也谈一类应用问题的几何解法

贵刊 2 0 0 1年第 1期“一类应用问题的几何解法”一文介绍了利用几何图形 ,解决函数极值问题的一种方法 ,读来颇有新意。但问题中所设定的“公路运费是铁路运费的 2倍”这一条件过于特殊 ,局限性较大 ,而且没有考虑问题中几个量之间应满足的关系。本文将借鉴该文中的方法 ,对文中提及的一类应用问题的一般情形进行研究 ,给出这一类应用问题的普遍适用的几何解法。问题　由铁路线ＡＢ上一点Ａ处 ,把货物运往与铁路线相距为ＣＢ =ｈ的一点Ｃ。运送单位重量经过单位路程的运费在铁路上为ａ ,公路上为ｂ(ａ <ｂ) ,铁路线ＡＢ段的长为ｄ。问应该…     

一道应用题的几何解法与“选址定点”问题

1995年高考命题组讨论题 :如图 1,一条河宽 1千米 ,两岸各有城市Ａ、Ｂ ,Ａ、Ｂ之间的直线距离为 4千米 ,今需铺设一条电缆线连接Ａ与Ｂ .已知地下电缆的铺建费是 2万元 /千米 ,水下电缆的铺建费为 4万元 /千米 ,假定河岸是平行的直线 ,地下电缆铺在Ａ所在的一岸 ,问电缆下水点Ｃ选在离点Ａ多远时 ,可使铺建费达到最小 ?　　　　图 1　　　　　　图 21　几何作法与“选址定点”的一般结论如图 2 ,过Ｂ作点Ａ所在河岸的垂线 ,垂足为Ｄ ,过Ｂ作射线ＢＥ ,与ＡＤ交于Ｃ ,,且使ｓｉｎ∠ＤＢＣ =12 (即铺建费的比 ) ,此时 ,∠ＤＢＣ =30° .过Ａ…     

初中毕业升学数学模拟试题(二)

一、选择题 (本题满分 2 4分 ,共有 8个小题 ,每小题 3分 )1 下列计算正确的是 (　　 )Ａ 4 9=± 7　　Ｂ 3+2 =3+2Ｃ ａ3 +ａ3 =ａ6 　　Ｄ ( 2 ) 0 +2 - 1=322 圆的弦ＡＢ长等于半径 ,则这条弦所对的圆角是 (　　 ) Ａ 6 0°　Ｂ 30°　Ｃ 150°　Ｄ 30°或 150°3 函数 ｙ =ｘ +1ｘ +2 中自变量ｘ的取值范围是(　　 ) Ａ ｘ ≥ - 1　　　Ｂ ｘ ≠ - 2Ｃ ｘ≥ 1且ｘ ≠ - 2Ｄ ｘ >1且ｘ≠- 24 若函数 ｙ =(ｍ+1)ｘｍ2 - 2ｍ- 2是正比例函数 ,则ｍ的值是 (　　 ) Ａ - 1或 3　　Ｂ - 1Ｃ 3　　　　Ｄ 以上都不对5 某厂一月份生产ａ件…     

求直线对称点的一种新方法

在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明　设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 .　　因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即　Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例　已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对…     

一个恒成立问题的多种解法

不等式恒成立问题是一类常见题型 ,其综合性强 ,解法灵活多样 ,能很好地考查学生的数学能力 .下面通过一个具体问题加以说明 :例　若不等式 9ｘ- (ｋ +1) 3ｘ+2 >0对任意ｘ∈Ｒ恒成立 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .Ａ .( -∞ ,- 1)　　　　Ｂ .( -∞ ,2 2 - 1)Ｃ .( - 1,2 2 - 1)　　Ｄ .( - 2 2 - 1,2 2 - 1)解法 1:(特值否定筛选法 )令ｋ =- 1,原式变为 9ｘ+2 >0 ,显然对ｘ∈Ｒ恒成立 ,排除Ａ、Ｃ .再令ｋ =- 5,原式变为 9ｘ+4·3ｘ+2 >0 ,也恒成立 ,排除Ｄ ,故选Ｂ .解法 2 :(图象分析法 )令 3ｘ=ｔ(ｔ>0 ) ,原式化为ｔ2 +2 >(ｋ+1)ｔ.在…     

2002年高考数学选择题的非常规解法

选择题只需找出正确的答案即可 ,对过程不作要求 ,因此在做选择题时 ,若能灵活运用取特殊值、数形结合、排除法、估算等非常规解法 ,则可起到事半功倍的效果。下面就以 2 0 0 2年高考数学卷 (理工农医类 )为例 ,谈谈选择题的非常规解法 .图 1(1)圆 (ｘ - 1) 2 ｙ2 =1的圆心到直线 ｙ= 33 ｘ的距离是(　　 )(Ａ) 12(Ｂ) 32 　　 (Ｃ) 1(Ｄ) 3此题的常规解法是用点到直线的距离公式 ,若用图 1则更简便 .解　由直线的斜率是 33 知 ,倾斜角为 30°,所以圆心(1,0 )到直线 ｙ=33 ｘ的距离是 12 ,选 (Ａ) .(2 )复数 (12 32 ｉ) 3 的值是 (　　 )(…     

