异核型为2n=14十1B=6m+4sm+4st (2SAT)十1B和2n=14=6m+6sm(2SAT)+2st。核型变异表现在增加B染色体或第4对同源染色体异形及第6对随体染色体臂比变化。     

对《R＆D成功后的授权策略》的几点修正

《R&D成功后的授权策略》(预测 ,2 0 0 3,2 2 (2 ) :5 1 5 4 ) [1]一文中的一个重要公式推导错误 ,导致其得出了一些错误结论。本文一一给予修正。1　错误的所在文献 [1]的主要错误出现在分析n家企业参与授权时的情形下 ,错误地得出了　　H =(5n +4) (a -c) 24 (n +1) 2 ,　nQ =n(a -c)2 (n +1) (1)而正确的结果为　　H =n(n +2 )4 (n +1) 2 (a -c) 2 ,　nQ =n(a -c)2 (n +1) (2 )由此导致原文多个结论出现了错误。2　对授权方收益变化结论的修正命题　对于授权方来说 ,参与授权的企业越多 ,研发机构获得的收益越多 ,但增加速度变慢。对…     

中国毛茛属新分类群及其核型

新种R．shuichengensis L，Liao有两种核型类型，即基本型2n=2x=16=4m+2sm+10st(2SAT)；杂合型2n=2x=16=4m+2sm+9st(1SAT)+1t(1SAT)，其核型和近缘种R．trigonus Hand．- Mazz.核型相似，但其随体染色体短臂比后者更小而不同。新变种R．silerifolius var．dolicanthus L. Liao核型(2n=2x=16=4m+2sm+10st(2SAT)与原变种Var．silerifolius不同。根据形态和染色体的特征，我们认为本文中两个新分类群和R．Trigonus是国产毛茛组中x=8至x=7的过渡类群。     

江西5种毛莨属植物核型研究

本文报道了江西毛茛属5个种的染色体数目及核型，其中猫爪草Ranuncunlus ternatus   Thunb．(2n=4x=32；2n=2x=16=8m+2sm+6st)，肉根毛茛R．Polii Franch．(2n=2x=16=8m+2sm+6st)和杨子毛茛R. sieboldii Miq.(2n=8x-1=63=15m+18sm+22st+8t)的染色体核型为首次报道。我们认为：(1)R. ternatus Thunb．和R. polii Franch．的核型十分相似，显示出有较近的关系。(2)毛茛属Ranunculus L. 中存在较多的多倍体复合体。(3)根据王文采(1980)系统划分的美丽毛莨组(Sect．Auricomus)植物的核型属2A型；石龙芮组(Sect．Hecatonia)植物的核型属2B型；毛茛组(Sect．Ranunculus)植物核型为3A或3B型。三个组在核型上的关系和形态上的关系相似。     

六种葱属植物核型研究

 葱属粗根组和根茎组6种11个居群的染色体数目和核型的研究结果如下:A．cyathophorum: 2n=2x=16=12m+4sm(2SAT)。A．przewalskianum:西藏察雅和四川理县居群分别为2n=4x=32 =28m+4st(2SAT)and 2n=4x=32=28m+2sm+2st(2SAT)。A． polyrhizum :2n=2x=20m+8sm+ 4t(2SAT)。A．mongolicum:2n=2x=16=14m+2st(2SAT)。A.senescens:朝鲜郁陵岛和中国内蒙古 科尔沁左翼后旗居群分别为2n=4x=32=28m+2sm+2st(2SAT)and 2n=4x=32=24m+4sm+4st (2SAT)。A．tuberosum:所研究的四个居群中,山西永济居群为二倍体,2n=2x=16=14m=2st (2SAT),另三个分别来自四川的理县、汶川玉龙和成都三瓦窑的居群均为四倍体,2n=4x=32=28m +4st(2SAT)。A．przewalskianum,A．polyrhizum and A.  mongolicum的核型为首次报道;并首次 在中国发现了A．tuberosum的野生二倍体居群。此外,还讨论了栽培韭的起源以及A．cyathophorum,A．przewalskianum和A.  senescens种内居群间的核型分化问题。     

