每期一题

题:在三棱锥V一ABC中,VA二BC二a,且VA_LBC,作一截面平行于VA、BC,(1)求这截面的周长,(2)何时此截面面积最大? (河北束鹿县郭西中学杨魁旺来稿) (1)解如图,DEFG是适合条件的截面。,.’ DG、EF了VA,DE、GF 1 BC,且VA土BC,.’.截面DEFG为矩形。在平面V月B中,(,.’0(e《二)。欲DE·EF最大,须20二蚤兀-e二十二,由DE二刀G得AD=DB,故截面过所截各棱中点时,面积最大。解法三设AD二二,则DE=黑 ‘性万D‘二_鱼哎逛匕些_ AB设截面面积为S,则S=DE·DG=蒜(AoX一,喘=.’.刀G=一羔〔一(二一钊B):十招护〕。 “性廿一DG面’史…     

巧妙的解(初二)

1.巧用平方比大小 例1已知a一丫1003州农丽,方一丫1001+丫更再,。一2丫i玩万,试确定它们的大小关系. 解设二一1000,则 a一了x+3十丫二一3, b一丫二+1+丫二一1,。一2丫蕊;.所以了一(二+3)+(二一3)+ 2丫(二+3)(二一3), 厅一(刃+l)+(j一1)+ 2丫(二+l)(二一l), eZ一4了,即a:=2二+2丫二2一9, 厅一2二+2丫二“一1,。2一2二+2了(刃,显然厂一9<了一1<了.所以矿<厅<。2,因为u>O,b>0,。>O,所以ao,y>。,且满足二一3护石; 、二+抓石十Zy二、,、一10v一O,求二一一共兰全一的值. 二一2了习+y 解由已知得 (丫妥+2石)(丫妥…     

哪一个答案正确?

有这样一题:“在△尸AB中,AB=4,D为AB的中点,尸B十尸A二一6,尸B“(4,求中线尸D的最小值”。几种不同的资料对此题提出不同解法,而且答案不一,现把各种解法抄录于后。 解法一由尸BZ镇4可得尸B最大值是2又由尸A+尸B二6可知尸A的最小值是4,在△尸B助扣,‘:尸D>BD一尸B.’.尸D>O…①而在△尸AD中,,.’尸D>尸A一AD》4一2=2.二②,有最小值是2。由①、②知:中线尸D的最小值是2o 解法二如图,AD二DB二2,设尸B二戈,则尸A二6一x,又设尸D=m, 艺尸DB=a,则乙尸DA二180”一a。在△尸DB中,二2=mZ+22一2,Zm·c。,a①在△尸DA中,(6一x)2二…     

2005年高考数学试题(全国卷、理科)解法介评 陕西、四川、云南、甘肃等省区试题

,,寸、r口甲,了二一、选择题.日已知a为第三角限的角,则粤所在的象限 乙是(). A.第一或第二象限 C.第一或第三象限B.第二或第三象限D.第二或第四象限解法1:“a为第三象限的角,…2k兀+7T相似文献   

构造法巧证不等式

刀即 1.构造三角形巧证不等式 嘟郭设。,b,。为正实数,求证:石下了丽下了 了c,+ae+。,,万(。+b+e). 分析:通过观察,我们发现不等式左边每个根号下 的多项式具有余弦定理的结构形式.该不等式具有轮 换对称性.这提示我们只需研究其中一个就行了. 证明:因为丫a,+a‘+‘,二了a,+。,一2砧。051加。,如 +丫6,+石e+e,+ 户书狄 图1所示,在△ABC中乙ACB的角平分线为CD,令乙ADC二O,则 AD 5 in60o BD bb sins’51 旦旦 fl6o sin(180。一8)sin口 所。,。二鼎,。。=彝 由此可得,AB=AD+DB= 譬‘a+6’ sin口 .因为0相似文献   

