抓住不变量 巧解分数题

有些分数应用题含有不同的单位“1”,解这类题时,只要从已知条件中找出不变量,再寻突破口,问题就会迎刃而解。一、总量不变例1一个最简分数,分子加上3,约简得59;若分母加3,则成13。求原分数。分析与解:由两次分数变化都是加3,可知分子和分母的和虽然变化但仍然相等。因为59的分子、分母的和是5+9=14。59是最简分数,所以未约分前的分子、分母的和必为14的倍数;又因为13的分子、分母的和是1+3=4,13是最简分数,所以未约分前的分子、分母的和又必为4的倍数。因此未约分前的分子、分母的和是14与4的最小公倍数28,可知59约去的数是28÷14=2,13约去…     

一道分数变化题的四种解法

[题目]分数29/5的分子、分母加上同一个数后,分子与分母的比为19:7,加上的数是多少? 一、紧紧抓住“差不变”解法一:因为分子、分母加的是同一个数,所以分子与分母的差保持不变,即29-5=24。从分子的角度来考虑,原分数的分子占     

从“倍数”入手

例1．将2/11的分子加4,要使分数的大小不变,分母应怎样变化? [分析与解]解这道题,可以从分子扩大的倍数想起。因为将2/11 的分子加4,就是将分子乘(2+4)÷2=3,所以要使分数的大小不变, 分母也应乘3,变成11×3=33,即分母应加33-11=22。     

一类分数题的解法溯源

贵刊93年第10期,94年第4期、第9期,95年第1期连续刊登了“巧用倒数知识解题”“抓不变量巧解题”,“也谈抓不变量…巧解题”“再谈一类分数题的解法”等几篇文章,都对如下一道分数题:“有一分数,它的分母加1,可约简为2/1;分母减1,可约简为3/2;这个分数是()/()”的解法,阐明了个人的观     

一组分数问题的变式思考

我们学习了“分数的意义”和单位“1”的概念后,可以把一些关于分数问题结合和差问题、分数加减法的法则及分数应用题的思考方法综合起来运用,这样可使知识联系紧密、举一反三、触类旁通。例1一个分数,分子加1可约分为12,分子减1可约分为13,求这个分数。解:分子加1即加上一个分数单位,分子减1即减去一个分数单位,可以设原来的分数是ab,根据题意则有a+1b=12,即ab+1b=12……①式,a-1b=13,即ab-1b=13……②式,根据和差问题的解题特点得到ab+1b+ab-1b=12+13,ab=(12+13)÷2=512。例2一个分数,分子加2可约为58,分子减1可约为12,求这个分数。解:根…     

再谈一类分数题的解法

贵刊93年第10期,94年第4期,第9期中刊登的“巧用倒数知识解题”,“抓‘不变量’巧解题”,“也谈抓不变量…巧解题”三篇文章对如下一道分数题:“有一个分数,它的分母加1,可约简为1/2;分母减1,可约简为2/3;这个分数是( )/( )”提出了三种不同的解法,读后大开眼界,令人耳目一新。本文拟     

“凑”也是一种方法

例有一个分数,分母加上1则为25,分母减去2则为49,求这个分数。分析:这道分数题,分母变,分数值也跟着变,但是,分子没有变,这是关键。只要抓住分子这个不变量,本题就好解了。解:把分子看作单位"1"。     

《异分母分数加、减法》教案设计

教学内容:人教版九年义务教育六年制小学数学第十册。教学目标:通过教学,使学生理解、掌握异分母分数加、减法的计算法则,并能熟练地进行计算。教学重点:理解、掌握异分母分数加、减法的计算法则。教学难点:理解异分母分数加、减法必须先通分的道理。教学过程:一、检查复习1.听算:13+1357-3725+1589-19提问:怎样计算同分母分数加、减法?同分母分数加、减,为什么只把分子相加减?2.把下面每组中的两个分数通分。13和2534和720512和38讨论:不同分母的分数能不能直接相加、减?为什么?能不能运用学过的知识来解决?评:异分母分数加、减法是在同分…     

