构造图形证明不等式

1 构造平面几何图形 例1 a〉0,b〉0,c〉0．求证：√a^2＋b^2＋√b^2＋c^2＋√a^2＋c^2≥√2（a＋b＋c）.     

不等式证明中的放与缩

1．用均值不等式放缩 例1 已知a,b,c是不全相等的正数．求证：a（b^2＋c^2）＋b（c^2＋a^2）＋c（a^2＋b^2）〉6abc．     

且看求椭圆最值

1．寻求a,b,c的关系 例1 若A、B为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉c）的长轴两端点,Q为椭圆上一点,∠AQB＝120°,求此椭圆离心率的最小值 。     

“母子”椭圆和双曲线的有趣性质再探

椭圆b^2x^2＋c^2y^2=c^2b^2（a〉c〉b〉0,c=√a^2-b^2）内含于椭圆b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2（a〉b〉0）,双曲线b^2x^2-c^2y^2=b^2c^2     

一个猜想的证明

文[1]提出如下猜想,笔者探究发现这个猜想是正确的． 猜想 若a〉0,b〉0,c〉0,且a＋b＋c=3,λ=≥3/2,刚1/λ＋a^3＋b^3 ＋ 1/λ＋c^3＋b^3 ＋ 1/λ＋a^3＋c^3≤3/λ＋2①     

双曲线中a^2、b^2、c^2的等积诠释

在双曲线的标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）中,a,6,c扮演着重要角色,本文试图以线段的积为视角给出以a^2、b^2、c^2的一种几何解释．     

瓦西列夫不等式的推广再探

文[1]将俄罗斯《中学数学》杂志刊登的瓦西列夫不等式：设a,b,c〉0,a＋b＋c=1,证明a^2=b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2,推广如下：     

圆锥曲线的焦点弦长与顶点弦长

AB是经过圆锥曲线（椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,双曲线x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）,抛物线y^2=2px（p〉0）焦点的弦,若AB的倾斜角为a,半焦距为c,则     

一道课本例题的探索与应用

全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第12页例3，笔者用作差法证明这一不等式时发现它是一道有价值的例题。题目为：已知a，b都是正数，且a≠b，求证a^3＋b^3〉a^2b＋ab^2．同样在第16页中也有一道与之结构相近的习题．题目为：如果a，b都是正数．且a≠b，求证a^6＋b^6〉a^4b^2＋a^2b^4,     

2014年浙江省数学竞赛压轴题多解探究

题目设正实数a,b,c满足 {a^2＋b^2=3, a^2＋c^2＋ac=4 b^2＋c^2＋√3bc=7,求a,b,c的值．     

一道IMO试题的再推广

第36届IMO第2题为：已知abc=1,a、b、c〉0,求证1/a^3（b＋c）＋1/b^3（a＋c）＋1/c^3（a＋b）≥3/2①     

一道高考试题的九种解法

题目 对于c〉0,当非零实数a,b满足4a^2-2ab＋4b^2-c=0且使｜2a＋b｜最大时,3/a-4/b＋5/c的最小值为____. 解法1 均值不等式法 因为 4a^2-2ab＋4b^2-c=（2a＋b）^2-6ab＋3b^2-c=0,     

几个命题的统一形式

题1设a、b、c为正实数．证明： a/√a^2＋b^2＋b/√b^2＋c^2＋c/√c^2＋a^2≤3√2/2.     

椭圆的"类准线"的性质初探

准线是椭圆的一条重要特征线，椭圆的许多精彩绝伦的性质就是通过准线这个载体来演绎的．在椭圆x^2/a^2 ＋ y^2/b^2=1（a〉b〉0）中，x=a^2/c是其一条准线方程．同样地，与直线x=a^2/m（m〉0）息息相关的椭圆也有许多可以与准线相媲美的性质，[第一段]     

《数学通报》1602号问题的简证

《数学通报》1602号问题如下：设a,b,c∈R,则有a^2（a＋c/a＋b）＋b^2（b＋a/b＋c）＋c^2（c＋b/c＋a）≥a^2＋b^2＋c^2.     

与椭圆的“类准线”有关的三个最值问题

准线是圆锥曲线的一条重要的特征线．对于椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,x=a^2/c就是其一条准线,文[1]探讨了椭圆的另一条直线x=a^2/m（m〉0）的性质,得到了一些有意义的结论,该直线称为椭圆的“类准线”（当m—c时直线即为准线）．经过研究,我们发现了与椭圆“类准线”有关的三个最值问题,现用定理形式叙述如下．     

一个开放问题的探究

文[1]中借助代数恒等式a^2/a+b+b^2/b+c+c^2/c+a=b^2/a+b+c^2/b+c/a^2/c+a证明了4个相关的不等式,并在文末提出如下问题:已知a,b,c ∈ R^+,当入与μ满足什么条件时,如下不等式成立:a^2/√λ(a^2+b^2)+aμab+b^2/√λ(b^2+c^2)+2μbc+c^2/√λ(c^2+a^2)+2μab+b^2/λ(b^2+c^2)+2μbc+c^2√λ(c^2+a^2)+2μab≥a+b+c/√2(λ+μ)(1).     

一道高考题的五种解法

2010年四川高考理科第12题：设a〉b〉c〉0,则2a^2＋1/ab-1/a（a-b）-10ac＋25c^2的最小值是（ ）     

一道选择题的解法评析及典型失误

（2010年四川高考理科第12题）设a〉b〉c〉0测2a^2＋1/ab＋1/a（a-b）-10ac＋25c^2的最小值是（ ）     

一道竞赛题的证明和推广

题目已知a，b，c为满足abc=1的正数，求证：a＋b＋c≤a^2＋b^2＋c^2．