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…     

此题不妥

初中平面几何第一册尸.225第13题中有不妥之处,原题是: 已知:△ABC中,CD是高,求证: CA,一CBZ=DAZ一DBZ二刀召(DA~DB)。 这里,DA’一DBZ二AB(DA一DB)不一定成立。 这是因为,当△ABC的/刀刀C和/BAC DAZ一DBZ=(DA+DB)(DA一DB)==AB(DA一DB)。 此时原题方才成立。 而当乙ABC为钝角时,如图2,则应有如下结论: DAZ一DBZ二(D月+DB)(DA一DB) 二月B(DA十DB)。而当匕BAC为钝角时,如图3,则应有如下结论:C月 DAZ一DBZ二(DA十刀B)·(DA一DB、图3图l图2都是锐角时,文图1,二一(D召一DA)(DA+DB、二一A口(DA十D刀)…     

每期一题

题:已知0(。提2,。>。,求 T=(:一)’十(侧万万沪一9/的’的最小值。 解法一:设“=Zeoso,0〔〔0、专派〕则T=(Zeoso一u)2+(Zsino一9/”)2=‘一‘”一“。一‘·号。,n。+。2+黔一4一4·护小丁喜:COS(e一甲)+一+影》‘一4扣不一纂=(2一了于漂)’于点A尸, OA+AB)OB二OA‘+A’B,.’. AB)A产B,因此,只要求OB的最小值。设点B(a户),则OBZ=、a’+西’)Za乙二15,只有在a=b时最小,即 a=b二3。 T。‘。=(3了万一2)’。 解法三:将T看作二复数差的模的平方:=一(:‘+、蔚‘)一(。+子‘)12”日l )}!·+、、·‘,一,·】2一训石2~而户.!’+全f2…     

芜湖市一九八零年初中数学竞赛题和参考答案

叙述并证明相交弦定理的逆定理。B3了一”一侧“2+““1.解2.已知(略) 3 X=+了一“+了阮’ l丫一b一侧一占厂命则戈=A+B, x,二(A+B)3=A”+B”+3AB(A+B),.’理3十B3二一b十召沪不石污 +(一b一侧石「而几平j=一2b护+3欧十2b的值。令‘=’了一乙+侧石艺斗百3 3AB= _3(一b+侧乙布护)(一石一亿占“+a“一‘3=一n/﹀记求解允3二故原式一2’a一3a(A十B)=一2乙一3欺,二一Zb一3a戈+3ax+Zb=0。与。cB,一‘“AOZ=‘一52=譬二, 如图,A(0、6)、B(3、7)、C(7、5) 护一、.’.S=6+14十6十是园弧八召口上的三点,分面积几c刀土OX,求阴影部 (12分)2…     

上海市1982年初中数学竞赛试题解答

,朽.,利用余弦定理可得:BCz=a,+aZ一Za,·。o、45. ‘(2一“丁)a,.丫ADZ=ABZ一BDz二尘士夕牙护 通一,. ctg 67.30互夕.AD=斌了一1本题应选择(A). 4.延长BC到G与勺O交于G,过C、O作00『}’、 {\伏一M\NAL-干军一B 直径EF与④O交于E、F, 联MG与百F相交于尸(如F图)。 由已知可得EF了AB 乙尸CM,匕A=60’, 乙尸C口=乙B=60.。一、选择题.,.’(1一2一甸件(1一2一甸.(l+2一甸 .(1+2一仓).(l+2一羞).(1+2一告)=(1一2一惫).(1+2一盖).(一+2一青).(z+2一奋) l“‘一告(l一2一‘)·1本题应选择(A). 2.‘.’l劣一109。夕l=劣+loga,, {…     

