质数与合数(二)

b与p是大于1的自然数,且p+2b,p+4b,p+6b,p+8b,p+10b,p+12b都是质数.求P十b的最小值. 这是第七届"华杯赛"的一道试题,与4月份的问题相比,现在要求p+12b也是质数.对上次所给答案P一7,b=15, P+12b=187=11*17不是质数. 因此,上次的答案不再正确.但其中的推导论证仍然有效.例如     

一道波兰数学竞赛题的推广

2003年波兰数学竞赛有如下一道试题:设p是质数,整数a,b,c满足0相似文献   

素数与合数

若a和b是自然数,且a=bq其中q也是个自然数,则q叫做是由数a除以数b所得到的商,并记作q=a/b.也可以说a能被b整除,或b除a而无余数。能除尽a的任何一个数b都叫做a的因数.数a本身相对于它的因数来说叫做倍数.因此,b的倍数是b,2b,3b,…数2的任何倍数(也就是能被2除尽的数)叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数.每一个自然数或是偶数,或是奇数.若两数a_1,a_2都是b的倍数,则它们的和a_1+a_2也是b的倍数.这显然可从下列得到:     

香港保良局第六届小学数学世界邀请赛个人竞赛试题

1.有一个正整数p,它除以5的余数为3;它除以8的余数为5;它除以13的余数为11。假若p小于1000,试求满足上述条件的p的最大值。2.某数的完全平方数是形如4abc9的五位数,其中a是千位上的数字,b是百位上的数字,c是十位上的数字。若a>6>c,     

一九九○年日本高考数学试题及解答

吕第一试一、(30分) 1.整式P(x)符合下面的条件(A)、(B) (A.)P(x)除以x’一4x十3,余数为65x一68; (B)P(x)除以x’ 6x一7,余数为一sx十a。 这时,已知a二(),求P(x)除以尸 4x一21,余数为故十:. 由条件(A)得()b 。=(). a=()时,由条件(B)得()右 ‘二().由此,得乙=();e=(). 2。从下面①一④中选出正确的填入下文的()内. (1)集合A、B,A日B=A是使A自B二B成立的(). (2)整数,:,:2是一2的倍数是使n是12的倍数成立的()。 (3)三角形T的内切圆的中心和外接圆的中心一致,是使T是正三角形成立的(). (4)实数a,乙,e.!a十b e}=}al !乙{ 1‘、{是使赫干…     

用剩余类造“抽屉”解证一类存在性竞赛题

任意整数除以m（m是大于1的正整数）所得余数只有m种情形,即余数为0,1,…,m-1,把被优除所得余数相同者归为一类,称为以m为模的一个剩余类．如：整数按除以2余1还是0,分为奇数和偶数．又如,整数除以3,余数只能是0,1,2这3种情况,我们可把所有整数按除以3后的余数分3类,即3k型数,3k＋1型数,3k＋2型数（k是整数）．     

质数2在解题中的作用

质数“2”,它是质数集合中唯一的偶数,也是最小的质数。因此当两质数相加或相减结果值为奇数时,则两质数中必有一数为2,利用这些特性在解有关质数题目中就能很容易得出答案。例1.已知A=71gp+1gq,其中p、     

“万众一心”与“以不变应万变”

初一(1)班“数学晚会”开始了.首先上场的是活泼爱动的小婷,她邀请全班同学与她做“万众一心”的猜数游戏.她笑嘻嘻地说:“请大家任意想一个大于3的质数,各人想各人的.先把这个质数平方,再加上2004,最后除以12,然后把余数记下来,不要告诉任何人.我能说出你们每个人所得的余数是多少.”同学们陆续得出了余数,但相互保密,他们倒真想看看小婷有多大能耐,能一个一个说出各人所得的余数.不料,小婷胸有成竹地说:“你们所得的余数都是1.‘万众一心’嘛!”大家深感意外,各人所想的质数不全相同,小婷也不知道,结果却都一样.同学们,你能说出其中的秘密…     

整体思考法在解题中的应用

整体思考法是指在思考问题时 ,把注意力放在问题的整体上 .从整体角度 ,寻找各个信息之间的联系 ,观察每个元素之间结构状况 ,探索各个变量之间的变化规律 ,从整体上把握住问题的内容与解题的方向和策略 .现列举四例 ,透视其一斑 .例 1　 (第 16届江苏省初中数学竞赛试题 )已知 a是质数 ,b是奇数 ,且 a2 +b=2 0 0 1,则 a +b=.解 :因为 a2 +b=2 0 0 1是奇数 ,所以 a2与 b必为一奇一偶 ,又 b为奇数 ,所以 a2必为偶数 ,又 a为质数 ,所以 a =2 (因为 2是唯一的偶质数 ) .这时 ,b =1997,故 a+b =1999.评注 :本题是从整体 ( a2 +b =2 0 0 1)入手 ,…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初35.4个互不相同且末位数字不是1的质教,其平方和等于4pq(p,q为质数,p≠q),A=2~npq(n为大于6的整数)是一个6位数,分别由A的前3位数字、末3位数字组成的两个百位数之和等于10pq,且前3位数字组成的百位数是r(r为质数)的形式,求这4个质数之积。     

