解题小品——一一脉同源

整数对于模的阶在许多竞赛试题中有着重要的应用． 例1 设三角形三边长分别是整数l、m、n,且l〉m〉n．已知     

解题小品——类聚群分

战国时期,齐国有一位大夫名叫淳于髡,他博学多才,能言善辨,齐宣王喜欢招贤纳士,于是,让淳于髡举荐人才,结果淳于髡一天内接连向齐宣王推荐了七位贤士.     

解题小品——画蛇添足

画蛇添足的故事说的是：楚国有个贵族,祭过祖宗以后,把一壶祭酒赏给了他的门客．有人提议说：“这壶酒,若大家都喝则不够,一人独喝便充余;咱们在地上比赛画蛇,谁先画好,谁就喝完壶中酒．”一人最先把蛇画好了．他端起酒壶正要喝,     

解题小品——作茧自缚

蚕吐丝作茧,把自己包在里面,比喻自己束缚自己.陆游诗云：“人生如春蚕,作茧自缠裹.”现实生活的许多问题中,“作茧自缚”也未必是坏事（如航天员遨游太空、潜水员深潜海底,就需要穿上太空服、潜水服将自己与外界隔离）．     

解题小品——损有余补不足

东汉末年,政权统治达到相当腐败的状态,宦官与外戚争权,卖官鬻爵,大肆搜刮民脂民膏,搞得民怨沸腾．河北人张角建立太平道领导农民起义,号称“苍天已死,黄天当立”,要“损有余补不足”．此后,各朝各代农民起义均以此手段号召人民参加．     

解题小品——得意忘形

成语“得意忘形”原用来形容魏晋时期“竹林七贤”阮籍等人“当其得意,忽忘形骸”,即高兴得控制不住自己,忽然失去常态;而陶渊明则用“好读书,不求甚解,每会意,便欣然忘食”作出解释;宋人潘大临刚写了一句“满城风雨近重阳”,便高兴得手舞足蹈,忘乎所以,使得此诗留传下来的只有这么一句,落下了终身残疾．     

解题小品——削足适履

“削足适履”原出自《淮南子·说林训》,意指鞋小脚大,就把脚削去一块来凑合鞋的大小．比喻不合理地迁就凑合或不顾具体条件生搬硬套．在某些数学题中,由于结论过强,不易从题设条件出发去证明,可以适当地“削足适履”,起到意想不到的效果．     

解题小品——抽丝剥茧

“抽丝剥茧”或“抽丝剥笋”都是比喻根据顺序逐渐披剥,以寻求事物的发生发展过程,从而,解决问题．     

解题小品——李代桃僵

“李代桃僵”出自于《乐府诗集·鸡鸣》：“桃生露井上,李树生桃旁．虫来啮桃根,李树代桃僵．树木身相代,兄弟还相忘．”现用李代桃僵比喻相互顶替或代人受过．     

解题小品——坐井观天

成语“坐井观天”常常用来表示眼界狭小.据说金灭北宋,掳去北宋两个皇帝徽宗和钦宗,关押在五国城,令其坐井观天十余年. 众所周知,从一个圆周上去掉一个点后,其余的点可以与实数轴上的点一一对应,如图1. (NPOAx) 图1 同理,从一个球面上去掉一个点后,其余的点可与实平面上的点一一对应. 于是,可将许多与有理数、无理数相关的问题搬到圆周上来解决. 在解题中,也可将其理解为以小搏大,以局部驾驭整体.     

特征分析思想在解数学竞赛题中的应用

本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B…     

含绝对值竞赛题的求解策略

有关含绝对值的问题，尤其是绝对值与不等式的综合题在各级各类数学竞赛中频频出现，本文就此介绍一些常见的求解策略．     

解数学竞赛题的两个局部策略(上)

(本讲适合初中) 有不少数学题描述的是整体的特征,整体的结果,但由于所给条件的任意性、变动性,有时不容易从整体进行分析,这时,我们可以暂时放下整体而去考虑局部,或是集中力量先解决某一局部问题,或是对局部进行调整,再回到整体上来,这就是解题的局部化策略.正如乔治·波利亚所说"局部提示整体","局部恢复整体".采用局部化策略有许多手段,例如,可以将某一个变量看作常量,或进行局部调整,或采用磨光变换,或把整体分解为局部,或对整体问题分步推进.本讲座只讲分解策略和分步推进策略.     

解数学竞赛题的两个局部策略(下)

2分步推进策略 为了解决一个比较复杂的题目，常常不能一步到位，只能把一个问题分成若干个局部问题,这些局部问题往往是层层递进的，当解题一步一步地把这些局部问题解决了，整个问题也就解决了．用分步推进策略解题的关键是弄清题意，设计好层层递进的解题步骤．     

应用阿贝尔变换解竞赛题

(本讲适合高中 )1　阿贝尔变换定理　对数列 {an}和 {bn},记Sk =∑ki=1ai,k =1,2 ,… ,n ,并记S0 =0 ,则有∑nk=1akbk=Snbn+∑n -1k =1Sk(bk-bk+ 1 ) .上式称为阿贝尔变换或阿贝尔分部求和公式 .证明 :由ak =Sk -Sk -1 ,k =1,2 ,… ,n ,知∑nk=1akbk=∑nk=1(Sk-Sk-1 )bk=∑nk=1Skbk-∑nk=1Sk-1 bk=∑nk=1Skbk-∑n -1k =1Skbk + 1=Snbn+∑n -1k =1Sk(bk-bk + 1 ) .应用阿贝尔变换及其证明方法 ,可较好地解决一些较复杂的、带约束条件的、涉及两个数列的对应项之积的和的上下界估计问题 .这类问题在近年的数学竞赛中已成为热点 .2　应用…     

解数学竞赛题的整体策略

在解决某道数学题时，有时不可能或不需要着眼于问题的各个组成部分．而是放大我们考察问题的视角，把需要解决的问题置于一个整体的环境中，对其进行整体处理．     

比较法巧解物理竞赛题一例

问题如图1所示，一根不可伸长的长为2L的细绳上端与一小圆环相连接，环套在光滑的水平细杆上。绳的下端挂一小球，环和球的质量均为m。开始时令绳与竖直方向的夹角为θ0，环和球皆静止，然后放手任其自由摆动。     

构造法解数学题题例

从实际问题出发构造出10种不同的解题模型，并分别以例题进行说明。     

用三角代换解竞赛题

数学竞赛中的某些代数问题用代数方法求解较为复杂，若能根据题目条件与结论的结构及内在特征，恰当地进行三角代换，往往能化繁为简，化难为易．     

数学竞赛中的计数问题

在数学竞赛试题中,以几何或函数为背景的计数问题屡屡出现．本文结合例题,谈谈这类问题的解法．