错在哪里

1.江西遂川二中肖是明来稿(邮编:343900)即/APO连AO、 在△DPO一/DPO,DO 题若a渭是方程xZ一Zx+乏盆二o的两个根,且a,a+夕,夕成等比数列,求h的值。 解:’:a渭是方程扩一Zx十kz=0的两个根,△APO中丫AO二DO,┌─────┐│、\ ││ “、O │├─────┤│ J ││ / ││ / ││ / ││/ │└─────┘:.,,达定理得{a+夕二2a,夕=kZ①又‘:口,a+夕渭成等比数列.:.(a+口),=。·夕② 将①代入②得2,=尸解得k二土2 将k=士2代入原方程得 xZ一Zx+4=0,.’乙=(一2)2一4义1丫4=一12<0 :’满足条件的k值不存在。此题无解。 解答错了,…     

问题1.5参考答案

问题若整数a,b,c,d,m使am3+bm2+cm+d能被5整除,且数d不能被5整除.试说明:总可以找到这样的整数n,使dn3+cn2+bn+a也能被5整除.解数m不可能被5整除.否则,设m能被5整除,则由am3+bm2+cm+d=m(am2+bm+c)+d知,数d也能被5整除,这与已知(d不能被5整除)矛盾.因此,数m可表示成5k+r的形式,其中k是某整数,r是小于5的正整数.当r等于1,2,3,4时,相应取n分别为1,3,2,4.这时,积mn被5除总是余1.设A=am3+bm2+cm+d,B=a+bn+cn2+dn3.由此二式消去d,得An3-B=a(m3n3-1)+bn(m2n2-1)+cn2(mn-1)=(mn-1)[a(m2n2+mn+1)+bn(mn+1)+cn2].因为mn-1能被5整除,即对所选的数n,差…     

二次根式及平形四边形同步训练(配合人教版)

1.下列各式计算正确的是( A.丫3a.V石-二3aB. c .V磊石=叼D. ). 石·订洲;万=l 丫m(m一3)二、/丽·Vm一3 2.下列各式中属于最简二次根式的是(). A.认再r B.V不万c.丫万D.、/产石了 1下面给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是( A .AB// CD,AD=BC B.AB=C刀,AD=BC C .AB二AD,C召=CD D.乙B=乙C,乙A二乙D 4.计算:(3、/万+V万百)(V丽二4V丁卜 5.以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形,最多能作 ‘.计算:(;八/亘卿亘丁,(2)竺、仁吸(。>。,。>0). y 24x45X135 Zy夕丁b‘ 7.比较一6、厅与一7V了的大小. 8.m(a一1可…     

自然数的一种迭代性质及猜想

设n任N,T是N到N的一个变换.令 T,(n)=T(,:),T,+1(,:)=7’(7’,(,:)),k~l,2,·…称T,为T的k次迭代.现在对自然数,:=a,…a,a。,定义 ,I’(n)~a盆+a二一、十…+a百+a石.(*)则有 定理对任何自然数r,N上的变换(,)在有限次迭代以后必进入循环.设r·gr是k位整数,取,,。~max(10圣,10『),并设 儿=a,…a .a。=a,.10加+一+a,.10+口。,其中甄半0.那么,当n>n。时,。)k,m)r.这时 7’(,:)一a几+…十a万+a么.由于函数f(x)~x(10’一x『一’)(0镇x镇9)递增(’·’f‘(x)~一。。=二x·,李10‘一r .gr妻0),故a.(10”一a万’))10’一l)10盖一1.于是,,一了’(…     

一道含参题的两种分离变量解法

题若了任,,令〕,求使关于二的方程 cosx 了万sin二一丫.万.有解的正数a的取值范围. 解1(利用整体变形法分离变量) 一。[0,于〕,…cosx>。二 将原方程两边平方,得 eosZ二 2了石飞osxsin二 。sin,x二。一。eos,x asinZx.即(l一。)eos,x 2丫丁eosxsinx一。:.,g二一牛共 艺丫况丫。镇tgx(‘,.’.。镇淤毛‘·解得1毛。毛3 2尸厂了时,原方程有解.解2(利用反客为主法分离变量) x任[0,平」,…1一。in二笋。 任于是,由原方程可得万下尝瓷一ctg‘令一会·.:晋毛令一音镇于, 一,兀X、一兀 1气ctg〔尸万一下丁)岌ctg下 任‘O一丫万 1,即1毛气几~镇、/…     