非常规解题例说

一、通分子例 1.比较 - 1211、 -1615 、- 322 9、- 9689的大小。分析 :这题常规解法是通分母 ,变异分母为同分母再比较大小。但本题的最小公分母数字太大 ,计算繁杂。若注意观察各分子不难发现 ,分子的最小公倍数是 96 ,则通分子可使计算简便。解 :∵四个分数的公分子为96 ,∴ - 1211=- 9688,- 1615 =- 9690 ,- 322 9=- 9687,而 9687>9688>9689>9690 ,∴ - 9687<- 9688<- 9689<- 9690 。从而 - 322 9<- 1211<- 9689<- 1615 。二、求整体例 2 .已知 a+ b=2 0 0 2 + 2 0 0 1,a- b=2 0 0 2 - 2 0 0 1,则 ab=。分析 :这题常规解法是根据两条件…     

这样的简便算法有道理——从一道分数计算题谈起

有一位老师,在为小学毕业班复习分数基本性质时,让学生做了一道这样的题。把5/9的分母加上27,要使分数的大小不变,分子应当加上多少? 多数学生能够这样回答:分母9加上27是36,36÷9=4,分母扩大了4倍,分子也应扩大4倍,才能使分数大小不变,这样扩大后的分子是20,20-5=15,所以分子应加上15,整个的算式是5×[(9+27)÷9]-5=15。有一个学生突然站起来说:“老师,我发现27×5/9     

几种特殊分式方程的巧解

思维是解题的重要环节 ,技巧是选择解题方式的捷径 ,现介绍几种特殊分式方程的解法 ,供同学们参考。一、利用分母之差相等巧解例 1　解分式方程 1ｘ - 2 + 1ｘ - 6 =1ｘ - 7+ 1ｘ - 1 .分析 :本题若按原方程两边同时通分 ,将出现高次方程 ,这样运算量大 ,解起来比较麻烦。通过观察 ,我们不难发现 ,方程有一个特点(ｘ - 2 )与 (ｘ - 1 )、(ｘ - 7)与 (ｘ - 6 )相差“1” ,因此 ,适当调整一下各项顺序 ,移加变减 ,这样解起来较简便 ,具体解题过程如下 :解 :原方程变为1ｘ - 2 - 1ｘ - 1 =1ｘ - 7- 1ｘ - 6通分得 :ｘ - 1 -ｘ + 2(ｘ - 1 ) (ｘ…     

谈分数加减运算中的“分母”问题

分数加减法的教学,包括了同分母的分数加减,异分母的分数加减,带分数加减,以及分数、小数加减混合运算四方面的内容。这四个方面的加减运算,都涉及参加运算分数的分母问题。所以,我们也可以用“分母”为线索,来综合研究分数加减法的教学。现说明如下。同分母的分数加、减,因为分母相同,也就是它们的分数单位相同,所以能直接加、减。加减时,只要把它们的分子加、减,分母不变。这里需要说明的是对计算结果的要求:能约分的要约成最简分数;是假分数的要化成带分数或整数。同分母分数加减的有关算理、法则、要求,是分数加减法教学的基础。     

不拘一格比大小

在课堂教学中,教师应抓住机会不失时机地培养学生的思维能力。数的大小比较中,分数是很重要的一环,尤其是异分母分数的大小比较,更是其中的重点和难点。教学时可以采取多种方法,启发学生思维。1.常规方法,也就是把异分母分数先通分,化成同分母分数,再比大小。例如:37=2637,95=6335,因为6273<3635,所以37<59。2.化成同分子的分数比大小。例如:37=1355,59=2157,因为3155<2157,所以37<59。3.根据距离整数1的远近比大小。例如:1-37=74,1-59=94,因为74>49,也就是说73距离整数1更远,所以37<95。4.利用倒数比大小。例如:37的倒数是37,也就是231;95…     

