一个几何不等式的加强

在△ABC中,记a、b、c为三边长,s为半周长,△为面积,R、r分别为外接圆与内切圆半径;h_a、h_b、h_c,r_a、r_b、r_c分别为△ABC三条高和旁切圆半径。∑表示循环和。文[1]证明了:     

三角形中主要线段及其关系

<正> 三角形中主要线段是指高、角平分线和中线三种。在△ABC中,三角分别是∠A、∠B、∠C,这三角的对边长度分别是a、b、c,三条高的长度分别是h_a、h_b h_c,三条角平分线的长度分别是t_a、t_b、t_c,三条中线的长度分别是m_a、m_b、m_c。     

外森比克不等式的一个简证

设△ABC的面积为△,三边长分别为a。b、c,各边上的中线长分别为m_a、m-b、m_c,各边对应的高分别为h_a、h_b、h_c。 易见m_a≥h_a,m_b≥h_b,m_c≥h_c.故有     

三角形面积二十式

在求三角形面积时,由于条件不同,求法各异,怎样根据已知条件简捷地去求三角形面积?做为练习,本文进行了初步讨论,得出了以下各式。下文中各式,a、b、c分别表示△ABC三边长,h_a、h_b、h_e分别表示边长为a、b、c的三边上的高,m_a、m_b、m_e分别表示过顶点A、B、C的△ABC的三条中线,r_a、r_b、r_e分别表示与边a、b、c     

解题的简明与独特

●湖南黄汉生在《数学通报》1993年第1期“数学问题解答”栏提供的815题为: 设△ABC的三边长、面积及三条内角平分线长分别为a、b、c、及t_a、t_b、t_c,试证 at_a bt_b ct_c≥6A。 原刊1993年第2期给出的证明较复杂,事实上,记a、b、c边上的高线长分别为h_a、h_b、h_c,显然有t_a≥h_a·t_b≥h_b·t_a≥h_c,则at_a bt_b ct_c≥ah_a bh_b ch_c=6△,即征解题不证自明。 ●吉林张迎春在《上海中学数学》1993年第5期“数学问题与解答”栏提供的问题为:△ABC的边长是BC=a,CA=b,AB=c,面积是A,求证:     

也谈Janic‘不等式的加强

本文约定:△ABC的三边长、半周长及三边上的高和旁切圆半径分别为a、b、c、s、h_a、h_b、h_c、r_a、r_b、r_c,∑表示循环和。     

关于三角形边长与高的一个不等式

定理 设△ABC三边a、b、c上的高分别为h_a、h_b、h_c.则有     

整数三角形

一个三角形,除了三个内角A、B、C及其外角外,它的元素还有三条边a、b、c,三条高h_a、h_b、h_c,三条中线m_a、m_b、m_c,三条内角平分线t_a、t_b,t_c,三条外角平分线t_a'、t_b'、t_c',以及周长2p,面积S,外接圆半径R,内切圆半径r,旁切圆半径r_a、r_b、r_c等(其中a为A所对的边,h_a为a边上的高,其它类推)。我们在编制三角形的计算题时,为了避免具体计算的繁冗,往往希望把线段的长或者面积的值凑成整数。这样,不但便于计算与说明,而且还可以给人一种数学美的享受。试想,利用勾股定理,当     

涉及三角形傍切圆半径的一个不等式猜想的证明

<正>设△ABC的三边长分别为a、b、c,三边上的高为h_a、h_b、h_c,傍切圆半径分别为r_a、r_b、r_c,半周长为s,外接圆和内切圆半径分别为R、r,面积为△.尹华焱老师在[1]中提出了100个涉及三角形Ceva线、傍切圆半径的不等式猜想,其中的第86个猜想为HCX-86在三角形△ABC中,有     

一个不等式的加强

1965年,H.Demir——D.C.B.Marsh建立了三角形中的如下重要不等式: 设△ABC的三条高和旁切圆的半径分别为h_a、h_b、h_c、r_a、r_b、r_c.则 r_a/h_a r_b/h_b r_c/h_c≥3, ① 当且仅当△ABC是正三角形时等号成立。     

Milosevic不等式的加强

<正>设△ABC的三边长为a、b、c三条边上的高及旁切圆半径分别为h_a、h_b、h_c、r_a、r_b、r_c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,半周长为s,面积为△,Σ表示循环求和.文[1]介绍了由Milosevic提出的如下一个不等式     

Milosevic不等式的加强

文[1]收入了由D.M.Milosevic在1987年提出的不等式: 设△ABC的三边长分别为a、b、c,相应边上的高分别为h_a、h_b、h_c,△ABC外接圆和内切圆半径为R、r,∑表示循环和,p为半周长,△为面积。则     

关于三角形边和高的一个不等式的注记

袁祖志先生在文[1]中证明了如下结论: 定理 设△ABC三边a、b、c上的高分别为h_a、h_b、h_c.则有     

Jani不等式的加强

本文约定:△ABC的三边、半周长、面积及三边上的高、角平分线和旁切圆半径分别为a、b、c,s,△,h_a、h_b、h_c,t_a、t_b、t_c,r_a、r_b、r_c。∑表示循环和。 R.R.Jani(?)曾建立如下不等式: 在△ABC中,有     

Milosevic不等式的又一加强

1987年,D.M.Milosevic提出并证明了下述不等式: 设△ABC的三边长为a、b、c,相应边上的高为h_a、h_b、h_c,外接圆半径和内切圆半径分别为R、r。则     

人教版七年级(下) 第七章三角形

一、选择题(每题3分,共24分)1.下列命题正确的是( ).A.三角形的角平分线、中线及高都在三角形内B.直角三角形的高只有一条C.三角形至少有一条高在形内D.钝角三角形的三条高都在形外2.已知三角形三边的长 a,b,c 均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形的周长为奇数,则第三边长的最小值为( ).A.4 B.6 C.7 D.8     

三角形面积求法的应用举例

初中数学中所涉及的三角形面积求法很多,灵活地运用会收到事半功倍的效果,下面列举几例供读者参考.方法1:我国古代数学家秦九韶在《算术九章》中记述了"三斜求积术",即已知三角形的三边长,求它的面积,用现代式子表示即为:S=(?)(其中a,b,c为三角形的三边长,c为最长边,S为面积.)而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:S=(?)(其中p=(a+b+c)/2.)     

三角形三边关系巧运用

三角形三条边长之间的关系,即"三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边"是三角形的重要性质.有的同学会认为,只要三条线段的长度a、b、c满足条件a+b＞c并且a-b＜c,那它们就可以组成一个三角形.     

高线构成的三角形

符合某种条件的三角形的存在性,是三角形几何学研究中一个有价值的课题[1].众所周知,以三角形的三条中线为边长可以构成新的三角形,但以三角形的三条内角平分线或三条高线为边长却不一定能构成三角形. 文[1]、[2]讨论了三角形三条内角平分线为边长可构成三角形的条件及其性质.本文对高线构成三角形的相关问题进行探讨. 定理1 设△ABC的三边长为a、b、c,对应的高线长为ha、hb、hc,则ha,hb,hc为长     

数学奥林匹克问题

本期问题 初101 在△ABC中,h_a、h_b、h_c,r_a、r_b、r_c,分别表示三条高和三个旁切圆半径的