聚焦三角形的“不等”关系

一、任意三角形的“不等”关系在任意三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,一般“不等”关系有:①0B>C(?)a>b>c(?)sin A>sin B>sin C.例1在△ABC中,若sin,A=3/5,cos B=5/(13),求cos C的值.解由cos B=5/(13),可知0相似文献   

三角形中的一个重要结论及应用

结论:在△ABC中,A、B、C为三角形内角,则sin A＞sin B(?)A＞B．证明:(必要性)sin A＞sin B(?)sin A-sin B=2cos(A B)/2sin(A-B)/2＞0．由条件知0＜(A B)/2＜π/2,-π/2＜(A-B)/2＜π/2,所以cos(A B)/2＞0,则必有sin(A-B)/2＞0,可得0＜(A-B)/2＜π/2,即A＞B．(充分性)若A为锐角或直角,由已知A＞B,则0＜B＜A≤π/2,于是     

三角中一个重要命题及其应用

1 命题及其证明 命题三角方程asin x bcosx=c有解的充要条件是a2 b2≥c2. 证明原方程可化为(a)/(a2 b2)sin x (b)/(a2 b2)cos x=(c)/(a2 b2),即sin(x θ)=(c)/(a2 b2)(其中θ角所在象限由a,b的符号确定,θ角的值由tan θ=(b)/(a)确定).     

一道错题的辨析

有这样一道习题: 设a sin bθ cos=c acscθ b secθ=c, 求证: sin2θ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2). 这是一个流行很广的错题。下面我们做些探讨。 有关资料,给出了如下答案（记为方法一）。 由已知a cscθ b secθ=c,得a cosθ b sinθ=c.sinθcosθ,又∵a sinθ b cosθ=c,∴(a sinθ b cosθ)(a cosθ b sinθ)=c~2sinθcosθ, 整理后可得sin2θ=2sinθcosθ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2) 这种证法用到了三角变换、三角恒等式、二倍角公式,并且中间没有不严密之处,所以解答是正确的、完     

比和比例在三角中的应用

三角中的一类题目,若巧用比和比例将显得较为简捷,请看下面几例: [例1] 已知(cosx)/a=(cos3x)/b(cosx≠0,) 求证:(a-b)/(3a b)=tg~2x 证:设(cosx)/a=(cos3x)/b=1/k 则a=kcosx,b=kcos3x ∴(a-b)/(3a b)=(kcosx-kcos3x)/(3kcosx kcos3x) =(2sin2x·sinx)/(4cos~3x)=(4sin~2x·cosx)/(4cos~2x)=tg~2x [例2] △ABC中,求证:cosA cosB cosC>1 证:由射影定理得, a=bcosC cdosB,b=ccosA acosC 两式相加得:a b=(a b)cosC c(cosA cosB)。∴ (a b)(1-cosC)=c(cosA cosB)     

内角成等比数列的三角形一例

例题△ABC的三内角A、B、C成等比数列,公比为1/2.求证a/(a b c)=2sin π/(14). 证明由已知得B=2C,A=4C, A B C=4C 2C C=7C=π, ∴ C=π/7,B=(2π)/7,A=(4π)/7.     

走出三角形解的个数判断问题的误区

<正>在解三角形的单元教学过程中,笔者注意到学生对三角形解的个数判断存在困惑.教材中给出的是画图法,分类讨论很详细,也很直观;但学生在具体解题时还是领会不够深刻,易受其它外在因素的影响导致误解.例题已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有(sin B-sin C)²=(sin A)2=(sin A)²-sin Bsin C.(1)求角A的值;     

一道解三角形问题的解法探究

<正>解三角形是高中数学的主干知识,也是高考的高频考点,其重要性不言而喻.对有些解三角形问题,常常要结合几何图形求解,甚至对有些问题要作辅助线,此时解题具有一定的灵活性.因此,如何突破这类问题的解题瓶颈,变得至关重要.下面结合一道模考试题的多种解法,谈谈此类问题的解题策略.题目在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c-b)/a=(cos B)/(cos A).     

新证R≥2r及应用

三角形之外接圆半径与内切圆直径间的关系R≥2r的已有证明比较复杂,本文给出一个较简单的证法,进而解有关问题。为应用方便,有关结论以命题形式出现。命题1 三角形外接圆半径与内切圆半径之积的2倍,等于这个三角形的三边之积与三边之和的比。证明:∵S_△=1/2r(a b c),即2r=4S_△/(a b c)又∵S_△=(abc)/4R,即R=(abc)/4S_△。故2rR=(abc)/(a b c)。命题2 若三角形的三边为a、b、c,则abc≥(a b-c)(a c-b)(b c-a)。证明:∵abc-(a b-c)(a c-b)(b c-a)=abc-(a~2b a~2c b~2a b~2c c~2a c~2b-     

