一个不等式猜想及证明

猜想（数学问题315．2）设xi〉0,i=1,2,…,n（n≥3）,则有Sn=x2/x1（x3＋x4＋…＋xn）＋x3/x2（x4＋…＋xn＋x1）＋…＋xn/xn-1（x1＋x2＋…＋xn-2）＋x1/xn（x2＋x3＋…＋xn-1）≥（n-2）n∑i=1xi.     

一个不等式的推广及其证明

本文得到和证明了如下一类不等式：[x1^a＋1/x1^a[x2^a＋1/x2^a]…[xn^a＋1/xn^a]≥[n^a＋1/n^a]^n, 其中,0≤a≤1,x1,x2,…,xn为n个正实数满足x1＋x2＋…＋xn=1。     

两种拆分方法在解不等式问题中的应用

1差项比较法 定理1对于数列{xn}、{yn},有xn=x1＋（x2-x1）＋（x3-x2）＋…＋（xn-xn-1）,yn=y1＋（y2-y1）＋（y3-y2）＋…＋（yn-yn-1）.     

例谈局部调整法在不等式证明中的应用

在中学数学竞赛中,局部调整法（又称磨光法）是证明不等式常用的手段与技巧.理论上其逐步逼近目标,直至最后彻底解决问题,实际上它主要可以表示成如下定理1~4.本文选用一些常见的数学竞赛题和网络流行题为例,说明局部调整法的作用.定理1设n∈N,n≥2,I（-∞,＋∞）是一区间,若对于任意的x1,x2,…,xn∈I,n元连续对称函数f满足f（x1,x2,x3,…,xn）≥（≤）fx1＋x22,x1＋x22,x3,…,x（）n,则f（x1,x2,…,xn）≥（≤）f（A,A,…,A）,其中A=x1＋x2＋…＋xn n为它们的算术平均.     

一个矩不等式在解一类条件最值问题中的应用

该文探讨了矩不等式在解一类条件最值问题,即＂已知xi∈R＋,i=1,2,…,n,且g（x1,x2,…,xn）=1,求函数f（x1,x2,…,xn）的最小值＂问题中的应用.     

一个不等式的新证

命题1若x1,x2,…,xm都是正数,m,n∈N,且m≥2,则x1n＋x2n＋…＋x＋m^n≥1/m（n-1）（x1＋x2＋…＋xm）^n,当且仅当x1=x2=…=xn时,取等号.证明不妨设x1＋x2＋…＋xm=S,则命题能转化为若x1=x2=…=xm都是正数,且满足x1＋x2＋…＋xm=S,m,n∈N且m≥2,则x1^n＋x2^n＋…＋xm^n≥1/m^（n-1）S^n.     

一道自主招生试题的简证及推广

2010年浙江大学自主招生试题,题目如下： 有小于1的正数x1,x2,．．．,xn．且x1＋x2＋…＋xn=1,求证：1/x1-x1^2＋1/x2-x2^2＋…＋1/xn-xn^2〉4.     

利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式．     

思维决定出路：从一道题的解证谈起

题目 已知n个正数x1,x2,…,xn的和为1,求证∑i=1^n xi/1＋xi＋1＋xi＋2＋…＋xn＋x1＋x2＋…＋xi-1≥n/2n-1.     

一个带参数的分式不等式及其应用

定理设xi>0,(i=1,2,…,n),若k≥1,则x1/kx1 x2 x3 … xn x2/x1 kx2 x3 … xn … xn/x1 x2 x3 … kxn≤n/n k-1.(1)若k<1,则不等式(1)不等号反向.证明因为不等式左端是关于x1,x2,…,xn的一次齐次对称式,故可设x1 x2 x3 … xn=1,则不等式(1)可以分为     

应用方差的特性与公式解竞赛题

如果一组数据x1，x2.x3,…，xn其平均数为x^-=1/n（x1＋x2＋x3＋…＋xn）．①     

利用柯西不等式的变式简解竞赛题

柯西不等式是高中数学中重要的不等式之一,它有如下重要变式： 若xi,yi∈R＋（i=1,2,...n,n∈N^＊,n≥2）,则有x^21/y1＋x^22/y2＋...＋x^2n/yn≥（x1＋x2＋...＋xn）^2/y1＋y2＋...＋yn,当且仅当x1/y1=x^2/y2=...=xn/yn时等号成立．     

