图形变式--命题的一种重要思路(下)

4合理类比原有图形,灵活改造图形条件原题是由三角形的内心、外心构造出的命题.若将两内心换成垂心,则有图7题6如图7,给定正△ABC,D是边BC上任意一点,△ABD的外心、垂心分别为O1、H1,△ACD的外心、垂心分别为O2、H2.求证:(1)∠H1O1H2=∠H1O2H2;(2)O1H1 O2H2为定值;(3)|S△ABD-S     

数学奥林匹克问题

本期问题 初33.如图,不等边△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB AC),O,I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于点E。 求证:IO=1/2AE。     

用向量法解高考解析几何题

2002年全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题第15题是一道考查学生能力的好题,本文想作一个简单的分析与演变.现附赛题如下:如图1:△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB+AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H.求证:(1)AI=BD;(2)OI=1/2AE.     

一道赛题的分析与演变

2002年全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题第15题是一道考查学生能力的好题,本文想作一个简单的分析与演变.现附赛题如下:如图1:△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB AC),O、I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于E,AI的延长线交⊙O于D,DE交BC于H.求证:(1)AI=BD ;(2)OI=1/2AE.     

关于2003年中国数学奥林匹克第一题

题目　设点I、H分别为锐角△ABC的内心和垂心 ,点B1 、C1 分别为边AC、AB的中点 .已知射线B1 I交边AB于点B2 (B2 ≠B) ,射线C1 I交AC的延长线于点C2 ,B2 C2与BC相交于K ,A1 为△BHC的外心 .试证 :A、I、A1 三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2 的面积相等 .1　试题的背景此题是以下面两个命题为背景改造而来的 .命题 1　三角形的两顶点与其内心、外心、垂心中的两心四点共圆的充分必要条件是另一顶点处的内角为 60° .证明 :当三心有两心重合 ,或三角形为直角三角形时 ,结论显然成立 .下面讨论三心两两不重合且三角形…     

’98全国高中数学联赛加试第一题几何证法探究

1998年全国高中数学联合竞赛加试第一题是道平面几何证明题: 如图1,O,I分别为△ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上。     

数学问题与解答

486.如图1,△ABC的旁切圆I切边BC于D,E是BC边上任一内点,△ABE及△ACE与BC边相切的旁切圆圆心分别是I_1和I_2,求证:I_1D⊥I_2D。     

数学问题与解答

666．在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,记 I1、I2、I分别是△ADC、△BCD、△ABC的内心,I在AB上的射影为O1,∠CAB、∠ABC 的平分线分别交BC、AC于P、Q,PQ的连线与CD相交于O2．求证:四边形I1O1I2O2为正方形．证:如图1,不妨设BC≥AC．由题设,有 Rt△ADC∽ Rt△CDB,所以AC/BC=I1D/I2D,又∠I1DI2=90°=∠ACB,从而Rt△DI1I2∽ Rt△CAB,∠I2I1D=∠CAB…………………①     

垂足三角形的性质及证明

锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质 ,本文对这两个性质加以证明 .性质 1　锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心 .已知 :如图 1,锐角△ABC中 ,AD、BE、CF分别为边BC、AC、AB上的高 ,O为垂心 .求证 :点O为垂足△DEF的内心 .证明 :由已知条件可得D、C、E、O四点共圆 ,所以∠ 2 =∠ 4 ;同理∠ 1=∠ 3,又∠ 3和∠ 4都与∠ABC互余 ,所以∠ 3=∠ 4 ;所以∠ 1=∠ 2 ,EB平分∠FED ;同理可得FC、DA分别平分∠EFD与∠FDE .所以点O为△DEF的内心 .性质 1得证 .图 1　　　　　　　　图 2性质 2　锐角三角形的所有内接三角形中 ,…     

一道初中数学联赛平几题证法的探究

2010年全国初中数学联赛平面几何题为： 如图1,已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD／／AC,交⊙I于点D,证明：PD是⊙I的切线．     

一九九八年全国高中数学联合竞赛加试试题及解答

一、(本题满分50分)如图,O、I分别为ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上.求证:△ABC的外接半径等于BC的旁切圆半径.注:△ABC的BC边上的旁切是与边AB、AC的延长线以及边BC相切的.证明 设AI的延长钱交圆ABC于K点,半径OK记为R.因为OK⊥BC,所以OK∥AD,从而AI/IK=AD/OK=c·sinB/R=2sinBsinC①AI/IK=S△ABI/S△KBI=[1/2AB·BI·SINB/2]/[1/2BK·BI·SIN(A B)/2]=AB/BK·[sinB/2/(cosC/2)]     

九点圆圆心关于三边的对称点的性质

笔者将对本文中一些与三角形九点圆圆心关于三边的对称点有关的几何问题给出纯几何探讨.为了方便叙述,先对某些字母的几何意义做如下约定: 如图1,O、H、N分别为△ABC的外心、垂心、九点圆圆心,OA、OB、OC分别为△BOC、△COA、△AOB的外心,O'A、O'B、O'C分别为点O关于边BC、CA、AB的对称点,Na、N...     

一道高中数学联赛加试题的命题背景及其拓广

赛题 如图1,在锐角△ABC中,AB＞AC,M、N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2.证明:O1、O2、A三点共线.     

一个图形的性质与竞赛题命制

命题1在△PBC中，M是BC边的中点，分别以PB，PC为直径作两圆⊙O1，⊙O2，同在⊙O1，⊙P2的外半圆或内半圆（相对于△PBC）上取两点D，E，若∠PBD=∠PCE，则MD=ME．     

一个几何定理的简证与推广

《中学数学教学》1994年第2期刊载了《关于三角形垂心性质的一个定理)一文,提出了如下定理和引理.定理 锐角三角形中,D、E、F是BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于O,若O为△DEF的内心,那么O是△ABC的垂心.引理 D、E、F分别为锐角三角形边BC、CA、AB上的点,AD、BE、CF交于一点O,若DO平分∠FDE,则AD⊥BC.     

关于三角形内心、外心连线的一个性质——一个数学问题的拓广

2011年第2期《数学教学》第811号问题： 在△ABC中，AB〉BC〉CA，点E、F分别在AB、BC上，满足AE=CF=AC，点O、I分别为△ABC的外心、内心．已知EF⊥BC．求证OI//BC． 通过探究，我们发现了该问题的拓广，并给出一个解析法的证明：     

一个与内心有关的相似图形

<正>笔者在解答几道2021年的平面几何竞赛题时,碰到一个与内心有关的图形.如图1,锐角△ABC的内心为I,⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F.过点D作DP⊥EF于点P.在这个几何结构中,有熟知的结论:(FP/PE)=(BD/DC).设AI与△ABC外接圆的第二个交点为M,过点M作△ABC外接圆的直径MN,联结MB、MC.     

1998年高中联赛加试题(1)的简证

题目 如图1,O,I分别为△ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。     

2003年中国数学奥林匹克暨第18届全国中学生数学冬令营试题

2003年1月15日上午8:00至12:30 一、设点I,H分别为锐角△ABC的内心和垂心,点B1,C1分别为边AC,AB的中点.已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B),射线C1I交AC的延长线于点C2,B2C2与BC相交于K,A1为△BHC的外心.试证:A,I,A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等.     

有奖解题擂台(29)

题1 如图1,已知△ABC的内切圆I切BC边干点D,而P是BC边上的任意内点,三角形ABP和ACP的内切圆圆心分别是I_1和I_2.