(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)给出的信息

命题1设。、b、c都为非零数,则1 11几一十一=二,下飞一宁-DC“十U十C互为相反数,不妨设a二一方,则l︷少 十l护 +1一尸 一 一一l尸 +l+11a百+b3 1一少·︸3一一,分 r丫的充要条件是a、b、。中至少有两个互为相反数. 证三‘’充分性显然,卞亩证必要性,,若口3十十乃落二j)几于下奋’ 1=云丁, 1一万,1,1,1._—宁一犷~甲一=口口C.浮.a+b+c皓十去、劲“二(一价朵于是,所证等式成立.更一般有: 1一a+b+e1一c 十]一b由题设知“,乙,。子。,得 (a+b.+e)(bc+ac+ab)=abc,去括号整理得a Zb+ab’+aZe+acZ+bZc+beZ+Zabe=0,因式分解得 (a+b)(b+e)(e+a)=0…     

不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广

(理若a,b任六’,。、k任N,且正<刀,则a”十b”乡a丙b“一‘+a”一‘b“当且仅当a=b时等式成立. 例1.若p、q任R气p3十q“=2求证P+q气2. 证:由定理, (,+叮)3二刀“+口3+3(尹’,+尹叮’) 百尹3+夕3+3(,3+夕3)=8, .’.p+q毛2. 枉·{2 .a,b,c任R十, 则a“+乙“+。“升3ab。. 泣:事实上,a3+b3+。一(a‘+b3+b“+c吕十c,+a吕)1,(a’乙‘一“/)“卜今哭。卜b(+e Za十。a“)=音一〔。‘“2+·”+“·’十·”干·(。:+“·,〕、3。“二(竹者单位:江苏建湖一县芦沟中学)不等式a~2+b~2≥2ab的又一推广@肖秉林$江苏建湖县芦沟中学 @沈文兆$江苏建湖县…     

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献   

方程(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)=k的一种解法

本刊84年第一期曾译介苏联《数学教学》刊登的解法.本文给出方程 侧ax+b士订‘e劣+房=无(1)的另一解法.不妨设无护0.将等式 (a劣+b)一(e劣+d)=(a一c)x+(b一己)两边除以(1)的两边:、而丁不了干、而丁万丁_a一C 无b一‘ 垂(1)十(2),两边平方即得二次方程.(2)4(a劣+b)二(罕·朴竺书二).例1解 (3).解方程侧3x十1一了:+4=1.今3)’袱一;份飞、钟叭‘:=5·验知:=5是原方程的根. 例2.解方程召矛丁牙二及+侧万恋万丽不了二3。 解等式(护一:一2)一(x2一3:+5)=2‘一7两边除以原方程两边,再与原方程相加,平方整理: 8劣2一1 12一19二0。解得:x,=一1,x:=…     

Weitzenb ck不等式的指数加权推广

命题1设x,y,zeR+,户,q,reR十,a)0.则含得击办六z’a)音(X。+y·+工·)(y·+Z一二·)·(x2.+za一犷)(x.+犷一za).(1)等亏当且仅当三里兰_广_尹q+rr+PP+q时成证明略.命题2设a,b,。和S分表△ABC三边和面积,P,q,r,任R+,0毛口蕊1.则 Po .q,。.r‘。—叮~了,—O-r.—‘q十rr十PP十q_34八厂丁、,.‘七竺—t—,“-一Z一3(2) 由文献〔1〕知,以aa,b’,。·为边可构成三角形.以S。表其面积,则些述15.)禅述15)·,。蕊a‘1. jj(3) 其中。相似文献   

一个不等式的加强

本刊1989年第际数学竞赛题中有 设a,b,e任R+,5期刊登第二届友谊杯国则 a 2 .b“.cZ_a+b+e—十一—十一—万二声—.白+CC+口口+口艺不等式可加强为设a,b,c任R+,丝+些兰+‘C+召+c:a+b 一L口日男)竺鉴些十抓‘;荞以‘淤三+告厂〕.事实上,不妨设a)b):>0.作如下变形 a2西+c=厂其二 、口十C~4a一b一c 4(b一e)24(b+c)〕班卫二立二少+ 4(乡一c):4(b+c)=六{(a一宁)’一(勿’〕班些立班+ 4(b一e)z4(b+c)(a一b)(a一c)州兰卫上二 4 ︸‘,l︸+ 一百口.(b一十— 4(bc)2·+c)同理刃一,续有类似表达式,三式相加, C个a“十0有兰+b+C b2‘+口十_丝_ a十b一…     