1993中国数学奥林匹克(CMO)

一、设n是奇数.试证:存在2n个整数al,由,””久办,瓦,…,b.,使得对任意一个整数k,o相似文献   

质数2的特殊性

一些有关质数酌计算问题,虽然通过试算也能得出答案,但比较麻烦。如果利用质数2的特殊性(在所有的质数中,只有2是偶数)和奇、偶数的运算规律去分析,就能达到事半功倍的效果了。例1.已知a、b、c都是质数,且a+b=33,b+c=44,c+d=66,那么d=____。我是这样解的。奇、偶数的加法的计算规律:奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,奇数+偶数=奇数。减法的计算规律与加法类似。根据奇、     

质数的证明

证明所有大于2的奇数都是质数,不同专业的人给出不同的证明:数学家:3是质数,5是质数,7是质数,由数学归纳可知,所有大于2的奇数都是质数.物理学家:3是质数,5是质数,7是质数,9是实验误差,11是质数,……     

第五讲 数的整除

数的整除是指:整数a除以自然数(小学里对于a和b都限于自然数),除得的商正好是整数而没有余数(也就是余数为0),我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。这时,a叫做b的倍数,b叫做a的约数,显然零是任何自然数的倍数,1是任何自然数的约数。但零不是任何自然数的约数。     

问题5.2解答

题目求使2了 P是完全平方数的所有质数P解设里于是2”万兰一“2(p为质数,“是正整数’,一1一P澎.易知P为奇质数,所以 (2宁+i)(2宁一i)=户a2.① 因为2昭+1与2昭一1是相邻奇数,故它们是互质数. 根据①式,2昭+l与2旱一l两数中必有其一为完全平方数,否则它们不可能互质. (l)若2昭十1一尸,因x为奇数,设二一Zy十i(y为正整数),故有 2宁+1~4y,+4y+1, 即2昭一4夕(少十i). 由于y与y+1中必有一个奇数,因而其乘积不可能是2的幂,除非y一1,此时p一7. (2)如果2导一1一x2一4犷+4y+1,那么 2罕一2(2夕“+2夕+i). 上式右边括号中的数必为奇数,故只能是1,此时y…     

题库(二十二)

1·已知a,b为正实数,且满足a+b=2.(1)求1+1a+11+b的最小值;(2)猜想1+1a2+1+1b2的最小值,并证明;(3)求1+1an+1+1bn的最小值;(4)若a+b=2改成a+b=2p(p≥1),猜想1+1an+1+1bn的最小值.2·已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标;(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.3·设曲线C:y=x2(x>0)上的点P0(x0,y0),过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1,过Q…     

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献   

证明

证明所有大于2的奇数都是质数,不同专业的人给出下同的证明．数学家:3是质数,5是质数,7是质数,由数学归纳法可知,所有大于2的奇数都是质数．     

关于整除定义的商榷

“0是偶数吗?”有的学生回答说“是”;有的学生回答说“不是”。说“是”的理由是:小学课本数学第八册第45页上明确规定数a除以数b,商正好是整数,而没有余数,我们就说数a能被数b整除。例如,0除以2,商正好是整数0,而没有余数。可见0能被2整除,所以0是偶数。还有一种理由是:课本第48页明确指出“个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。”“能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数。”因为0是一位数,它的个位就是它的本身,因此,0能被2整除,所以0是偶数。说“不是”的理由是:课本第45     

数字和

。是正整数,用S。表示a的数字和,Sa+,表示。十1的数字和.如果S。与S、1的最大雀卜约数是一个大于2的质数.求。的最小值. 这是第七届“华杯赛”试题二 两个数。、b的最大公约数,我们用(。,b)来表示,例女口,(12,8)=4. 。、b(。二>b)的公约数,显然是“、。一b的公约数;反过来。、。一b的公约数,也是。、b的公约数.所以 (“,b)一(。,己一b). 如果。的末位数字不是9,那么。加1不发生进位,所以 S叶1~S。十1, (S。+:,S。)一(Sa+1,Sa+1一S。)一(Sa+,,1)一1.与已知(S。,Sa+,)是大于2的质数矛盾.所以。的末位数字是9.如果。的十位数字不是9,那么…