有关中线与高线的一个半对称不等式猜想的证明

约定△ABC的边BC、CA、AB与半周长及面积分别为a、b、c和S、Δ,相应边上的中线与高线分别为ma、mb、mc和ha、hb、hc.     

中线与高线的一个半对称不等式加强猜想的证明

证明了刘保乾提出的有关中线和高线的一个半对称不等式猜想，该不等式加强了刘键证明的一个不等式．     

涉及中线与高的一个半对称不等式

命题在ABC中,a、b、c为其三边长,ma、ha分别为BC边上的中线长和高,为其面积.则有     

对一个优美的半对称不等式的补充

文 [1 ]给出了一个优美的半对称不等式 :命题　在非钝角△ABC中 ,设BC =a ,AC =b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa为∠A的平分线长 ,则有mawa≤b2 +c22bc .①受文 [1 ]的启发 ,笔者发现以下一个优美的半对称不等式 :命题　在任意△ABC中 ,设BC =a ,AC=b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa 为∠A的平分线长 ,则mawa≥(b +c) 24bc .②证明 :设p为△ABC的半周长 ,则式②等价于(b +c) 4 w2a ≤1 6b2 c2 m2a.③由角平分线公式wa =2bcp(p -a)b +c 和中线长公式ma=12 2 (b2 +c2 ) -a2 可知③ (b +c) 2 [(b +c) 2 -a2 ]　　　　≤4bc[2 (b…     

有关高线的一个不等式

在文献 [1]中 ,有下面一个关于三角形高线的不等式 :ha+rha- r+hb+rhb- r+hc+rhc- r≥ 6 . (Cosnita-Turtoiu) (1)其中 ha,hb,hc 和 r分别为△ ABC相应边上的高线和内切圆半径 .本文试图给出 (1)式左端的一个上界 ,即证明H =ha+rha- r+hb+rhb- r+hc+rhc- r<7. (2 )由 ha =2 Sa,r =2 Sa+b+c(这里 S是△ ABC的面积 ) ,可得 har=a+b+ca ,代入 (2 )可以求得H=har+1har- 1+hbr+1hbr- 1+hcr+1hcr- 1=3+2 (ab+c+ba+c+ca+b) . (3)为了确定起见 ,不妨可设 a≥ b≥ c,且进一步设 a=xc,b=yc,再由 b+c>a,可得 1≤y≤ x<1+y.将 a,b代入 (3)化简后得…     

一个优美的半对称不等式

命题　在非钝角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,ma为BC边上中线长,ωa为∠A的平分线长.则有证明:设s为△ABC半周长,则式①等价于     

三角形中线和高的一个半对称不等式

记△ABC三边为a、b、c,相应边上的中线和高分别为ma、mb、mc和ha、hb、hc,内切圆和外接圆的半径为r、R.     

涉及三角形高线的一个不等式的改进

设ａ、ｂ、ｃ分别表示△ＡＢＣ的三个边 ;ｈａ、ｈｂ、ｈｃ分别为ａ、ｂ、ｃ上的高 ;ｓ、ｒ、Ｒ分别表示△ＡＢＣ的半周长、内切圆半径、外接圆半径 .文 [1]证明了下面的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ,(1)当且仅当ａ=ｂ=ｃ时等号成立 .文 [2 ]给出了 (1)式的另一简洁证法 ,并得到一个与之类似的不等式(ｒＲ) 3 (16- 5ｒＲ) ≤ (ｈ2 ａｂｃ) 2 (ｈ2 ｂｃａ) 2 (ｈ2 ｃａｂ) 2≤ (1 ｒＲ) 4- (ｒＲ) 2 (16- 5ｒＲ) ,(2 )当且仅当ａ=ｂ =ｃ时等号成立 .本文给出 (2 )式的改进 ,即ｒｓ22…     

优美半对称不等式的补遗

在△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,ωa,ωb,ωc和ma,mb,mc分别为∠A,∠B,∠C的角平分线和中线,R,r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径.     

正项等差数列两个不等式的推广

利用凸函数和定积分的性质,对正项等差数列的两个不等式进行了推广.     

两个条件不等式的反向不等式

文章证明了条件Cauchy-Schwartz不等式和条件H¨older不等式的反向不等式。     

王子殿下

<正>编者注《王子殿下》由《菠萝快车》导演大卫·戈登·格林执导。该电影讲述了两个生活在中世纪的娇宠自大的王子被迫承担起解除魔咒、拯救王国重任的故事。詹姆斯·弗兰科和丹尼·麦克布莱德将扮演这对王子兄弟,娜塔丽·波特曼在影片中扮演的是一位舞刀弄剑的侠女公主。     

对两个不等式的证明

就三角形内一个关于余弦的不等式猜想给出了证明 ,并将此结果类比到正弦     

两个新的三角不等式

本文提出了下述新的三角不等式 ∑csc~2A≥9/(∑cosA)~2≥∑sec~2(A/2)并给予了证明     

关于Ceva四面体的两个不等式

研究了Ceva四面体的几何不等式问题，建立了四面体与其Ceva四面体的外接球半径与内切球半径的以下两个不等式：R′R^2≥3^2r^3,R′R^2≥3^5r′^3     

两个优美不等式的推广

利用平均值不等式,得到高次齐次函数的若干条件不等式,推广了低次齐次函数的相关结果．     

两个含参数的三角形不等式

建立含有参数的两个三角形不等式 ,并讨论其取等条件 .     

关于数学期望和方差的几个不等式

基于随机变量的数学期望与方差,讨论随机变量数字特征的几个不等式,得到Chebyshev不等式的一个新的上界。