Mathematics in ancient India

In this series of articles, we intend to have a glimpse of some of the landmarks in ancient Indian mathematics with special emphasis on number theory. This issue features a brief overview of some of the high peaks of mathematics in ancient India. In the next part we shall describe Aryabhata’s general solution in integers of the equationax -by =c. In subsequent instalments we shall discuss in some detail two of the major contributions by Indians in number theory. The climax of the Indian achievements in algebra and number theory was their development of the ingeniouschakravala method for solving, in integers, the equation x² -Dy² = 1, erroneously known as the Pell equation. We shall later describe the partial solution of Brahmagupta and then the complete solution due to Jayadeva and Bhaskaracharya.     

Mathematics in ancient India

Inadvertently, an earlier draft of this article got printed in the November 2003 issue and, since the new draft clarified some of the points, the section ‘Brahmagupta’s lemma and modern algebra’ of the final draft and a few small remarks are being reprinted for the reader’s convenience. The error is regretted.     

关于丢番图方程x3±y6=z2的解

利用Fermat无穷递降法,证明了丢番图方程x3±y6=z2,(x,y)=1仅有整数解23+16=32.     

关于无理数的丢番图逼近的一个注记

得到关于无理数的丢番图逼近的一个定理和一系列重要推论，指出并订正了文章“Ｄｉｏｎｈａｎｔｉｎｅ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ Ｎｕｍｂｅｒ”（Ｊ· ＮｕｍｂｅｒＴｈｅｏｒｙ，３５（１９９０），５５～５７）中的一个错误．     

关于丢番图方程x4+mx2y2 +ny4=z2(2)

利用 fermat无穷递降法证明了方程 x4+mx2 y2 +ny4=z2 在 (m,n) =(6 ,- 30 ) ,(- 12 ,15 6 ) ,(- 6 ,- 6 ) ,(12 ,6 0 )时均无正整数解 ,并且获得了方程在 (m ,n) =(- 6 ,± 30 ) ,(- 12 ,6 0 ) ,(12 ,- 84) ,(6 ,- 6 ) ,(12 ,15 6 )时的无穷多组正整数解的通解公式 ,从而完善了 Aubry等人的结果 .     

关于丢番图方程x4+mx2y2+ny4=z2

利用数论方法及Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程x4 mx2 y2 ny4 =z2 在 (m ,n) =(± 6,-3 ) ,(6,3 ) ,(± 3 ,3 ) ,(-12 ,2 4) ,(± 12 ,-2 4) ,(± 6,15 ) ,(-6,-15 ) ,(3 ,6)仅有平凡整数解 ,并且获得了方程在 (-6,3 ) ,(12 ,2 4) ,(3 ,-6) ,(-6,3 3 )时的无穷多组正整数解的通解公式 ,从而完善了Aubry等人的结果     

高等代数方法在中学数学中的应用

讨论利用行列式知识证明四点共圆、利用齐次线性方程组解的理论解有关应用题、利用正定与半正定矩阵知识证明不等式等高等代数方法在中学数学中的应用。     

组合数学中一个公式的推广

对线性不定方程非负整数解个数的公式进行了推广,得到对未知数进行上下界限制的整数解个数的公式,从而也证明了文[2]所给出的性质.     

教师专业化与数学教师的继续教育

教师专业化要求教师在整个专业生涯,具备相应的人格、学问、教育观念和教学技能,这四者之间的动态有机组合体现了教师职业的本质,形成了不同的教师特征.特别是教育观念和教学技能两个要素,是区别于其他行业人员而充分体现教师独有的职业特征.而多数数学教师也恰恰在教育观念和教学技能两方面比较薄弱.根据教师专业发展阶段理论,以及对北京市中小学数学教师的调查,反思数学教师的继续教育,须在教育观念的转变、教学技术的培训、教学模式的革新等方面有所加强.     

线性方程组理论在初等数学教学中的应用

在平面与空间解析几何中,利用线性方程组理论确定两条直线之间的位置关系,并且利用齐次线性方程组的一个结论求出二元方程组的解,此外它还可以判别一元多次方程的重根,从而将大学所学的高等数学知识应用到初等数学中,为在初等数学中应用高等数学知识打下一个铺垫.     

二次型在不定方程中的应用

具体介绍了一种二元二次不定方程的解法,分析这种解法,然后提出运用二次型解不定方程的猜想,证实此猜想并详细介绍这种方法,最后提出漏解情形可能性,并对这个漏解情形进行讨论并加以完善．     

齐线性方程组有非零解的充要条件在初等数学中的应用

用齐线性方程组有非零解的充要条件定理解决初等数学中的某些问题。     

关于丢番图方程x（x＋1）=Dy4

设P为素数,本文用初等数论方法,证明了丢番图方程x(x+1)=Dy4在D=2P,P≡±5,7,13(mod16)和D=8P,P≡±3(mod8)时均无正整数解;在D=P,P≠1(mod16)时仅有正整数解(D,.x,y)=(2,1,1),(5,80,6);在D=4P时仅有正整数解(D,x,y)=(12,3,1),(20,4,1).     

M／M／1驱动的流排队中的连分数方法

考虑了一类由M／M／1队列驱动的流排队模型,其中的输入过程是一马氏调节率过程．通过概率结构的分析,构建了模型的微分方程．运用拉氏变换和连分数的方法求得了缓冲器容量的稳态分布．     

阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题.利用整除及同余的有关性质得到了阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5的所有整数解.     

浅谈不等式在高等数学中的应用

不等式在高等数学中的应用非常广泛,地位举足轻重,正确使用不等式可使复杂的数学问题简单化,但由于它的应用方法灵活、抽象,逻辑性较强,因此不易被掌握和驾驭.本文就是立足于高等数学教学过程,简要地对不等式在高等数学中的应用进行了阐述和举例分析.     

阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5

与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题.利用整除及同余的有关性质得到了阶乘丢番图方程n∑k=1 k!=qm＋8a＋5的所有整数解.     

关于卡斯猜想的推广形式

研究了亻路卡斯猜想的推广形式,获得了幂和丢番图方程Ｓ２（ｘ）＝ｙｎ有正整数解的充要条件,证明了当ｎ＝３,５和ｎ≥４为偶数时,该方程仅有平凡解（ｘ,ｙ）＝（１,１）．     

几个不定方程在Q（√-11）和Q（√-43）中的解

根据代数数论的理论,将初等数论中的一些结论推广到更大的代数整数环中,应用这些结论确定了几个著名的不定方程在虚二次域的整数环中的解,指出了费尔玛方程在比整数环更大的环中也没有非平凡解。