高考数学综合训练(三)

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每题 5分 ,共 60分 )1 .已知Ｉ为全集 ,Ａ、Ｂ、Ｃ为Ｉ的非空子集 ,若Ａ∩Ｂ =Ａ∩Ｃ ,则下列等式一定成立的是 (　　 ) .Ａ .Ｂ =Ｃ　　　　　　Ｂ .Ａ∪Ｂ =Ａ∪ＣＣ .Ａ∩Ｂ =Ａ∩Ｃ　Ｄ .Ａ∪Ｂ =Ａ∪Ｃ2 .已知函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎ(ｘ φ) ｃｏｓ(ｘ φ)为奇函数 ,则 φ的一个取值是 (　　 ) .Ａ .0　　Ｂ .-π4 　　Ｃ .π2 　　Ｄ .π3.一个圆锥的侧面展开图扇形的周长为 2 ,则这个圆锥侧面积的最大值是 (　　 ) .Ａ .12 　　Ｂ .π2 　　Ｃ .14 　　Ｄ .π44.函数 ｆ(ｘ) =ｘ3-ｓｉｎｘ的部分图象…     

数学自我检测题

一、选择题 (下面每个小题都给出代号为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的四个答案 ,其中只有一个答案是正确的。)1、下列计算正确的是 :Ａ、ｘ6÷ｘ3=ｘ2 ;　　　　Ｂ、(-ｘ) 4 ÷ (-ｘ) 2 =-ｘ2 ;Ｃ、ｘ5·ｘ2 =ｘ1 0 ;　　　Ｄ、ｘ5+ｘ5=2ｘ5。2、函数 ｙ =7-ｘ的自变量ｘ的取值范围是 :Ａ、ｘ≥ 7;　　Ｂ、ｘ >7;　　Ｃ、ｘ≤ 7;　　Ｄ、ｘ <7。3、已知一次函数 ｙ =ｋｘ +ｂ的ｋ >0 ,ｂ <0 ,则函数的图象不经过 :Ａ、第一象限 ;　Ｂ、第二象限 ;　Ｃ、第三象限 ;　Ｄ、第四象限。4、一个熟透的梨子从树上落下来 ,梨子距离地面的高度 (ｈ)与落到地面所需…     

几何方法在最值问题上应用点滴

最值问题是初等数学中经常碰到的一类问题 .有些最值问题用常规代数方法较难入手 ,但若把问题适当变形 ,揭示其相应的几何意义 ,问题实质就直观清楚 ,易于解决 .例 1　已知ｘ2 +2ｙ2 =1 ,求ｚ =ｘ2 + ｙ2 -4ｘ + 4最值 .解　由条件知ｘ2+ 2 ｙ2 =1是中心在原点 ,长轴在ｘ轴上的椭圆 ,它与ｘ轴交于Ｍ(-1 ,0 ) ,Ｎ(1 ,0 ) .设Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆上任一点 ,则ｚ =(ｘ-2 ) 2 + ｙ2 就是Ｐ(ｘ ,ｙ)与点Ａ(2 ,0 )距离 ｜ＡＰ｜ ,由图易知 ｜ＰＡ｜≤｜ＡＭ ｜ ,｜ＰＡ｜≥｜ＡＮ｜ .∴ｚｍａｘ =｜ＡＭ｜=2 + 1 =3 ,　ｚｍｉｎ =｜ＡＮ｜=2 -1 =1 .…     

一道高考试题的演绎与深化

1　题目与解法研究2 0 0 1年高考题 19(文 2 0 )题 :设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,证明直线ＡＣ经过原过Ｏ .　　　　　图 1证 1　如图 1,记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为Ｅ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 ,于是有ＡＤ ∥ＥＦ∥ＢＣ .连结ＡＣ与ＥＦ相交于点Ｎ ,则｜ＥＮ｜｜ＡＤ｜ =｜ＣＮ｜｜ＡＣ｜ =｜ＢＦ｜｜ＡＢ｜,｜ＮＦ｜｜ＢＣ｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.根据抛物线的几何性质有｜ＡＦ｜=｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=｜ＢＣ｜ ,所以｜ＥＮ｜=｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜…     

