一元二次方程根的妙用

若x1、x2是方程ax2+bx+c=O(a≠O)的两根,则ax_(1)~2+bx1+c=0和ax_(2)~2+bx2+c=0.方程与方程根的这一关系在解题中有着广泛的应用. 例1(1994年河南省中考题)以x2-3x-1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是( ). (A)y2-11y+1=0 (B)y2+y-11=0     

系数和为0的一元二次方程

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0. 运用这个结论可解决不少的问题.请看: 例1 解方程:4x2-5x+ 1=0. 分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4. 温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根.     

一元二次方程单元检测题

一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分) 1.如果方程2x2一6x+3二0的两个实数根分别为x:、xZ,那么x,·x:的值 是(). A .3B一3c一立D.立 22 2.下列一元二次方程中,两根分别为一卜V了,一1一、/了的是(). A.劣2+Zx十4二0 B.xZ+2火一4二O C,劣2--2戈:十4二0 D.劣2一2另一4二0 3.若xl、二2是方程x坏3,一5=O的两个根,则(xl+l)(x汁l)的值为(). A一7B一IC一1+、厄互D一1一、汽骊~ 4.若一个一元二次方程的两根之比是2:3,其判别式的值等于4,则 这个方程可能是(). A .2冤斗10沈:+24二0 B.劣2+1《)架:+24=0」B C .xZ+2、厂了x+1=0 D.七2一1伍+2…     

一元二次方程与三角函数单元测试题

一、填空题(每小题2分,共3o分)1.对于等式(mZ一m)xZ+mx+l二0,当时是关于,的一元一次方程;当时是关于x的一元二次方程.2..若护+~十9是关于x的完全平方式,则m的值为1在Rt△ABC中,乙C=9O。,AC=3,Bc=、/丁,则乙B等于4.在锐角三角形,Bc中,若{,inA一义率~{、}。osB一粤{二。,则乙。等 }‘}}‘._度.5.关于二的一元二次方程~2+2(m+l)x十m一1=0有实数根则。的取值范围是6.若方程一2x2+Px十q=0的两个根分别为一5和6,分解因式一七2月〕x+q=__·7.已知关于x的方程2x2十入+c=0的两实数根为x,、xZ,且lx,一xzI=勺厄一,则c的值为8.在Rt△ABc中,斜边…     

一元二次方程

矗基础篇矗课时一一元二次方程及其解法了万.+2,x2一v/范一一2.竺64诊断练习一、填空题1.方程扩一4x=o的根是2.若分式xZ一x一6 x一3的值为。,则x二=0.二0,二0 3.已知2是关于x根,则668a+1=_ 二、选择题的方程音XZ一2。一0的一个四、(x+韧一静从一奋n疑难解析例1解方程(xZ一x一l)(xZ一x一3)十1解:(扩一x)z一4(扩一x)+4(xZ一x一2)2~0,xZ一x一2xl-一1,xZ二2.1.下列方程中是一元二次方程的是( -一_、。1又八)zx十1=U.气”,厂~诬 (C)扩+y=0.(D)(l一x)2~4. 2.关于x的方程(mZ一l)扩+3x一1“o是一元二次方程,则一定有(飞 (A)m笋1.(B)m笋一1. (C…     

数学单元测试题（一）

一、填空题恤澎犷 1,方程(m一2)x袱一钾“十(m一s)x+5二0,当m一_时,方程是关于二的一元二次方程,当m一_时,方程是一元一次方程. 2.把方程(3x十1)(二一幻“11二+2化为a扩+旅十二”。后,一次项系数b‘_,犷一4aC二 3.关于x的一元二次方程(a一1)了十二十矿一1二o的一个根是。,则a的值为_, 4一元二次方程扩+x一1二O的根是,- 5.用换元法解方程(扩一二):一5(x么一士)十右二O,如果设尹一二=y,那么原方程变为 6,《代数》第三册P卯的例2是:解方程x4一6xz+5二O,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的通常解法是:设扩二y,那么扩一少,于是原方程…     

方程与不等式单元过关测试

一、填空题(每小题4分,共36分)1.已知a、月是方程护+2x一2007=0的两个实数根,则a斗3。十归的值等于 2.如图,AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点尸,且CD、AB的长分别是一元二次方程护一人+l2=0的两个根,则tan乙刀2卫又二3.若二元一次方程组九+了=3,入一少=7 A OB的解是某个一元二次方程的两根,则这个一元二次方程为4.若关于x的不等式组北一‘>O,2恤+l)>11、的解集是x>3,则a的取值范围是,~。一~一一~%斗1 sx入川仪儿佑浒刀在丁+再r二。设宜日=:,那么原方程变形为6.函数y=入石浮ilx}+1的自变量x的取值范围是 ,.已知n是整数,点P(2n+1,n+2)…     

