一道竞赛题的别证

2003年北京市中学生数学竞赛(高一)复赛第二大题为: 题如果a,b,c是正数,求证: (a3)/(a2 ab b2) (b3)/(b2 bc c2) (c3)/(c2 ca a2)≥(a b c)/(3).     

一道白俄罗斯竞赛题的简证

题目　已知CH是RtABC的高(∠C=90°),且与角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.证明:通过QN、PM中点的直线平行于斜边AB[1].(第52届白俄罗斯数学奥林匹克(决赛A类))这里给出此题的一个简证.图1证明:如图1,令E、F分别为QN、PM的中点.联结CE、EH.由∠C=90°,CH⊥AB得∠BCH=∠BAC.于     

一道竞赛题的证法改进和结论推广

在解析几何竞赛题中,经常出现有关定点的问题．近日,笔者在做一道这类型的竞赛题时,将其过程做了改进,将其结论进行了推广,发现了有趣的结论,现与大家分享．     

一道竞赛题的新证法

2005年全国高中数学联赛加试第二题为:设正数a、b、c、x、y、z满足cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=1 x2x y21 y 1z 2z的最小值.本文给出不同于标准答案的一种简捷证明.证明:由已知得b(az cx-b) c(bx ay-c)-a(cy bz-a)=0.即2bcx a2-b2-c2=0所以x=b2 2cb2c-a2同理y=a2 2     

一道美国数学竞赛题的简证

题目 已知四边形ABCD是圆内接四边形，证明：｜AB—CD｜＋｜AD—BC｜≥2｜AC—BD｜． 《中等数学》2000年第4期刊载了李宝毅老师提供的三角证法，其运算量较大．之后，国内出版的多种中等数学书籍也都是引用此证法．其实，该题采用“截长补短法”并不难证，而且有多种证法，本文仅介绍其中比较简洁的2种．     

一道全国数列竞赛题的多角度审视

评析：此法由已知式推得（1）式入手，进行配方变形得到（4）式，从而获证，证法简捷明快。     

一道竞赛题证法再探究

本文对一道内含丰富且具有探究价值的数学竞赛题进行了再探究,并给出几种不同的证明方法.     

一道国际竞赛题的面积证法

题目设a,b,c是正数,且abc=1, 求证(a-1+(1/b))(b-1+(1/c))(c-1+(1/a))≤1. (2000年41届国际数学竞赛试题)     

用放缩法简证一道竞赛题

题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证（a+1/4（b-c）²）^1/2+b^1/2+c^1/2≤3^1/2.（07年女子数学奥林匹克）分析所证不等式中（a+1/4（b-c）²）^1/2的出现,给解题增加了难度.如果由此入手,寻找问题突破口,就会发现"（a+1/4（b-c）²）^1/2"可以放大为"(a+1/2(b^1/2-c^1/2)²)^1/2",从而用放缩法求     

一道竞赛题的简证及推广

第31届西班牙数学奥林匹克第2题是: 证明:如果(x x2 1)(y y2 1)=1,那么x y=0.     

一道竞赛题的多种证法

题目：如图1,AB∥CD、AD∥CE,F、G分别是AC和FD的中点,过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q,求证：MN＋PQ=2PN．     

两道竞赛题的简证

1 2007年全国高中数学联赛一试试卷中的第13题是： 设an=k=1∑n1/k（n＋1-k）,求证：当正整数n≥2时,an＋1〈an．文[1]对此题的两种证法,笔者认为过程较复杂,下面给出简证：     

探讨等式和不等式的关系--例析一道竞赛题

高中“数学课程标准”指出:在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系是基本的数学关系.它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用.用不等的思维研究相等关系,用相等的思维研究不等关系是学好不等式的有效手段.例(05湖南竞赛题)若正数 a,b,c 满足     

一道竞赛题的推广的简证

题目设实数a,b∈[α,β],求证：b/a＋a/b≤β/α＋α/β,     

一道竞赛题引发的结论

题目　 (第一届数学奥林匹克国家集训班选拨　　　　　图 1考试题暨第四届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题 )正方形ＡＢＣＤ边长为 1,ＡＢ、ＡＤ上各有一点Ｐ、Ｑ ,如果△ＡＰＱ的周长为 2 ,求∠ＰＣＱ的度数 .将△ＣＤＱ顺时针旋转 90° ,使ＣＤ与ＣＢ重合 ,则Ｑ点落在ＡＢ的延长线上 .利用三角形全等及题设条件可得∠ＰＣＱ =4 5° .(证明略 )注意到△ＡＰＱ的周长恰为正方形边长的 2倍 ,很容易证得下面几个结论 .命题 1　在正方形ＡＢＣＤ中 ,若Ｐ、Ｑ分别在ＡＢ、ＡＤ上 ,△ＡＰＱ的周长是正方形边长的 2倍 ,则∠ＰＣＱ =4 5° ,反之亦真 …     

利用函数性质简证一道竞赛题

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )=1 ,那么 x+ y=0 .分析　注意到式子 x+ x2 + 1 ,y+y2 + 1的结构完全相同 ,我们引进函数f( x) =x+ x2 + 1 .容易知道函数 f( x)具有以下性质 :1 f( x) f( - x) =1 ;2 f( x)在定义域 R上是增函数 .(对于性质 2 ,只需把 f ( x1 ) - f ( x2 )化为 ( x1 - x2 ) x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2x21 + 1 + x22 + 1,利用 x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2 >| x1 | + | x2 |+ x1 + x2 ≥ 0即可证得 .)显然 ,原竞赛题就是证明 :如果 f ( x) f ( y) =1 ,那么 x+ y=0 .现在简证如…     

一道德国竞赛题的简证

题目已知圆内接四边形ABCD两条对角线的交点为5，5在边AB，CD上的投影分别为点E，F，证明EF的中垂线平分线段BC和DA（2003年德国数学竞赛（第二轮））[第一段]     

一道竞赛题的证法再探

2008年全国高中数学联赛江西预赛第14题：设x、y、z为非负实数，满足xy＋yz＋zx=1，证明：1/x＋y＋1/y＋z＋1/z＋x≥5/2……（1）     

一道竞赛题的证法改进和结论推广

在解析几何竞赛题中,经常出现有关定点的问题.近日,笔者在做一道这类型的竞赛题时,将其过程做了改进,将其结论进行了推广,发现了有趣的结论,现与大家分享.原题:已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0),其长轴为 A_1A,P是椭圆上不同于点 A_1、A 的一个动点,直线 PA、PA_1分别与同一条准线 l 交于 M、M_1两点.试证明:以线段 MM_1为直径的圆必过椭圆外的一个定点.(2005年全国高中数学联赛天津赛     

一道高中数学竞赛题的多方位发散

2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛第14题是一道解析几何综合题，经过我们认真的研究，发现原已知条件的构图具有很多的性质，即本题可以多方位的发散．