百合科六属十五种植物的细胞学研究

本文对云南西北部百合科6属15种的染色体和核型进行了报道。 (1)Clintonia udensis Trautv．et Mey间期核属于浓密分散型，前期染色体属于渐变型，分裂中期体细胞染色体2n=14=8m+4sm+2st(2SAT)，核型不对称性属于2A型；(2)鹿药属四个种间期核属于复杂中央微粒型，前期染色体属于中间型，分裂中期体细胞染色体分别为Smilacina henryi(Baker)Wang et Tang，2n=36=12m+16sm+6st+2t(2SAT)，  核型不对称性属于2C型；Smilacina fusca Wall., 2n=36=14m(2SAT)+12sm+10st(2SAT)，  核型不对称性属于2B型；  Smilacina tatsienensis(Franch．)Wang et Tang，  2n=36=22m+2sm+2st(2SAT)，  核型不对称性属于2C型；Smilacina atropurpurea(Franch．)Wang et Tang，2n=36=18m+6sm(2SAT)+12st，核型不对称性属于2C型；(3)黄精属四个种的间期核属于复杂中央微粒型，前期染色体属于中间型，分裂中期体细胞染色体分别为Polygonatum kingianum Coll．et Hesml．，2n=30=12m(2SAT) +6sm+lst+2t，  核型不对称性属于2C型；  Polygonatum cirrhifolium(Wall．)  Royal，2n=30=10m+4sm+12st+4t，  3C型；  Polygonatum  curvistylum  Hua，  2n=78=24m(2SAT)+14sm(6SAT)+40st，  核型不对称性属于3C  型；  Polygonatum  cathcartii  Baker，2n=32=12m+6sm+10st+2t+2bs，核型不对称性属于2C型；(4)百合属，假百合属，豹子花属三个属的间期核和前期染色体形态相似，都属于复杂中央微粒型，前期染色体属于中间型，分裂中期体 细胞染色体分别为Lilium  henricii Franch，2n=24=2m(2SAT)+2sm+10st+10t，核型不对称性属于3A型；Lilium bakerianum Coll．et  Hesml．var．  rubrum  Stearn，    2n=24=4m  (2SAT)+10st+10t(2SAT)，核型不对称性属于3A型；Nomocharis bilouensis Liang 2n=24=2m(2SAT)+2sm+12st+8t，核型不对称性属于3A型；Nomocharis pardanthina Franch．，2n=24=4m(2SAT)+12st (2SAT)+8t，核型不对称性属于3A型；Nomocharis sauluensis Balf, f.,2n=24=4m(2SAT)+10st(2SAT)+10t，核型不对称性属于3B型；Notholirion campanulatum Cotton et Stearn2n=24=2m(2SAT)+2sm+14st(2SAT)+6t，核型不对称性属于3A型。     

判定等比数列四法

一、定义法 　　根据等比数列的定义,判断an+1an/,或an/an-1(n＞1)是一个常数. 　　例1 在等比数列{an}中,an=3·(1/2)n-1,且bn=a3n-2+a3n-1+a3n,判断{bn}是否为等比数列?……     

凸函数理论及应用策略

定义:函数f(x)如果对其定义域中任意的x1、x2都有如下不等式成立,即f(x1+x2/2)≤f(x1)+f(x2)/2则称f(x)为下凸函数,等号当且仅当x1=x2时成立.如果总有f(x1+x2/2)≥f(x1)+f(x2)/2则称f(x)为上凸函数,等号当且仅当x1=x2时成立.……     

五种国产木来木属（广义）植物的核型

对分布于我国的木来木属Cornus L．(广义)4个主要类群的5种植物进行了细胞学研究。结果表明，这5种植物的染色体数目和核型分别为：灯台树 C．controversa Hemsl．2n=20=2m+8sm+10st；红瑞木 C．alba L．2n=22=8sm+12st+2t；毛木来C．walteri Wanger．2n=22=8sm+14st(0-2SAT)；山茱萸C.officinalis Seid. et Zucc. 2n=18=8m+l0sm(0-2SAT)；四照花(变种)C．kousa var. chinensis Osborn 2n=22=2sm+6st(0-2SAT)十14t。     

