组合数与数列

我们考查下列组合数: C11=1, C21 C22=2 1=1 2, C31 C32 C33=3 3 1=1 2 4=1 2 22, C41 C42 C43 C44=4 6 4 1 =1 2 4 8=1 2 22 23,……不难推测,Cn1 Cn2 Cn3 … Cnn=1 2 4 … 2n-1. 这就是说全组合数与首项为1,公比为2的等比数列相对应.由求和公式.     

函数y=ax＋b／x（a〉0，b〉0）的单调性及应用

函数是现行高中数学重要的知识内容,考查函数有关知识的题型较多,分式函数是近几年新崛起的一种题型郾由于与分式函数y=ax+b/x(a>0,b>0)模型有关的问题,题型新颖、题源丰富、综合性强、解法灵活多样,所以分式函数模型y=ax+b/x(a>0,b>0)是近几年高考命题的热点之一.一、函数的图象y=ax+bx(a>0,b>0)的图象实际上是以y轴及直线y=ax为渐进线,顶点在(-ba姨,-2姨a b),(ba姨,2姨ab)处的双曲线郾二、函数的性质1郾y=ax+bx(a>0,b>0)是奇函数郾2郾y=ax+bx(a>0,b>0)在(-∞,-ab姨],[ba姨,+∞)上单调递增;在[-ba姨,0),(0,ba姨]上单调递减.当x>0时,函数在x…     

考察特例 探求规律——中考中探求规律题的分类及解法

~~~不等号的右边是这两个数乘积的2倍,应是2ab郾故反映这种规律的一般结论是a2+b2≥2ab郾例5考查下列式子,归纳规律并填空:1=(-1)2×1;1-3=(-1)3×2;1-3+5=(-1)4×3……1-3+5-7+…+(-1)n+1×(2n-1)=郾(2002年广东省佛山市中考题)分析本题的关键是确定-1的指数,通过观察可知,第n个式子等号右边-1的指数是n+1,故横线处应填(-1)n+1·n郾例6观察下列各式:21×2=21+2,32×3=32+3,43×4=43+4,54×5=54+5……想一想,什么样的两数之积等于这两数之和?设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为×=+郾(2002年北京市西城区中考题)分析等号左边是两个…     

例谈数学中考新题型——阅读题

要学好数学,必须学会阅读数学课本和其它数学书刊,增强自己的阅读能力,有了阅读能力,还能为终身学习以及适应全球知识爆炸、知识日新月异的社会打下坚实基础.对阅读能力的考查受到了广泛重视,许多地方的中考试卷中特地设置了阅读题.例1(沈阳市2004年)阅读下列解题过程:题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解∵△=32-4×1×1=5>0,∴α≠β.(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.(2)∴αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.(3)阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出…     

《数列与极限》测试题

一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.等差数列｛an｝中,已知a4=4,则前7项的和为()(A)28(B)56(C)14(D)不能确定2.在等差数列｛an｝中,若a3+a9+a15+a17=8,则a11=()(A)-2(B)-1(C)1(D)23.在-9和3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n的值为()(A)4(B)5(C)6(D)74.已知等比数列｛an｝的各项均为正数,公比q≠1,设则P=a2+2a9,Q="a5a6,则P与Q的大小关系是()(A)P>Q(B)P相似文献   

数学日历参考答案

初二 5月1日 5(1 2)/(4-3)=1 2 4 3 5. 5月2日 2~(55)=(2~5)~(11)=32~(11),3~(44)=(3~4)~(11)=81~(11)=,5~(33)=(5~3)~(11)=125~(11),6~(22)=(6~2)~(11)=36~(11),则2~(55)<6~(22)<3~(44)<5~(33). 5月3日 8880. 5月4日 13-2(3)~(1/2). 5月5日 C. 5月6日 11112222=3333×3334,故较大的数是3334.     