数学单元自测题(一)

一、填空题1.等式(a+b)2一aZ+犷成立的条件是2.若“2+ma+9是一个完全平方式,3.化简(1+从)’一(l一m)2=则m-4·设nZ+n=8,mn一15,则mZ+mn+nZ的值是_.5.计算20022一4004 X 2003+20032=6.计算2003 X 2001一2002,=7.已知尸一少一6,且x+y一3,则3x一Zy的值为_ 1。.,,_。二,.,、。,,一。8·设“一b一言,“艺十夕一1,贝肛“十b)‘的值是—· 9.设a+b+。=7,a“+b,+cZ=11,则ab十bc+ea= 10.若2s+2’“+2”为完全平方数,则n~_· 二、选择题 1.下列计算错误的是() A .aZ一9b2=(a十3b)(a一3b)B.(x十2)2=xZ+4x+4 C.(x一l)(x+1)=xZ+1 D.(x一1),=xZ一Zx…     

第28届IMO候选题及解答(2)

5.证明:若a.b,c是三.角形的三边,且25二a+b+e,则。I因为2(a十b+c夕黑D十C十一竺- a+C en~厂2、十~一一一-二一‘二‘耳—} a+D\3/8·n一’.厂二一~十二生一\a+l〕匕+Cn专1丫" 6.给定5个实数U。,明:总能找到5个实数V。足下列条件.U,,U:,U3,U;.121丁,V,,V:.V3,、厂‘i}街及+击〕脚 a竺粤{竺〕〔梦(a一卜b+c)听以「匀(l)得到 (1)U;一V:eN: (2)习(\厂、一\rj)“<4. o‘i相似文献   

Hlder不等式的巧用

这是熟知的著名不等式—H61der不等式a,m牛a,,产‘+…+a_’“_/a,+aZ+一+a.、成 刀一\月I此处:a*(R+,i=1,2,…,:,。、,:(N.求证(瓦十会)’+(凡十士)三十二十(付彩 巧用H61der不等式,可以使一类代数、三角、只何不等式的证明显得特别简洁明燎.+资。)’知小十封’例1证明若正数a+b=1,则a‘。一卜b,‘,》512一,.依H6lder不等式,aio+b‘o 2、/a+b\10户多妞--气二-~I一、乙j证明依H6lder不等式,了K.+李丫、.了K,长上)’一。,.r汀人一。一1、、一二‘K:/‘、一“凡/’‘又一“‘龙/ 打卫K 1.‘不丁= 11024’!“才 一 一 一。。‘二al。+b10…     

不等式a~2+b~2≥2ab取等号条件的应用

众所周知不等式a艺十乙’卜2“b当且仅当a=b时取等号.1:面举例说明其应用. 例1.△ABC花条高为h、h。、h。,内切圆半径为:,若h才+hl,+h。=9:.则△ABC为lIi三角形. 证:设△AB口而积为S,则由已知条件得 25 25 259·25 不一+万一+。一=。十b十。,。。、‘:十。、·)(扣;·:)一,·、。+。·。)(;·;·:) /ba、二3十火。十b少、/c刀十.十/\叮当且仅当争异乡二抑一。二·时取等号. …△AB口为正三角形。 例2.解方程:二·‘nZ一‘n(誓一2·)二:.解:方程左边一4〔51一(飞一)勺·〔C。一‘n(梦一)〕..助............. 2簇4 ,万s‘n劣cosL万一劣)…     

关于asinx+bcosx=c的若干应用

高中代数(甲种本)第二册31页给出了!eo,(B一中)!形如cls汪x十乙cosx二‘的三角方程的解法,训eosZ(8+甲)+sin’(夕+ !c!=护乎不矛,’引入辅助角乡, a.。斌夕COSU=一万一育一甲甲丫一5111口= 犷a一卜口“-eos’(8一中)=了不今‘· b、/夕’十b“,将左边化积为了a’+乙’sin(、+口),两边同除以了a’+b’得s三n扛+8)- C丫护落.宁’原方程有解的充要条件是!下r笋币}、1.。、一二。二一”‘~一‘、,,~}、/护+bz}一’ 下面指出该方程的一些应用‘ 一、视sizix,eosx为万,夕,ax+b夕=c(}刘簇1,{引(D作为二元一次方程,用于证明有关三角条许等式. 例…     

