对（a＋1/a）（b＋1/b）最值的探讨和推广

问题1 已知a＞0,b＞0,且a＋b =1,求证：（a＋1/a）（b＋1/b）≥25/4. 本题经常出现在学生平时的测试题,甚至竞赛题中．关于这道题,有很多种证法,比如比较法,分析法,三角换元法,利用均值不等式或柯西不等式和对勾函数性质证明等等．下面笔者介绍本题三种常见的证法并对其加以拓广．     

运用“a（1±x）~n=b”速解题

在解决一元二次方程的变化率问题,我们常用这样一个公式来解答：a（1±x）^n=b,其中a为原始量,b变化后的量,x表示变化率（包括增长率和降低率）,n表示变化的次数.若是增长率问题,可将数据直接代入公式a（1＋x）^n=b中求解.若是降低率问题,     

条件式abc=a＋b＋c＋2的几个等价式与应用

本文谈谈条件式：abc=a＋b＋c＋2（a,b,c〉0）①下的不等式证明题.1①的等价式一与应用①式等价于1/（a＋1）＋1/（b＋1）＋1/（c＋1）=1（a,b,c〉0）②例1已知正数a、b、c满足abc=a＋b＋c     

与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）     

由a＋b＋c=1引发的思考

以n＋6＋c=1（其中a,b,c∈R＋）为条件的数学问题,在各种数学书刊中时有所见．本文试图变换一下思维视角,从a＋b＋c=1这个条件出发,先通过没有条条框框的发散思维得到一些结论,然后再对一些常见的相关问题给出简单解法．     

由递推式an＋1=（aan＋b）/（an＋c）求通项an的几个结论

已知数列{an}满足an＋1=aan＋b/an＋c,其中a1已知,a,b,c为实常数,求通项公式an.根据递推式an＋1=aan＋b/an＋c（Ⅰ）的结构特征,可将它转化为等比关系：     

a＋b＋c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果字母系数的和a＋b＋c=0，那么x1=1一定是方程的根，且另一根为x2=c/a；反之如果有一根为x1=1，则a＋b＋c=0．     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的一个初等证明

万新灿、郑晓玲老师在文[1]中提出猜想： f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N＋），当且仅当x=arctan n＋2√a/b时，取最小值（a2/n＋2＋b2/n＋2）n＋2/2     

介绍公式asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋arctan b/a）及其应用

有很多文献给出了下面的公式：asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋arctan b/a）（ab≠0）实际上,此公式并不正确,反例：当a=-1,b=√3时。     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的简证

文[1]用较大篇幅证明f（x）≥（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）n＋2/2（a＞0,b＞0,n∈N（=｜x=arctan n＋2√a/b） 下面给出两个初等而简捷的证明供大家参考．     

关于warped乘积S^1（a）×fS^n（b）的迷向曲率

在本文中,我们研究了warped乘积S^1（a）fS^n（b）（a^2＋b^2=1,a〉0,b〉0．n≥3）,给出了这类黎曼流形具有正迷向曲率的充分必要条件．     

例说条件“非负数a＋b＋c=1”的应用

文献[1]构造了许多不等式，例如： 若a，b，c≥0，且a＋b＋c=1，则 （1）a^2＋b^2＋c^2≥1/3；     

利？用特征根，求数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的通项公式

数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的特征方程是x=c·x＋d/a·x＋b（把递推关系中的an和an＋1换成x）．利用特征方程的根，可以求数列an＋1=c·an＋b/a·an＋b的通项公式．     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的又一简证

文献[1]提出了如下猜想： 猜想f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a，b为大于零的常数,n∈N^＊）当且仅当x=arctan n＋2√b/a时,取到最小值（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）^n＋2/2．     

ab±a±b±1的分解式及应用

在各级数学考试和竞赛中,应用ab±a±b±1因式分解式的题目时有出现.有必要向学生介绍这类问题的解题思路.下面举出几例以作说明: 形如ab±a±b±1的因式分解式为:     

巧用公式“ab±a±b+1=(a±1)(b±1)” 及其变形解竞赛题

含字母系数的一元二次方程整数根问题是数学竞赛命题的重要内容,一般要求待定字母或整数根。下面结合自己的实践谈一下公式“ab±a±b 1=(a±1)(b±1)”及其变形在求解这类问题中的应用,以体现这一公式的应用价值。     

函数f（x）=cx＋d/ax＋b的一个恒等式的发现与引申

1问题提出 函数f（x）=cx＋d/ax＋b（ad≠bc,ac≠0）的图象关于（-b/a,c/a）中心对称,故函数有 f（x）＋f（-2b/a-x）=2c/a恒成立,仿此形式,函数f（x）=cx＋d/ax＋b有没有形如f（x）。[第一段]     

方幂和∑k=1^n（ak＋b）^m的一个计算方法

文章给出计算方幂和∑k=1^n（ak＋b）^m（a,b∈N^＋）的递推公式,并利用这个递推公式得出了计算方幂和sm（n）=∑k=1^nk^m的递推公式。     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x最小值猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N^＊当且仅当x=arctan n＋2√b/a时，取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的．本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明．     

ab=（（a＋b）/2）2-（（a-b）/2）2应用举例

等式ab=（（a＋b）/2）2-（（a-b）/2）2（本文为方便记为“乘积公式M”）在初中数学中出现的次数比较多,但隐藏在字里行间,下面作一些初步的挖掘和应用．