极限的八种求法

一、先化成商的形式,再求极限例1眼lg(2x4+3x3-1)-2lg(2x2-3)演=()A.1B.lg2C.14D.-lg2解∵lg(2x4+3x3-1)-2lg(2x2-3)=lg(2x4+3x3-1)-lg(2x2-3)2=lg2x4+3x3-1(2x2-3)2=lg2+3x-1x4(2-3x2)2.∴原式=lg2+3x-1x4(2-3x2)2=lg2+0-0(2-0)2=lg12=-lg2.选D.二、先求和,再求极限例2C22+C23+C24+…+C2nn(C12+C13+C14+…+C1n)=()A.3B.13C.16D.6解∵C22+C23+C24+…+C2n=C33+C23+C24+…+C2n=C34+C24+…+C2n=…=C3n+C2n=C3n+1=n(n-1)(n+1)6,n(C12+C13+C14+…+C1n)=n(2+3+4+…+n)=n(n-1)(n+2)2,∴C22+C23+C24+…+C2nn(C12+C13+C14+…+C1n)=…     

数学阅读理解题分类解析

随着数学课程理念的变化,阅读理解题已成为近年来中考命题的热点.这类题目形式灵活多样,既考查同学们的阅读理解能力,又考查同学们获取信息后的抽象概括能力和决策判断能力,对提高同学们的逻辑思维能力,强化数学应用意识都有重要的意义.下面将这类题目进行分类解析,供同学们参考.一、判断纠错型例1阅读下列解题过程.题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解:因为Δ=32-4×1×1=5>0,所以α≠β.①由一元二次方程根与系数的关系,可得α+β=-3,αβ=1,②所以αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.③阅读…     

根据课本材料改编的中考题

在人教版初中《代数》和《几何》课本中,穿插了“想一想”、“读一读”和“做一做”三个栏目.这些栏目的内容都不作教学要求,只供同学们课外参考,然而近几年的中考中,却出现了根据这些栏目的内容改编而成的考题.一、改编“想一想”例1观察下列各式及其验证过程.①232姨=2 32姨.验证:232姨=233姨=(23-2) 222-1姨=2(22-1) 222-1姨=2 222-1姨=2 32姨.②383姨=3 83姨.验证:383姨=338姨=(33-3) 332-1姨=3(32-1) 332-1姨=3 332-1姨=3 83姨.(1)按照上述两个等式及其验证的基本思路,猜想4145姨的变形结果并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出…     

圆锥曲线与方程错解剖析

∴ba22=14,即a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-32)2=a2(1-yb22)+y2-3y+49=-3(y+12)2+4b2+3.∴当y=-12时,d2有最大值,从而d也有最大值.∴4b2+3=(姨摇11)2,由此解得b2=2,a2=8.∴所求椭圆的方程为x82+y22=1.剖析本题错在由当y=-12时,d2有最大值,这步推理没有考虑到b的取值范围.事实上,由于点(x,y)在椭圆上,所以有-b≤y≤b,因此在求d2的最大值时,应分类讨论.若b<12,则当y=-b时,d2有最大值.于是(姨摇11)2=(b+32)2,从而解得b=姨摇11-23>21,与b<21矛盾.所以必有b≥12,此时当y=-12时,d2有最大值,从而4b2+3=(姨摇11)2,解得b2=2,a2=…     

二次根式考点例析

一、关于最简二次根式例1下列二次根式中,属于最简二次根式的是()郾(A)4a摇姨(B)a4摇姨(C)a摇姨4(D)a4姨(2002年江苏省南京市中考题)分析最简二次根式必须同时满足两个条件:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数不含有开得尽方的因数或因式郾由此定义可知,只有a摇姨4是最简二次根式郾故应选(C)郾二、、关于同类二次根式例2下列二次根式中与24摇姨是同类二次根式的是()郾(A)18摇姨(B)30摇姨(C)48摇姨(D)54摇姨(2002年辽宁省中考题)分析几个二次根式化成最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,即为同类二次根式郾据此,由于24…     

数学奥林匹克高中训练题(89)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知集合M={a1,a2,…,a2n+1},N={-22n,-22n-1,…,-2,0,2,…,22n}.若单射f:M→N满足f(a1)+f(a2)+…+f(a2n+1)=0,则这样的单射f有()个.(A)(2n+1)!C2nn(B)(2n+1)!C2nn+1(C)(2n+1)!C42nn++11(D)(2n+1)!C42nn2.已知θ1,θ2,…,θn∈0,2π,令M=(∑ni=1tanθi)(∑ni=1cotθi),N=(∑ni=1sinθi)(∑ni=1cscθi).则M与N的大小关系是().(A)M≥N(B)M≤N(C)M=N(D)不确定3.已知正整数数列{an}满足an+2=a2n+1+a2n(n≥1).若正整数m满足am=2005,则所有可能的m构成的集合是().(A){1,2}(B){1,2,3}(C){1,2,3,4}…     

一道课本习题的解法探究与延伸