04年河北省初中数学竞赛预赛试题(初二、初三)

1_计笠—止1一一一-二一一亘一—二放,从上拄下依次为第1层、第2层、第3层、.,’. 一(。一b)(。一。)’(b一c)(b一a)’则第2004层正方体的个数是()万丁丽不二丽的结果是()(A)2009010·(B)2005000. (C)2007005.(D)2004. 2a/一、2b二--一一’一,一1 (A)万二拭汾二下.(B)二二节炭一.7.当x~2,;一8时, 又a一b)(a一c)一’一’(a一b)(b一c)’‘’=山一‘’少一u”,’ …、2。_、_/。.。1。./,.。.1。 (娜万二二二不王二二万;.(D)。.心护十x‘y十丁xy乙叔/厂十xy之十于护y (a一c)(b一c)‘、一一”V“’4一J”了‘一了’4‘了 2.已知四边形四条边…     

一题两巧证

例如图l,已知△ABC中,AC土BC,CD土AB于D,AB~‘,BC~a,AC一b,CD一h,求证:‘十h>a+b. 证法l(应用比例) ·:口b一‘h一25△ABc, ah、_..-.!--,-一一:.导一于,设此比值为k,则k<1. cb’~~卜。以ZJ‘、,乃切,一~二·:.a一kc,h~kb,:。a一h一k(c一b)<‘一b,即c斗一h>a一卜b.证法2(应用配方法)D图A …(c+h)“=hZ+Zhc+eZ=hZ+2口b十口2+bZ=hZ+(a十b)“,:.(c+h)2>(“十b)2.+h二>0,a+b),0,+h>a+b.(陕西省兴平市西郊中学张国瑞)一题两巧证@张国瑞$陕西省兴平市西郊中学~~…     

数学练习题(十四)解答

润.设a与夕为尸一8x+1一。的二根,习之初;a“十声‘(儿为自然数)为一不能被7整除的整数. 证由根与系数白;关系知:a十刀一8,a·夕~1.当:二二1,2,3时,a+口一sa卫+夕“一(。一考一夕)“一Za·刀一64一2二62 。乙+‘月一‘己,尽,3一3·“,岁·(a十尽)一8:一犷_一逃88,命题显然成立.没当:<左时命题成立,则当九二k时十尸一2)二8(a七一‘十少“‘)一(a“一2+刀‘“2)…a充+夕‘=(a+夕)(a“一‘+夕是一‘)一a月(a‘一’+①以介一1易k有:护一’+尸一’一创砂一“十歹‘一“)一(砂一3十尸““)…②以②代入价担:、乏一L尸一63(a‘一2十尸““)一8(a走…     

sin~2α+cos~2α=1在非三角题中的应用

一、求最值(或值域)例1 (1993年全国高中数学联赛)满足4z。一5xy+4y。=5,设1s=X2+3,。测盎+瓦1:由s:zz十一设l z。2∞钮, 【v。~/Ssina.代入422—5删+4y2=5,得s=F二=_瓦10荔. 又一1≤sin2a≤1,.·.五10≤s≤竽. 一 S～。S商。一51 1 8‘ ● ● 例2 求函数Y=6+~/厂_的值域. 解 ‘.。z+(1一.27)=1且0≤z≤1. 设{;j墨≥.a∈鸭M y。oosa州na=扼sin卜十号)·.‘0≤a≤詈,.·.号≤a十号≤萼,.·.1≤sin(a+号)≤拒,即所求函数值域为[1,应].例3(1999年“希望杯”高～培训题)设以、b、C>0,ab=2,高中截学教与学2002置a。+b。+f。=6,求口f+bc的最大…     