一个结论的两个推广

解析几何中有这样一个结论,即命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作互相垂直的两直线交抛物线于A,B两点,连A,B交x轴于E点,则E为定点.图1证设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入y2=2px,得y2-2pky-2pm=0.故y1y2=-2pm.又OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,(1)21y22故y4p2+y1y2=0,m2-2pm=0,m=2p,或m=0(舍).即E点坐标为(2p,0)是定点.利用这个命题,求点O在直线AB上的射影的轨迹,显得特别方便,因OE为定长,就能看出所求轨迹是一个以OE为直径的圆(去掉点O).y1y2=b2m2-a2b2a2+b2k2,又DA=(x1+a,y1),DB=(x2+a,y2),因DA⊥DB,故DA·DB=0,即(x1+a)(x…     

Hlder不等式的巧用

这是熟知的著名不等式—H61der不等式a,m牛a,,产‘+…+a_’“_/a,+aZ+一+a.、成 刀一\月I此处:a*(R+,i=1,2,…,:,。、,:(N.求证(瓦十会)’+(凡十士)三十二十(付彩 巧用H61der不等式,可以使一类代数、三角、只何不等式的证明显得特别简洁明燎.+资。)’知小十封’例1证明若正数a+b=1,则a‘。一卜b,‘,》512一,.依H6lder不等式,aio+b‘o 2、/a+b\10户多妞--气二-~I一、乙j证明依H6lder不等式,了K.+李丫、.了K,长上)’一。,.r汀人一。一1、、一二‘K:/‘、一“凡/’‘又一“‘龙/ 打卫K 1.‘不丁= 11024’!“才 一 一 一。。‘二al。+b10…     

一条线段三种求法三个答案

又省19韶年中考有这样一冤:万,知,如图,同。白刃直径刀E垂直于弦AC,垂足为G,延长孩刀D、过C交于点P,尸D二5,B一D二GC=3,刀C二3v/丁,求DC长。 (在运算过程或结果中一律不取近似值). 解法一,.’直径BE上AC,.’. AG=CG·二8。设PC=万,由割线定理得,rPC。P过=PD。PB即义(x:一6)=40。CDZ=PCZ十厂刀2一ZoPC·P刀c。:尹 二42一升52一2火琪只5)(了/8二6 :.CD=v/万. 解法三由解法一知AB=及了=3训丁,在Rt△A刀G中,。oSA一AG:AB=了丁/3。,.’乙BDC小艺A=180”,.’.coS乙BDC二一了丁/3,设CD=x,在△召CD中,丫刀CZ二刀DZ+CD…     

一九八六年全国初中数学竞赛试题

一、填空题(本题满分48分)请将正确的答案填在横线“_”上方,每填对一小题得8分。 1。如果方程x2十Px十q=0的一根为另一根的2倍,那么P,q所满足的关系式是 (湖北提供)数),贝iJx的值为: A·1 oalga. C·ro(190)/a. ( 2.如果a相似文献   

数学思想在解题中的应用

一、换兀思想例1 解方程￡毒+盥掣:7. z一1 z‘一5解:设善鲁=y,则原方程转化为,+lov=7.整理,得,。一7y+10=0,解得Yl=2,,2=5,即掣:2或粤:5.解得zl=3,X2=一1,z3:0,z4:5.经检验,所求四个解都是原方程的解.二、方程思想例2 如图1,折叠长方形的一边。点D落在BC的F处.已知AB=8f”,。Bc●一lOc…m,求Ec的长· A 解:由题意知△ADE篁△AFE. ‘ .‘.DE=EF,AF=AD=10.在Rt~ABF中,AB。+BF2=AF。,.。.8。+BF。=10’..’.BF=6..。.CF=BC—BF=10—6=4.I)EB F C 图1在Rt~CEF中,设EC=z,则得方程4。+,:E酽,又‘.‘EF=DE=8一X,.。.4。…