人教A版教材高中数学必修二第133页第8题:在直角ΔA BC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为()2mn n<的圆,分别交BC于P,Q两点,求证2 2 2AP+AQ+PQ为定值.解法1如图1,建立直角坐标系,设坐标A(0,0),B(0,b),C(c,0),1 1P(x,y),2 2Q(x,y),P,Q两点所在的圆的方程与点B,C所在的直线方程联立:2()()2 21c b x y n x y c b+=+=,,2 2 2 2 22 22(1)04b c b c b x x n cc++++=,1 2x+x=c,12 2 222 24c c n x x c b=+,同理可得:1 2y+y=b,2 2 21 22 24b b n y y c b=+,A C BP O Q x y图1     

从“倍数”入手

例1．将2/11的分子加4,要使分数的大小不变,分母应怎样变化? [分析与解]解这道题,可以从分子扩大的倍数想起。因为将2/11 的分子加4,就是将分子乘(2+4)÷2=3,所以要使分数的大小不变, 分母也应乘3,变成11×3=33,即分母应加33-11=22。     

放缩强化命题——数学归纳法证不等式的一种技巧

数学归纳法证不等式常用到放大或缩小的策略,通过放缩把命题强化.由于更强的命题提供更强的归纳假设,所以强化以后的命题更容易用数学归纳法证明.如何放缩使命题强化,具体问题要具体分析.本文给出如下3种常用的方法,供参考.例1求证:31!+42!+53!+…+n(n+2)!<21(n∈N+)分析:设n=k时有31!+42!+…+k(k+2)!<21,则n=k+1时,31!+…+(k+k2)!+k+1(k+3)!<21+(kk++31)!,无法判断n=k+1时命题是否成立,思路受阻.然而31!+42!+…+(n+n2)!<23!+43!+…+(nn++21)!=3-13!+44-!1+…+(n(+n+2)2)-!1=12!-31!+31!-41!+…+(n+11)!-1(n+2)!=21!-(n+12)!=12-(n+12)!<21…     

“小题”必须“大做”

有些同学在做不等式的习题时,曾因一道题目的两种不同解法而争论不休,现把他们的解法原原本本地写下,仔细分析一下,以防再犯类似错误.题目:设x、yR+且x+2y=1,求1x+1y的最小值.解法一:∵x,yR+且x+2y=1∴1=x+2y叟22xy姨穴1雪即xy燮18,从而1xy姨叟8姨=22姨(2)∴1x+1y叟21xy姨=21xy姨∴1x+1y叟2×22姨=42姨,∴1x+1y的最小值为42姨.解法二:∵x,yR+且x+2y=1∴1x+1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy叟3+22yxxy姨=3+22姨∴1x+1y的最小值为3+22姨.以上两种解法看似都正确,其实不然.解法一是错的,而解法二是对的.那么解法一究竟错在哪里呢?还是让我们回…     

解题中处理数字的几种技巧

对于某些数学问题 ,若能就题设或题式中的数字进行恰当的处理 ,可使解题巧妙、简捷 ,下面以近年来的竞赛试题为例 ,介绍解题中处理数字的几种技巧。一、数字代换技巧例 1.若 P=1996× 1997- 1,Q=19962 - 1996× 1997 19972 ,试比较 P、Q的大小。( 1996年武汉市初中数学竞赛题 )解 :设 1996=a,那么 1997=a 1∵ P=a( a 1) - 1=a2 a- 1,Q=a2 - a( a 1) ( a 1) 2=a2 a 1,∴ P- Q=- 2 <0。∴ P相似文献   

逆用幂的运算性质解题

幂的运算性质用式子可表示为 :am .an =am+ n,( am) n =am n,( ab) n =an bn,am÷ an =am- n.它们不仅可以正向运用 ,还可以逆向应用 .在解决有关幂的问题时 ,若能合理逆用这些性质公式 ,则往往可以化繁为简 ,化难为易 .下面 ,就例举一些逆用幂的性质公式的题 .一、比较大小例 1　已知 A =2 3 3 ,B =32 2 ,C =511,试按从小到大的顺序排列 A、B、C.分析 :由于 A、B、C的指数较大 ,故直接乘方求值较麻烦 ,但 33、2 2、11都是 11的倍数 ,所以可以逆用幂的乘方性质来解决 .解 :A =2 3 3 =( 2 3) =811,B =32 2 =( 32 ) 11=911,C = 511,∵ 51…     

组合数的算法和技巧(下)

(本讲适合高中)4递推法对所求组合数,也可探求其中的递推规律,获取相应的递推式并加以解决,从而得到所求组合数.例10求∑nk=012kCnk k.解:设原式为f(n),则f(0)=1.由恒等式(Ⅱ),有f(n 1)=∑n 1k=0Cnk 1 k·21k=∑n 1k=0Cnk k·21k ∑nk =11Ckn- 1k·21k.将前一项分成f(n) C2nn 11·21n 1.变动后一项组合数上、下指标及求和指标,以k代原式中的k-1,得∑n 1k=1Ckn -1k·21k=∑k=n0Cnk k 1·2k1 1.故f(n 1)=f(n) C2nn 11·2n1 1 21∑k=n0Cnk k 1·21k.考虑到C2nn 12=(n (21)n! (2n) !1)!=2·n(2!(nn 11))!!=2C2nn 11,则f(n 1)=f(n) 122…     

一类分式不等式的简证

文[1]用均值不等式广泛地解决了一类分式不等式的证明 .本文来介绍这类不等式的一般性证法 ,证明中用到柯西不等式及其推论 .柯西不等式设 ai,bi ∈ R( i =1 ,2 ,… ,n) ,则 ( a21 + a22 +… + a2n) ( b21 + b22 +… + b2n)≥( a1 b1 + a2 b2 +… + anbn) 2推论　设 ai,bi ∈ R+( i =1 ,2 ,… ,n) ,则a21b1+ a22b2+… + a2nbn≥( a1 + a2 +… + an) 2b1 + b2 +… + bn下面结合文 [1 ]中的一例阐述推论的应用 .例 1　设 ∑ni=1xi =1 ,xi ∈ R+,i =1 ,2 ,… ,n,证明 :x11 -x1+ x21 -x2+… + xn1 -xn≥ nn -1左边 =x21x1 -x21+ x22x2 -x22+……