一个不等式定理及应用

定理若x,y,z是正数,λ是非负实数,那末: x~λ(x-y)(x-z) y~λ(y-x)(y-z) z~λ(z-x)(z-u)≥0式中等号当且仅当x=y=z时成立。证明当x,y,z中若有两个量相等,定理显然成立。若x,y,z两两不等,假设0相似文献   

一个不等式模型及应用

自导数这一内容进入中学数学课本以来,历年的高考、竞赛、自主招生考试中,多次出现对不等式ln(1+x)≤x(x>-1)(即e~x≥x+1(x∈R))及其变形的考查,这类试题因构思奇妙、结构独特、综合性强、技巧性高等特点,常被命题者作为各类试卷的压轴题.本文通过背景溯源、变式拓展、综合应用来研究一下其命题的一般规律.一、渊源流长的背景高等数学中,e~x的幂级数展开式特别优     

一个不等式的证明及应用

给出一个条件不等式，并用于解几道国内外数学竞赛题。     

一个不等式的推广及应用

设a>0,b>0,则a2/b≥2a-b(1) 这是一个常见的不等式,文[1]介绍了它的应用.文[2]把上式推广为:     

一个不等式的证明及应用

一、问题提出在高等数学“级数”一章中,由于教材的篇幅关系,判定级数敛散性的方法讲得不多,所以有些级数的敛散性无法用书上的办法去判定。例如 arcsinx=x sum from n=1 to ∞(2n-1)!!/(2n)!!·x~(2n 1)/2n 1 (-1≤x≤1) x/(1 x)~(1/2)=x sum from n=1 to∞(-1)~n (2n-1)!!/(2n)!!×x~(n 1) (-1≤x≤1)在x=±1处右边级数的敛散性就无法判定。为了教学需要,应补充一个不等式。     

一个不等式的证明及应用

利用Jensen不等式证明一个不等式 ,文献 [1]的结果即为其特殊情形 .作为应用 ,给出利用此不等式证明全国冬令营赛题的例子     

一个不等式的证明及应用

·习i-l 二 习a,艺b ‘.1‘一iO‘一— 丙.a. b‘·名产先着两个题目:,)已知:名二‘二。,。及为均为实数,‘一,,2,…, 一盔令今。.求习二‘(,一x’)的最大值.‘一12)i己知正数二、.、:满足艺a汁名b‘,一l,.j{ 戈甘.朴之.之戈_飞厂罗了,,r代万苏下~二二门~二于二于~二一乙万十U石U个“‘宁轰x十U十考=3。哈冲求二、夕、之. 为了求解这类题目,本文给出一个不等式: 定理设a. 认>。(i二1,2,…,的,则 . (艺二)’ 二1 二习。‘ 名6‘二l二1《习瓦编万嘴二乡》(习。‘)’·习曰方恶、、i一1名。.名b‘一1‘一I .(一 6,,艺。.军飞, ‘一l(一)根据…     

一个不等式的推广及应用

《苏教版·普通高中课程标准实验教科书·选修4～5(不等式选讲)》课本第20页有一道习题:设a≠b,求证:a~4 b~4>a~3b ab~3.证明:对任意不相等的实数a、b,总有:(a~4 b~4)-(a~3b ab~3) =(a-b)~2[(a b/2)~2 3/4b~2]>0.注意到原题的不等式两边是齐次式,我们可以从项数和指数两个方面进行推广.     

一个不等式的推论及应用

本刊85年1期P12证明了下述不等式: x,y,z∈R,A~1B~1C~1是三角形,则恒有 x~2 y~2 z~2≥2xycosC~1 2yzcosA~1 2zxcosB~1:(*) 本文给出两个推论并举例说明其应用。推论1.x,y,z∈R,ABC是三角形,则 (x y z)~2≥4(xysin~2C yzsin~2A zxsin~2B) 证:在(*)中,置A~1=π-2A,B~1=π-2B,C~1=π-2C,从而A~1 B~1 C~1=π,于是有     

一个不等式的证明及应用

定理设n任N,n)2,。r,t,s>0,a气+a头+…+a二=A,a互a蚕十a妥a匀+…+‘试~B.则 月下~,~r十,十‘D乙一共=二),兰一亩=工乃一“矛刀一l(1)等号成立的充要条件是al~a二证明令氏-a下+‘A一可,i一1,2,…,二,则b,簇热簇…簇b,.(用视差法可证)又a’l簇姚落…(试,由排序原理知云。:。‘)习。:。‘+,,j一:,2,…,,一1.(z) i=l矛,1(k>,时,约定b一b卜.).(2)中各式相加得 (。一1)e)习(,一。:),‘一万a:+1.(3) ‘,l亩.1其中C表(z)左边.因a互蕊a笼蕊…镇a二,a二镇a岌…簇心,故艺。户一艺。:.。渗‘姚+。诚+…+a二a悦=B.(4)(4)代入(3)得C)典n—1,此即(l)式.…     