“异分母分数加、减法”教学实录与赏析

一、算算猜猜,引入新课教师出示下面一组题目:47+27 511-411 1318+1118712-512 12+12 89-59学生口答得数后,师:这一组题目有什么共同特点?生:这组题目是同分母分数加、减法。板书:同分母分数加、减法师:怎样计算同分母分数加、减法?学生回答后,师(指着板书的“同分母分数加、减法”中的“同”):谁来猜一猜,这一节课我们将学什么?生:异分母分数加、减法。师:你们真能猜!这节课我们共同研究———生:异分母分数加、减法。教师板书课题:异分母分数加、减法【旧知,一般是后继新知的生长点。新课开始,几道同分母分数加、减法口算题,习旧…     

学会探索学会归纳——从有趣的“怪”运算谈起

许多科学研究 ,往往从观察个别现象入手 ,步步探索 ,从中发现规律 ,归纳出新的结论 .数学中也有这样的例子 .今天让我们体验一下探索的过程吧 !就让我们从几个有趣的“怪”运算谈起 .第 1个例子首先请看下列几个分数的运算 :(1) 67- 56 =6 - 57× 6 ;(2 ) 89- 45 =8- 49× 5 .观察特点　这两道题都是异分母减法 ,被减数和减数的分母都比分子大 1.但是 ,这两道题分数相减都没有按照常规的法则进行运算 ,而是按“分母相乘 ,分子相减”的“奇怪法则”进行运算 ,结果却是正确的 !深入思考　具有上述规律的“怪”运算 ,都能成立吗 ?再举几个实例…     

有趣的分拆

小朋友在做数学习题时，可能会遇到下列算式：（1）计算：12+16+112+120+130；（2）计算：13+115+135+163+199。这两道题如果按常规计算，需要先通分，分母比较大，计算繁，显然这种方法不可取，我们分析一下还有没有别的方法。先看看（1）式，这个算式中的每个分数的分子都是1，分母依为2、6、12、20、30，我们可以把它看作1×2、2×3、3×4、4×5、5×6，对分子为1、分母为两个连续自然数之积的分数，可以把它分解成个分数的差：如12=11×2=1-12，16=12×3=12-13……，改写后以发现，除首尾两数外，其余各数全部消去，计算十分简便。（1）…     

单位分数(初一、初二、初三)

分子为1,分母是大于1的自然数的分数叫做单位分数.如1/6、1/12、1/13.单位分数有一个性质:若x、y、z都为自然数,且1/x+1/y=1/z,则k1·k2=z2(其中k1=x-z,k2=y-z).证明因为x-z=k1,y-z=k2,所以x=k1+z,y=k2+z,     

常用有理化因式的类型及应用

在进行二次根式的运算时 ,往往需要把分母有理化 ,而分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式 ,因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式。我们清楚 ,两个含有二次根式的代数式相乘 ,如果它们的积不含有二次根式 ,就说这两个代数式互为有理化因式。由此可知 :1. a与 a互为有理化因式例 1.把下列各式分母有理化 :112;2 x+ 1x- 1(x>1)。解 :112=22· 2=22 ;2 x+ 1x- 1=x+ 1· x- 1x- 1· x- 1=x2 - 1x- 1。2 .a+ b与 a- b互为有理化因式例 2 .分母有理化 :n+ n2 - 4+ 2n- n2 - 4+ 2(n>2 )。解 :n+ n2 - 4+ 2n- n2 - 4+ 2= …     

这样解更巧

贵刊猴年第一期“巧解1/4>( )>1/5”一文中所谈解法确是巧,但有其局限。一是,此法只适合在两同分子(或同分母)分数间填数;二是分子、分母同时扩大几倍,如数字较大,学生容易出错,且速度不快。 我以为用分子相加的和作分子,分母相加的和作分母,求出要填的分数更简便。 比如“1/4>( )>1/5”之间的分数应是“(1+1)/(4+5)”等于“2/9”; 又如:3/4>( )>3/5(?)3/4>(?)(3+3)/(4+5))>3/5(?)3/4>(6/9)>3/5(?)3/4>(2/3)>3/5;     

由一道思考题得出的一般规律

把2/11的分子加上4,分母应加上多少才能使分数大小不变? 一般解法:分数2/11的分子加上4,得到新的分数是2+4/11=6/11,6/11这个分数比原分数2/11