例说根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是根与系数的关系,简称为韦达定理.根与系数的关系应用很广泛,下面举例说明. 一、求一元二次方程的两根的和与积 例1 (1)(2013年雅安卷)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=-0的两根,则x1+x2的值是(). A.0 B.2 C.-2 D.4 (2)(2013年武汉卷)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是(). A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析:(1)对于方程x2-2x=0,a=1,b=-2,.∴.x1+x2=2=--2/1=2.故选B. (2)对于方程x2-2x-3=0,a=1,b=-2,c=-3,∴.x1·x2=c/a=-3/2=-3.故选B.     

a b c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,常常隐含着a+b+c=0,此时方程的根究竟有什么特征呢?下面我们来研究这个问题。首先,为了能更清楚地看到方程与系数的关系,我们可以先由a+b+c=0,得b=-(a+c),代入方程消去b,得ax2-(a+c)x+c=0,ax(x-1)-c(x-1)=0,(x-1)(ax-c)=0,哈,原来方程的两根为x1=1,x2=ca。由此,我们得到如下一个结论:当a+b+c=0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根为1,另一根为ca。运用这个简单的结论解决一些相关的问题十分简洁。请看:例1解方程:穴3姨-2雪x2+穴1-3姨-2姨雪x+2姨+1=0分析:直接用解一元二次方程的方法求解显然很…     

一元二次方程及其根的判别式

一元二次方程是初中代数的重要内容,它是一种只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).学习了一元二次方程根的意义、解法及其根的判别式后,灵活利用它们,可迅速地解答一些竞赛试题.一、灵活利用根的意义若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,那么ax_0~2+bx0+c=0,反之,若ax_0~2+bx0+c=0(a≠0),那么x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例1 已知a是方程x2-3x+1=0的根,则2a2-5a-2+3/a2+1的值是__.(1996年昆明市初中     

根的判别式的灵活应用

△ =b2 - 4ac叫做一元二次方程 ax2 + bx+ c=0(a≠ 0 )的根的判别式。灵活应用它 ,不仅可以解答一些与一元二次方程有关的问题 ,一些非一元二次方程问题也可获得巧妙解答。一、与一元二次方程有关的问题例 1　若方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,则方程 x2 + ax+ b=0的两根分别是 (　　 )(A) 0 ,3;(B) 0 ,- 3;(C) 1,4 ;(D) 1。解 :由方程 x2 - (a- 3) x- 3a- b2 =0有两个等根 ,∴△ =(a- 3) 2 - 4(- 3a- b2 ) - 0 ,∴ (a+ 3) 2 + 4 b2 =0。∵ (a+ 3) 2≥ 0 ,4 b2≥ 0 ,∴ a=- 3,b=0。这时 ,要求的方程即为 x2 - 3x=0∴ x1=0 ,x2 …     

根与系数关系作用大

在一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)中,若两根为x1、x2,则x1+x2=-b/4,x1·x2=c/a,根与系数的这种关系又称为韦达定理.它的逆定理同样成立,即当x1+x2=b/a,x1·x2=c/a时,那么x1、x2是ax2 +bx +c=0(a≠0)的两根. 一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛. 一、确定符合条件的方程 例1 (2012年烟台卷)下列一元二次方程两实数根的和为-4的是().     

用“三法”求一元二次方程两根非对称代数式的值

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,要求不解方程,我们能够熟练地求出关于x1、x2的对称代数式(如x_1~2+x_2~2、x_1~3+x_2~3、1/x1+1/x2、(x1-x2)2、|x1-x2|等)的值.对含x1、x2的非对称代数式的值的求法,现举例介绍三种转化的方法:例设x1、x2中二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x_1~3-4x_2~2+19的值是( )(1996年全国初中数学联赛)(A)- 4.(B)8.(C)6.(D)0.解法1:(配偶转化法):设A=x_1~3-4x_1~2+19,B=x_2~3-4x_1~2+19.∵x1、x2是方程x2+x-3=0的两根,∴x1+x2=-1,x1·x2=-3.     