一个分式不等式的联想

瓦西列夫不等式[1]叙述如下: 设a,b,c＞0,a 6 c=1,则有a2 b/b c b2 c/c a c2 a/a b≥12.(1) 将此不等式进行联想类比,并推广到多元情形,得到 结论1 设x1,x2,…,xn＞0,n∈N,n≥2,则∑x12 x22 … xn2-1/x2 x3 … xn≤x1,x2 … xn.(2) 其中记.号"∑"表示循环和.     

一个不等式的加强及其应用

文[1]将一个不等式推广为: 定理1设x1,x2,…,xn为正实数,λ1,λ2,…,λn是不全为零的非负实数,m≥2,则有 ∑xm1/λ1x1 λ2x2 … λnxn ≥n2-m(x1 x2 … xn)m-1/λ1 λ2 …λn,(1) 其中∑表示对x1,x2,…,xn的循环和.     

一个不等式的推广

题目 设x1、x2、x3为正数,且x1x2x3=1.证明：（x1＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥8.此不等式还可得到以下两个推广。推广1 若x1,x2,……,xn〉0（n≥2）,且n是正整数,则     

例析善用方法巧解数学题提高思维能力

一、巧用方差解方程组 设n个数据x1,x2,…,xn的平均数为^-x,则其方差为s^2=1/n[（x1-^-x）^2＋（x2-^-x）^2＋…＋（xn-^-x）^2]=1/n[（x^21＋x^22＋…＋x^2n）-1/n（x1＋x2＋…＋xn）^2].     

混合加权幂平均不等式的推广

1 Introduction In 1992 , Holland[1]presented an interesting conjec-ture :letx1,x2,…,xnbe positive real numbers . Thearithmetic mean of the numbersx1, (x1x2)21,(x1x2x3)31,…,(x1x2…xn)1ndoes not exceed thegeometric mean of the numbersx1,(x1 2x2),(x1 x2 x3)3, …,(x1 x2 n… xn). There isequalityif and onlyifx1=x2=…=xn. A combinatorial proof of this conjecture was givenby Kedlaya[2]and aninductive proof with a little analy-sis was obtained by Matstuda[3].Other different proofscan be found in R…     

一个错误的“证明”

《数学通讯》1 997年第 7期上的征解问题 1 73是 :设xi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n(n≥ 3 ) ,则有Sn=x2x1(x3+x4+… +xn) + x3x2(x4 +… +xn+x1) +… + xnxn - 1(x1+x2 +… +xn - 2 ) + x1xn(x2 +x3+… +xn - 1)≥ (n -2 )∑ni=1xi.该刊 1 999年第 1 2期刊出张煜的一个“证明”按此“证明”有S6 =x1( x4 x3+ x5x4+ x6 x5+ x3x6) +x2 ( x5x4+ x6 x5+ x1x6+ x4 x1) +x3( x6 x5+ x1x6+ x2x1+ x5x2) +x4 ( x1x6+ x2x1+ x3x2+ x6 x3) +x5( x2x1+ x3x2+ x4 x3+ x1x4) +x6 ( x3x2+ x4 x3+ x5x4+ x2x5)≥ 4x1+ 4x2 +… + 4x6 =( 6-2 )∑6i=1xi.然而 ,最左边…     

妙用方差解题

方差是一个刻划数组x1,x2,…,xn。波动大小的概念,若数组x1,x2,…,xn的平均数为x,则其方差为s^2=[（x1-x^-）^2＋（x^2-x^-）^2＋…（xn-x^-）^2]=1/n[（x1^2＋x2^2＋…xn^2）-nx^-2]     

统计知识

1单元知识网络2要点剖析2．1“三数”（1）平均数（也称算术平均数）：n个数据x1,x2,x3,…,xn的平均数可记作x=1/n（x1＋x2＋…＋xn）;