苯和溴取代反应实验的改进

中学课本中介绍苯的取代反应性质时是以苯和溴反应为例进行实验的．若按课本上的装置和操作，将苯和溴混和好后，再加入催化剂——铁粉，烧瓶内液体急剧沸腾，大量的溴蒸气和溴化氢气体充满烧瓶上面的空间，并通过长导管进入锥形瓶，进一步弥漫到空气中，产生呛人的白雾和窒息的恶臭，造成严重的污染，锥形瓶中的蒸馏水也会因溶有溴呈棕黄色，这时再用AgNO3溶液来检验蒸馏水中的溴离子缺乏说服力．另外，实验结束后，把烧瓶内生成物倒入水中，生成的溴苯因溶有溴而呈褐色，尽管在教学中强调是因为溶有溴而发生了颜色变化。     

浅议德沃金的资源平等理论的缺陷与启示

德沃金根据抽象的平等权理论对自由主义的分配正义理论作了新的阐发,提出了资源平等论,这一理论构想包括拍卖模式和虚拟保险市场两个部分,分别解决初始分配和再次分配的平等问题。试就德沃金的资源平等理论缺陷进行分析,并就其对我国和谐社会法治建设的理论和现实指导意义提出一点思考。     

以列维纳斯爱的伦理观解读《奥赛罗》中的人物形象

《奥赛罗》以嫉妒、盲目、报复为主题展现人类在命运面前的无能与无助。列维纳斯的伦理观把爱作为伦理的基础,强调他者的不可知性和他异性是自我对他者回应和负责的根本原因。只有忘我的以他者为中心、对他者敞开心扉才能让爱的伦理关系存在并延续。借助列维纳斯的爱的伦理观阐释《奥赛罗》三位主要人物对爱的不同处理方式,可以揭示出导致人物之间伦理关系破灭和导致的爱消失的原因,再现莎士比亚这位文学巨匠的超前历史眼光与社会责任感。     

提高"中国近现代史纲要"课程教学实效的探索

在高校开设"中国近现代史纲要"课程,体现了党和国家对于高校思想政治理论教育的重视。但是,"纲要"课程开设之后的教学现状却并未令人满意。针对教学中存在的问题,我们就增强"纲要"课的理论性和学术性,活跃课堂气氛,进行开放式教学,加强师资队伍的建设,发挥教师的主导作用和挖掘历史资源,加强学生的社会实践等方面进行了以提高教学实效为目的的探索。     

提高“中国近现代史纲要”课程教学实效的探索

在高校开设“中国近现代史纲要”课程,体现了党和国家对于高校思想政治理论教育的重视。但是,“纲要”课程开设之后的教学现状却并未令人满意。针对教学中存在的问题,我们就增强“纲要”课的理论性和学术性,活跃课堂气氛,进行开放式教学,加强师资队伍的建设,发挥教师的主导作用和挖掘历史资源,加强学生的社会实践等方面进行了以提高教学实效为目的的探索。     

大学校园“边缘区现象”引发的思考

随着时代的发展,大学校园和城市之间逐渐产生了一个特殊的区域,即所谓的大学校园“边缘区”。以系统分析法对由边缘区地段的特殊性引发的“边缘区现象”的成因,特点及发展方向进行深入的思考．     

完善航空公司安全管理职能的若干构想

传统的航空公司安全管理模式存在一定缺陷,不利于构建安全质量管理体系。通过完善组织机构、理顺关系,统筹兼顾地抓好风险管理,强化激励机制,完善安全保证手段,可以充分发挥安全管理部门的各项职能,有力地推进航空公司安全管理体系的建设。     

人-自观念演进的否定之否定

在人与自然界的关系的演进过程中,形成了与不同文明时期相适应的人-自观念。从"天人合一"到"人定胜天"再到"和谐共生",这是人-自观念演进的肯定、否定、否定之否定的辩证发展过程,也是一个合乎规律的过程,它们都是时代的产物,都包含着不同程度的合理的因素,我们必须对它们进行具体的辩证的分析。     

2001年全国高考数学选择题的多种解法

选择题是标准化试题的主要题型,在高考数学试卷中,所占分数比例高.考生能否迅速、准确、简捷地解好选择题,成为高考成败的关键.如何提高解题速度,确保做题质量,这就要求考生有合适的解题方法和技巧.下面就2001年高考选择题的多种解法进行分析.     

加州大学的治理变革及启示

从控制走向协调,以治理代替管理,既是世界高等教育改革的趋势,也是美国公立大学一直努力的方向,而加州大学则是将这种努力践行得较为彻底的一个成功典范.这种努力具体表现为加州大学一方面通过与政府签订协约、引入市场机制、寻求校外群体的支持等形式来弱化政府的管制色彩,另一方面又充分发挥董事会、学术委员会等治理机构的协调作用,为大学自治提供一系列的缓冲与保护.