待定系数法统一证明 陶冶情操一题多证

文[1]就条件为“a＋b＋c=k（常数）”的一类不等式给出了一种叫“函数法”的统一证明,其证法和谐、理论上可操作,但求导后的化简整理部分繁琐、实际上不可操作．出于应试角度的考虑,在单位时间里要完成这些高技巧的复杂的恒等变形,进而由导函数的符号判别出函数的恒号是不够现实的．为此,本人另辟蹊径给出这类不等式证明的统一的、操作性强的、初等的方法——线性待定系数法;另,摭谈不等式证明的一题多证,以开阔证明思路、陶冶情操、以飨读者．     

用待定系数法证明数列不等式高考题

解答2009年高考数学山东卷理科第20题第（2）问、2009年高考数学广东卷理科压轴题第（2）问的左边和2008年高考数学福建卷理科压轴题最后一问、2007年高考数学重庆卷理科第21题第（2）问、     

“待定系数法”在解证不等式问题中的应用

“待定系数法”是指对于有些具有某种确定形式的数学问题,可以引入一些待定的系数,利用已知条件列出含有待定系数的方程（或方程组）来解决．笔者深受文[1]、[2]的启发,归纳了利用一些重要不等式（如均值不等式、柯西不等式等）解证有关不等式时巧妙利用“待定系数法”,化解难点的方法．下以数例予以说明．     

待定系数法求一类函数的最小值

形如y=a√x2 bx c-dx(a,c,d＞0,a＞d,b2-4c＜0)的函数的最小值除了可以利用判别式法求得以外,还可以通过待定系数利用平均值不等式求解.     

例谈待定系数法求数列通项

由数列的递推式求通项是高考的常青树,经久不衰,且解法多种多样,五花八门,学生不容易系统掌握,高考失分严重.就此本人将几种常见由数列的递推式求通项归纳为待定系数法求解,收效良好,在此与同行共勉.例1已     

用待定系数法解题举例

待定系数法是数学解题常用的方法之一.其实质是利用含待定系数(或参数)的一个恒等式(或恒等式组)的恒等性质,去解方程(或方程组),从而求出待定系数的值;或从方程组中消去这些待定的系     

待定系数法求通项

本文从基本模型"a_n+1=ba_n+c"及其变式来说明"待定系数法"在求数列通项时的重要作用.基本模型a_n+1=ba_n+c.若b=1,则数列(a_n}是等差数列;若c=0,b≠0且是常数,则数列{a_n}是等比数列;     

以曲代曲证明不等式——切线法证明不等式的发展

用切线法证明不等式已有过不少研究,例如文[1]、[2]．其操作过程是：设f（x）是一个函数,用待定系数法决定不等式f（x）≤αx＋β（或f（x）≥αx＋β）中的常数α和β,     

巧用均值不等式证明2018年数学奥林匹克不等式题

均值不等式是一个应用广泛的不等式,在证明不等式问题时,为了创设使用均值不等式的条件,常常需要对题中的式子作适当的变形,而变形的出发点又是在兼顾所给条件的基础上注意不等式的取等条件,若遇到等号取不到、用“均值法”无效时可考虑引入参数,借助待定系数法来解决.这样才能使复杂问题简单化,从而达到事半功倍的效果.下面举例说明.     

立足基础 力求简捷──对一组不等式的证法再探有感

<正>王淼生老师在有关文章中利用基本不等式的变式证明了一组不等式.读后深受启发,但感到尚有需要商榷之处:首先,基本不等式的变式较多,必会增加记忆负担,且易致应用时选择的困惑;其次,利用这些变式解决较复杂问题时恒等变形的取等号条件的配凑并非简单.鉴于此,笔者从立足基础,追求简单自然的视角出发,并根据整体优先意识探究发现,对王老师文中几个不等式证明问题,直接从均值不等式或柯西不等式入手,用基本不等式     

一题多解“细”探究 巧构函数“觅”思路——一道以函数为背景的不等式恒成立问题的多解法探究

以函数为背景,巧妙设置不等式证明或不等式恒成立问题成为近几年高考命题的热点之一.此类试题,综合性强,难度大,对学生的数学核心素养要求高.解答这类题目,经常需要先恰当构造函数,再借力导数这一工具,综合应用函数、导数知识,方可觅到解题途径.     

借助导数 巧用函数性质证明不等式

正不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多,证明的方法也难易悬殊,使用的技巧各异,尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结,但是有很多不等式,我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式,如果用常用的初等方法去证明,我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形,使它转化为我们较熟悉的函数不等式,再借助导数,利用函数的相关性质来证明,往往会事半功倍.一、利用函数单调性证明不等式     

一类条件不等式的一种代换证明

<正>对于或可化为条件为A+B+C=1(A,B,C>0)一类条件不等式的证明,其方法灵活多样且没有固定、统一的方法,本文介绍一种代换证法,可有效地证a b明这类不等式,即可令A=a/(a+b+c),B=b/(a+b+c),C=c/(a+b+c)(a,b,c>0),这样就可将所证不等式转化为关于三元a,b,c的一个无条件约束的代数不等式从     

一题多解和一题多变

例题:不等式x~2+(m-1)x+1≥0对一切x∈(0,2]都成立,则m的取值范围是____。一题多解,小题大做1.从集合的角度切入思路导航1若不等式f(x,m)>0的解集为B,则不等式f(x,m)>0对x∈A(?)A(?)B.     

一道伊朗国家选拔不等式试题的再探究

正问题设a,b,c,0,a+b+c=3,求证:1/(2+2a+b2)+1/(2+b2+c2)+1/(2+2c+2a)+≤3/3.①这是2009年数学奥林匹克竞赛伊朗国家选拔考试中的一道试题.文[1]采用固定变量的方法给出了式①的一个证明,利用同样的方法,文[2]给出了该试题的如下推广:     

浅析“一题式”课堂教学

"一题式"课堂教学是老师们熟悉但未必精通,喜欢但未必敢付诸实践的一种课型,它广泛被应用于高三教学,尤其是二轮复习中的专题教学.美国著名数学教育家G·波利亚说:"一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好象通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域."可见这种"一题式"教学是有价值的,是可以     

一个不等式的另证及推广

《数学通报》2010年第12期宋庆老师提供的第1885号数学问题如下:题目已知a,b,c为正数,求证:9a/b+c+16b/c+a+25c/a+b≥22.文献[1]、文献[2]和文献[3]对该不等式给出了证明和推广.本文给出了一种新的证明,并通过柯西不等式和判别式法给出不等式的几种推广.     

不等式的一题多证

不等式的证明非常灵活,它可以和很多内容结合,如数列、函数、三角函数、方程等.本文以一道不等式证明题为例,谈谈不等式证明的常用方法.     

应用柯西不等式实现“多题一解”

柯西不等式是高中数学新课程4—5的选修内容,是最著名的不等式之一,学习这一内容可以让学生领略经典不等式的几何意义及其应用,同时近几年高考各省份加大了对“柯西不等式”的考查,成了高考中的“常客”,教学中须引起重视．许多数学问题如求函数最值、不等式证明、     

讨论形如abc=1的一类初中数学联赛题

笔者在近年的教学中发现形如abc=1或者a＋b＋c=1的代数式问题,由于形式优美,变换灵活,在初中数学联赛及一些竞赛中经常出现.笔者通过研究整理,总结了一些常用简单方法,现举例说明.