一元二次方程根的判别式的应用

知识链接 一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b~2-4ac可用来判断方程根的情况。 ①△>0方程有两个不相等的实数根; ②△=0方程有两个相等的实数根; ③△<0方程没有实数根. 一、不解方程,判断一元二次方程根的情 例1 一元二次方程2x~2-4x+1=0的根的情况是( )。 (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根     

南京市树人中学九年级(上) 数学期中考卷

一、选择题(每题2分,共24分)1.下列方程是一元二次方程的是().(A)x-2=0(B)x-y+2=0(C)xy-2=0(D)x2-2=02.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是().(A)1,0(B)-1,0(C)1,-1(D)无法确定3.关于x的方程x2-2x+k=0有解,则k的取值范围是().(A)k<1(B)k≤1(C)k>1(D)k≥14.用配方法解方程x2-2x-4=0,变形后的形式是().(A)(x-1)2=3(B)(x-1)2=4(C)(x-1)2=5(D)(x-1)2=65.某商品连续两次降价,每次都降20%后的价格为m元,则原价是().(A)1.m22元(B)1.2m元(C)0.m82元(D)0.82m元图16.如图1,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两…     

一元二次方程单元测试题

一、填空题(每小题2分,共24分)1.请你举出一个不含一次项的一元二次方程的例子_.2.方程(x+l)2二2的最简便的解法是_.3.方程2x,=3x的根是_,常数项为o的一元二次方程必有一根为4.方程3x2一6x十4二O的根的情况是5.以3,一2为根的一元二次方程是_.6.如果分式尸+%一2x一l的值是零,那么x的值是 7.若二=3是关于二的一元二次方程尸袜二一k一5二O的一个根,则无的值是一~-. 8.若:,、:2是方程2x2一2x一1=0的两根,则(x,一x:)2二_. 9.若两数的和是5,平方和是13,则这两个数分别是_. 10.能否用22 cm长的铁丝折成一个面积为犯c时的矩形框,可以通过一元二次方…     

病例诊疗

例1(2003年甘肃省)下列方程中,关于x的一元二次方程是().(A)3(x+1)2=2(x+1)(B)1x2+1x-2=0(C)ax2+bx+c=0(D)x2+2x=x2-1错解由一元二次方程的一般形式,可知答案为C.分析错误在于对一元二次方程的概念理解不清,忽略了一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0的条件.由于B不是整式方程;C没有说明a≠0,不能确定一定是二次方程;D经过整理后是一元一次方程;只有A是一元二次方程,故选A.说明判定一个方程是否是一元二次方程不能只看方程形式,被表面形式所迷惑,而要抓住定义的实质,常常需要整理之后,看是否同时满足定义中的条件才能确定.例2(1999年吉林省)一…     

一元二次方程根的判别式的运用

"△=b2-4ac"是一元二次方程ax2+bx +c=0的根的判别式,它是一元二次方程中的一个重要内容.有着许多方面的应用. 一、不需解方程即可判断根的情况 例1不解方程,试可判断方程ax2-4x +1 =0(a≠0)根的情况. 解:因为△=b2-4ac=16-4a, 当16-4a ＞0,即a＜4,且a≠0时,方程有两个不相等的实数根; 当16-4a =0,即:a=4时,方程有两个相等的实数根; 当16-4a ＜0,即:a＞4时,方程没有实数根.     

对求根公式推导教法的改进

初中代数第三册教材中,对一元二次方程求根公式作配方法推导大致过程如下: 一元二次方程 axZ+bx+c=0(a井0)配方后化为 b、。又x十只-)“,~ 乙abZ一4ac 4az当bZ一4ac)0时,得一元二次方程 axZ+bx+c一O(a半0)求根公式的推导。大家不做除法,对这个方程配方。 生:(板演)a二2+b二+‘=O(a并0)两端乘以a,得 (ax)2+abx十ac一O夕一4 一一护︻4 + X a占一2 b.{歹二4益.丫夕二4及云X十石一土人J—一士—币~~。 乙口V 4a一任a-化为:(ax)2+2一ac,即 b、。又ax十石)“~ ‘bZ一4ac 一b士、亿互二~4舀云一4a2师:非常正确,下面讨论解的情况,首先考虑这种…     

巧用方程根的定义

在解决与一元二次方程有关的问题时,我们广泛地应用韦达定理,然而有些问题直接运用根的定义解题反显简单方便.下面举例说明. 例1如果。是方程扩一3x+1一O的根,求2口。一sa马+2口J一8口艺 aZ+1的值.分析如果先求出a二‘一3士了5一,、~,,,、、~一一~~廿习1且石,并十夕犷为IJI戈2、夕抓1且工、,j沦共轰 ‘运算量很大.根据方程根的定义知,口是方程尸一3x十1根,即护一3a+1一。,在此基础上求值就简便多了. 解丫a是扩一3x+1~0的根,…矿一3。+1一 又…2a5一504+2a3一802 =(。2一3。+1)(2a3+。2+3。)一3。 =0·(2“3+aZ+3口)一3。=一3“. 而aZ+1=…