一个不等式的推广及应用

对于具有几何意义的不等式:|x-m| |x-n|≥|m-n|(x、m、n∈R)可以推广为:|x-m|u |x-n|u≥2|m2-n|u(u∈N)定理:已知:x,m∈R,求证:|x-m|u |x-n|u≥2|m2-n|u(u∈N)证明:采用数学归纳法.(1)当u=1时,|x-m| |x-n|≥|m-n|①结论显然成立(2)假设命题在n=k时成立,则|x-m|k |x-n|k≥2|m2-n     

双曲线的一个不等式及应用

文 [1]～ [4 ]给出了与圆锥曲线有关的一些不等式 ,本文再给出与双曲线有关的一个不等式 ,然后介绍它的应用 .定理　设F是双曲线的一个焦点 ,l是过焦点F且垂直实轴的直线 ,A1、A2 是双曲线与实轴的两个交点 ,P∈l,∠A1PA2 =α ,e是双曲线的离心率 ,则α为锐角 ,且sinα≤ 1e.当且仅当点P到双曲线实轴的距离是双曲线虚半轴长时取等号 .证明　不妨设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1,F(c,0 )为右焦点 ,P位于x轴上方 ,如图 1所示 .易知过点F垂直于x轴的直线l的方程为x =c,从而可设点P的坐标为 (c ,y) (y>0 ) .又知A1(-a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,由…     

一个不等式的应用

本文介绍一个结构简单但应用广泛的不等式。定理　设ａ >0 ,ｂ >0 ,ｎ∈Ｎ ,则ａｎ + 1/ｂｎ≥ (ｎ + 1 )ａ -ｎｂ ( )当且仅当ａ =ｂ时 ,等号成立。证明　 ( ) ａｎ + 1≥ (ｎ + 1 )ａｂｎ-ｎｂｎ + 1 ａｎ + 1+ｎｂｎ+ 1-(ｎ + 1 )ａｂｎ≥ 0 (ａｎ+ 1-ｂｎ + 1) + (ｎ + 1 )ｂｎ·(ｂ -ａ)≥ 0 (ａ -ｂ) [ａｎ+ａｎ - 1ｂ +ａｎ- 2 ｂ2 +… +ａｂｎ- 1+ｂｎ-(ｎ + 1 )ｂｎ]≥ 0①若ａ >ｂ >0 ,则ａｎ+ａｎ - 1ｂ +ａｎ - 2 ｂ2 +… +ａｂｎ - 1+ｂｎ-(ｎ + 1 )ｂｎ>(ｎ + 1 )ｂｎ-(ｎ + 1 )ｂｎ=0 ,从而①式成立。若 0 <ａ <ｂ,则ａ…     

一个不等式的应用

高中咤代数》(甲种本)第二册P93例10用数学归纳法证明了著名的伯努利不等式:者劣>一1,_巳、产O,叹N,且。》2,则 (1+x)伦卜l牛,,劣恨未介绍它的应用.现举几例,供参考。 例l设试>1,成万,n>2.求证 证式等价于刀‘一1<~罕一.令刀云一:二二,则。一(1+二)”.所以原不等__/(1十劣)”一1环久、—. 几而坦下犷曰>旦土竺2二l 介朴所以原不等式成立. 例2数列: (1)i正胡下面两个数列分别是递增数列和递减{(‘月一告)”{;‘2,{(,+韵““}·证(‘,令二一恭‘”》2).…(卜箭)”>1十二(一洽),(l十翻‘(卜分>卜告,(1+决)”>(着)卜‘一(,+么)”一‘故数列{(l…     

一个不等式的应用

设a,b为正实数,则a-b/b≥a-b/a（＊）等号当且仅当a=b时成立．     

一个不等式的应用

本文给出不等式,然后讨论它的应用: 命题:若二,)o(落=1,2,…,无),。,希均为自然数,且。,希)2,则 /a,八气几一1).1,二一丁~一a鑫】妻(a一a。). \了己一1/化简得,,嵘一Zaa。(o,.、。簇。。簇兰a.叫+叫+…十畔)乃”一1(劣,+劣。+…+劣:)玲(I>同样有 例1八__2U气吸气丽a““1一2…,儿一1).成立.立.当且仅当‘:二二:=·一二、时上式等号成已知a、b、。、d、· a+b+c一卜d十e己是满足,证明:依柯西不等式的推广式:(a全,+a瑟,+…+a瑟,)(a全:+a瑟:+… +a井:)…(a全。+a二,+…+a井。) )(a,lai:一al:+a:ia::一aZ。+… 十a、la、:…a、。)”. aZ十…     

一个不等式及其应用

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。     

一个不等式及其应用

本文给出一个关于数组的不等式,并举例说明它在证明不等式、求函数最值、解方程中的应用.     

一个不等式的应用

定理(ax-by)~2≥(a~2-b~2)(x~2-y~2)(*),当且仅当ay=bx时等号成立。 证明 略,事实上此不等式堪与柯西不等式(ax by)~2≤(a~2 b~2)(x~2 y~2)相媲美,灵活运用不等式(*),可收奇效。 例1 已知m,n(m>n)是正常数,x,y是正变数,且m/x-n/y=1,求x-y的最大值。