关于调荷节电问题的分析与探讨

1、具体分析 1.1在全部用电时间内负荷应力求均衡在保持总用电量不变的情况下,如视均衡用电的负荷电流始终为I_(pi),此时线变损为ΔW_2=3I_(pi)~2TR线损波动系数为 R_b=ΔW_1/ΔW_2=3(I_(pi)~2+sum from J=1 to nΔI_j~2t_j)R/3I_(pi)~2TR=1+sum from J=1 to nΔI_j~2t_j/I_(pi)~2T 因为t_j>1,ΔI_j~2≥0故R_b≥1,等号只有在sum from J=1 to nΔI_j~2t_j/I_(pi)~2为零时成立,即ΔI_j全部为零时立,ΔI_j全P为零即是均衡用电,ΔI_j中只有一个不为零都会使线变损增加。从线变损波动系数公式可以     

东北地区小麦族11种植物的核型报道

本文对中国东北地区小麦族11种植物的核型进行了研究。  结果如下：冰草2n=4x=28=20m  +8sm；偃麦草2n=6x=42=34m(2SAT)+8sm；短芒大麦草2n=4x=28=20m+8sm(4SAT)；吉林  鹅观草2n=4x=28=20m+8sm(4SAT)；大芒鹅观草2n=4x=28=20m(2SAT)+8sm(2SAT)；老芒  麦2n=4x=28=20m+8sm(4SAT)；  披碱草2n=6x=42=32m+10sm(6SAT)；  肥披碱草  2n=6x=42=32m+10sm(6SAT)；羊草2n=4x=28=20m(4SAT)+8sm；纤毛鹅观草2n=4x=28= 22m(2SAT)+6sm(2SAT)；鹅观草2n=6x=42=30m+12sm(4SAT)；其中前5种的核型为首次报道。     

二倍体石蒜在安徽发现

 本文以根尖细胞为材料，观察了石蒜Lycoris radiata(L′Her．)Herb．三个不同居群植物的染色体数目和核型，发现石蒜为一复合体，包括两种不同类型：(1)三倍体类型，主要包括一群以鳞茎无性繁殖的园艺栽培植株，其染色体数目和核型为2n＝33=33t(st)，属“4A”核型，且极其稳定。(2)二倍体类型，主要包括一群野生植株，变异较大，我们发现有下列几种情况：一是芜湖产石蒜(L．radiata)的野生材料，其染色体数目和核型为2n=21+1B=1m+12st+8t+1B，属“3A”核型，在石蒜种内迄今未见有类似报道；另一是黄山产野生材料，观察到两个细胞型，绝大多数细胞为2n=22＝12st+1Ot，极个别细胞出现2n＝22+1B=6st+14t+2T+1B的情况，均属“4A”核型。芜湖和黄山野生材料的染色体数目和核型均为首次报道。石蒜(L．radiata)的二倍体类群也是首次在安徽发现。     

带有低阶项的非散度椭圆方程解的二阶导数的高阶可积性

研究如下形式的非散度椭圆方程Lu=n∑i,j=1aij(x)(ε)2u/(ε)xi(ε)xj+n∑i=1bj(x)(ε)u/(ε)xi+c(x)u=h(x)解的二阶导数的高阶可积性,其中系数aij(x)有界且具有小BMO范数,bi(x),c(x)∈Ln(Ω),Ω为Rn(n≥3)中的有界光滑域.     

实数域上反对称矩阵空间保可交换的加法满射

R是实数域,SK_n(R)表示R上n×n反对称矩阵空间(其中n≥4,并且n为偶数),本文刻画了SK_n(R)到自身满足f(A)f(B)f(C)=f(C)f(A)f(B)当且仅当ABC=CAB的加法满射f的形式,并且又刻画了SK_n(R)到自身满足g(A_1)g(A_2)…g(A_(2k+1))=g(A_(t1)/sub)g(A_(t2)/sub)…g(A_(t2k+1)/sub)当且仅当A_1A_2…A_(2k+1)=A_(t1)/subA_(t2)/sub…A_(t2k+1)/sub的加法满射g的形式,其中k≥1,k∈Z,t_1,t_2,…,t_(2k+1)是1,2,…,2k+1的任意排列。