比例式中的设值法

初二《几何》教材中,推导等比性质“若含一备竺(b+d十f+·~一了一”‘~+n笋O),则“+c+e+…十mb十d+f+…十。一牛”时,所采用的方法“设粤~共一 口Oe蚤一一登一‘”是一种重要的解题方法·有些数学题·根据条件的结构特征,选用这种“设值法”,巧妙转化,往往能打通解题思路,迅速求解.下面举例说明. ~二__‘_.一__、,__ab‘.、、_ 例1已知a,b,‘,d都不为。,且羊一兰一斗.求证: “‘一/.。一一’一’一~一’/J一,一b cd’勺、~.令 倪 b一k,则k并O,a一bk,b=ck,c一dk, 二d 一一 占一ca一d一一“3+b3+e,夕+ca+d“一解题方法一十一护左式一(bk)(ck…     

巧用倒数解题

例1分数大?试比林-卫1和1卫1’一’一~~1 111”一11 111哪个(第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题) 解一10十。。1 111 111 1 1 111’ __.1一IU州ee二二;--不, 1 11且 11 11>1 1 1 111 111 11 111’1 111 111>1 1 1 111 1111 111 111_1 111久劝二丙1.例2已知。、b、‘为实数,且压旦全~十b工3 b‘,b十1 ea‘一4’‘+a15一_,ab‘刀卜钱万万一万下己了不下一二二 ““-广口‘门一‘“的值是(1997年“希望杯”初二第二试赛题)由条件,得4,l1—嘴-—a‘i一b+生+“b+bc+ca“bc 一一·︸1一‘6. 十一一1一bl一‘ab十bc十‘口163,十一一1一b…     

利用a~2+b~2≥2ab的变形证明数学竞赛题

一3}eos才)2+(Zlsinil一s)2>》些士互二旦!畔旦些廿竺{兰;里i剑二矍卫~一l..J工 利用aZ十夕>2a合.可推导出一系列变形的不等式.而应用这些变形式又可解决数学竞赛的问题,下面举例说明.+b)2了石石仁严些l生(a,b(R+)卜“不。(二。,一‘卜、5、。,、乃’例、:设今。,证明:?灯牙2万了夔~里竺玉苏联)16一了13sin(必一叨)]’ 2(令J eost}二eos沪,证明:…2习了+?‘歹》2 .JZ哥又2‘不lsint)。sin职)=2·P万玉一十澎犷 2距梦至钊·‘钓’一声.:万了+2澎牙尹.2板. l_,_3、2 忆。一矿13·~I、、矿13/,、I,__、伟工,竹连匀.,k、挤一~—一丁一~一一…     

巧求轮换对称式的值

例l已知歹牵夏一“窗子诬一‘,,求i译石十击+r认的值· 解根据已知条件,由合比性质,得 忍x+y一‘,x十y十二并①②③ X劣+y+艺 yx+y十二 之 二+y+之①十②十③,得 召1十a’ b1+b’ C1十c. 己1+a b .c州卜万-节产一下.十二一气下一,一1。 1.,we夕1.冲一‘~_一一.,_,,_~了1‘1),!Z匕‘为1口一卜口一卜c~V,a口c7:U,习陀al几歹.州一一丁{一卜 、口‘,州告十引+c暗+翻+3的值· 解将3写成号十会十含,则原式一誉十令+含+粤+含十冬+生十口口至b十三 1,,.、.1,:,.、,1,.;.、八一一仁ad一D月一‘户七卜下万戈“一卜o--t esc夕一r气、“月一o州一c夕…     

问题2.3解答

解设长方体三边分别为“,b,c,则ul,’-一667(。,b,c为正实数).又因为‘:,十夕一卜少一3“阮 一(“一卜b)“一3ab(“卜b)礴O 一3abc+c,一[(a+b)3+护]一[3ab(a+b)+3“bc]一(“+b+c),一3(“一卜b)·c(“+b一卜c)一3ab(a+b一}一c)一(“一卜b+c)(矿+夕十‘2一ab一bc一‘a) 一孟(“十“+·):(。一。)2+(。一)2+(一。)2〕,上述等式的右端的式子可明显看出大于或等于零, :.川十夕十尸一3ob’)0,即丫十澎+少妻2 001,当a一乃一c时,取等号. 故。3十尸+尸的最小值是2001. 编者按有不少同学是这样解的:因为长方体体积一定,要使三边立方和最小,则这个长方…