用课本结论简解九道高考题或竞赛题

一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)=     

一类特殊三角形的一个性质及其推论

文[1]中给出了二倍角三角形的一个性质及其应用,作为该文的补充,今给出n倍角三角形的一个性质及其相应的一些推论。下面用A、B、C表示△ABC的三内角,以a、b、c分别表示它们的对边 定理 在△ABC中,若A=nB (n∈N),则 a~2=b~2 bc·sin(n-1)B/sinB 证明 在△ABC中,因A=nB,故C=180°-(n 1)B ∴sin~2B sinC·sin(n-1)B=sin~2B sin(n 1)B·sin(n-1)B =1/2(1-cos2B)-1/2(cos2nB-cos2B)     

“三角形正切、余切公式”的应用

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …     

不要满足“第一答案”的安慰——听课及听课后的调查引发思考

应市教研室的邀请,笔者参加了市里组织的高三教学督导听课.其中,一位数学老师的一个教学片段让人深思.教学片段实录:教师出示题目(这是一节"三角变换与解三角形"的复习课,课前教师已将复习讲义发给学生,此题为讲义上例题):在斜三角形中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b~2-a~2-c~2/ac=cos(A+C)/sin A cos A.     

正弦定理和余弦定理

正弦定理在任何三角形中,边和对角的正弦成正比： a/sin A=b/sin B=c sin C. 证明：令A、B和C是任意三角形的内角,并令a、b和c为它们的对边．我们考察两种三角形,一种是所有角都为锐角的三角形（图1（a））,另一种是有一个角为钝角的三角形,这里这个角为角A（图1（b））．     

2005年最具影响力的数学试题分类解读

一、三角函数1.(全国高考题)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4. (Ⅰ)求cosA+cotC的值; (Ⅱ)设(?)·(?)=3/2,求a+c的值. 解析(Ⅰ)由cosB=3/4得sinB=(1-(3/4)2)~(1/2)=7~(1/2)/4 由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC. 于是cosA+cotC=1/tanA+1/tanC =cosA/sinA+cosC/sinC=(sinCcosA+cosCsinA)/sinAsinC     

四面体的一个体积公式及其应用

三角形面积公式S△＝(1)/(2)absin C,S△＝(p(p-a)(p-b)(p-c)),其中p=(1)/(2)(a+b+c).下面,我们介绍:对于已知三条棱a,b,c及三面角A,B,C的四面体A1B1C1D1(如图1)的体积是     

每期一题

题:设 A、B、C 是任意三角形三个内角,证明 cosA cosB cosC≤3/2,并问等号在什么情况下成立?证法一∵A B C=π,且它们中必有两个角(比方说 A、B)是锐角,因而cosA cosB cosC=2cos(A B)/2cos(A-B)/2 cosC≤2cos(A B)/2 cosC=2cos(π-C)/2 cosC=2sinC/2 1-2sin~2C/2=3/2-2(sinC/2-1/2)~2≤3/2显而易见,等号当且仅当 cos(A-B)/2=1及 sinC/2=1/2时成立,即△ABC 是等边的。     

正弦定理变形一得

在△ABC中利用正弦定理:(a/sinA)=(b/sinB)=(c/sinC)=2R (acosA) (bcosB)=2R(sinAcosA sinBcosB)=R(sin2A sin2B)=2Rsin(A B)cos(A-B)=2RsinCcos(A-B)=ccos(A-B)≤c (当且仅当A=B时取等号), 同理bcosB ccosC≤a;     

面积关系在平面几何证题中的应用

在计算三角形的面积或利用三角形的面积来计算其它图形的面积时,我们常常运用下列公式:S=(1/2)a·h_a;S=(1/2)absinC;S=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2);S=(abc)/4R.其中,a、b、c 是三角形的边,h_a 是边 a 上的高,s=(1/2)(a+b+c),R 是三角形外接圆的半径。然而,在平面几何的证题中,如遇到有关线段(或     

面积法证题

利用图形的面积公式,求解或证明一类几何问题,有它的独到之处.应用这种方法几乎可以解决和证明所有的几何问题,用途十分广泛.可见讨论用面积方法在几何学中的应用是极其意义的.三角形的面积公式是求多边形面积的基础,目前所用到的主要公式并不多,主要有以下几个公式:(1)已知一底及高S_△=(1/2)ah_a=(1/2)ah_b=(1/2)ch_c(2)已知两底及夹角S_△=(1/2)absinC=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB(3)已知三边S_△=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2) 其中p=(a b c)/2一、面积法证明成比例线段问题应用三角形面积公式,可以得到一系列结论:1.等底三角形面积比,等于对应高的比,当a=a＇,则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=h_a:h_(a＇)2.等高三角形面积比,等于底的比,当h_a=h_(a＇),则S_(△ABC):S_(△A＇B＇C＇)=BC:B＇C＇