解题过程的正确性源于数学理解的准确性——解析几例“等价变形”

<正>在解决含(x)~(1/2)型的问题时,将数学式子两边平方是常见的一个变形,但由于"a=b"与"a2=b2"不等价,因此关注变形前后数学式子的等价性往往都引起师生的关注,但教学实践中发现,如何准确把握其中的等价性,师生在行为方面常常落后于意识方面(宏观层面)的情况时有发生,究其原因,不难发现,关键在于没有精准弄清这种变形中造成等价性的具体所在(微观层面),而这正是教学应关注之处.本     

对课本习题的数学探究个案

“数学探究”是新课程标准的重要理念，然而在推行这一理念的过程中，数学探究有被扭曲的倾向：（1）形式化．尽管是很简单的问题，也要来个分组讨论，美其名曰“合作探究”，尽管满堂的探究声，但大都留于表象；（2）狭隘化．将数学探究等价于攻克数学难题，换个名称叫“自主探究”．     

不等式中非等价变形惹的祸

数学解题时离不开转化、变形,这些转化、变形应该等价转换、恒等变形．等价转化、变形是把待解的数学命题等价地化归为另一个数学命题,前后两个命题互为充要条件．在我们学习的不等式的性质中,不少性质的条件和结论是互为等价条件,但是也有一部分性质只能是单向的,不能回推。如a〉b,c〉d→≥a＋c〉b＋d,但a＋c〉b＋d→a〉b,     

甘肃省初中数学新课程实施现状的调查研究

从教师和学生的视角对甘肃省初中数学新课程实施情况进行调查,发现师生对数学新课程的改革有较高的认同感,但教师对《课程标准（2011年版）》的熟悉程度较差;教师的教学行为和学生的学习活动发生了积极变化;数学新课程的评价依据与方式有积极变化,但“唯分数论”现象依然存在;数学新课程教学目标中“四基”和“四能”的达成情况较差。针对调查结果,提出如下建议：（1）发挥专家学者的引领作用,加强对数学教师的新课程培训工作。（2）进一步修订与完善教科书,为学生“提出问题”提供更多素材。（3）把“隐性知识”纳入教学范畴,全面提高学生的数学素养。（4）落实“综合与实践”的教学,培养学生的创新精神和实践能力。（5）进一步推进评价机制改革,实现过程性评价与终结性评价的融合。     

例谈转化中的“美丽错误”

在数学学习中,转化是一种重要的数学思想,通过转化,许多问题可迎刃而解,但是在转化过程中,容易忽视变换的等价性,从而产生各种“美丽错误”．     

命题"p或q恒成立"等价于命题"p恒成立或q恒成立"吗?

等价转化思想是解决数学问题最常用的重要的数学思想方法,我们常常把一些陌生的问题等价转化为我们耳熟能详、信手拈来的问题．因此,能否准确地将所求的问题等价转化,是在解题时最值得关注的．下面将探讨一类笔者和同学们在具体的教学活动中遇到的与“恒成立”有关的“等价转化”问题。     

数学探究教学应体现的几个特征

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式。”《全日制九年义务教育数学课程标准》也指出：“学生的数学学习活动不仅包括模仿、记忆、练习等,而且倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式。”在数学教学中应该怎样开展探究教学？这是每个数学教育工作者必须面对且必须思考的问题。笔者认为,要有效开展探究教学,除了深刻领会新课程标准的实质外,教学中还应在主体性、参与性、问题性、过程性、实践性、开放性和创新性等方面予以关注。     

浅谈等价转化思想在解题中的应用

数学思想方法是解题的行动指南,数学思想包括分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想,其中,转化思想是数学思想方法的灵魂．等价转化常常在解题时被广泛应用,在数学教学中,我们要不断渗透等价转化的思想方法,应用这种思想方法剖析和解答问题,有助于培养学生的逻辑思维能力,有助于训练学生的解题技能和技巧,有助于提高学生的学习兴趣．该文将从三个方面探讨等价转化思想在解题中的应用,意在倡导在数学教学中渗透数学思想方法,促进对数学思想方法的更深入的研究．     

数学课堂教学中情感移入的实践与探索

1 问题的提出 《数学课程标准》（以下简称《课标》）明确提出：“要关注学生数学学习水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心．”总体目标又指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都得到充分发展．”《课标》还在设计思路中提到情感与态度是数学课程总体目标的一个重要方面．     

巧妙构造“A^2＋B^2＋C^2=0”解题几例

众所周知，在实数范围内，有A^2＋B^2＋C^2=0＝＞A=B=C=（A，B，C代表任何数学式子）．有些特殊的数学题，初看起来无所适从，但我们若能仔细观察，巧妙构造出上式，便能将这些数学问题迎刃而解。     

一个数学问题的等价形式与反向

《数学通报》2005年8月问题1569号,在锐角△ABC中,试证: (cosB cosC)2 (cosC cosA)2 (cosA cosB)2≤3 ①该刊第9期刊书了解答,并指出①可等价变形为:     

实现命题等价转化的途径和方法

面对一个数学问题，如果我们感到难以入手，或者由条件难以直接得出问题的结论时，灵活而正确地实施命题等价转化，往往能给问题的解决带来勃勃生机．为此，本文介绍实施命题等价转化的三种途径和方法，供参考．１　局部等价转化有些问题，当对所求（或所证）的结论难以直接解答时，我们不妨将命题的局部进行等价转化，往往比较容易找到解题途径．例１　求（１＋２ｘ－３ｘ２）６展开式中ｘ５的系数．分析　底数是两项的展开式的通项我们了如指掌，而对底是三项的情况并不熟悉，我们可针对底的具体情况将其调整为二项，即先化为〔１＋（２ｘ…     

刍议建构数学概念意义的实践与探究——以“函数平均变化率”为例

数学概念教学应以培养学生用数学的意识为指导思想,它必须遵循弗赖登塔尔的四条原则．针对“如何寻找数学现实”,“如何遵循严谨性原则”、“如何进行数学化原则”和“如何实现再创造原则”等问题进行浅显的探究,期望从实践层面总结出一些实现对数学概念的意义建构的途径,从而切实提高学生的数学学习效率．     

集合关系与充要条件

数学思维活动中,探究命题的充要条件有极为重要的数学思维价值,这是因为充要条件与等价转化思想如同孪生兄弟,而等价转化思想的广泛应用可将待证（待解）的数学问题转化为与之等价的易证（已解）的问题．数学关系中的各种充要条件的应用,是实现这种转化的基本手段．     

相关题录

王瑞霖,马婷婷,张惠英．在多样化表征讨论交流中促进学生的数学理解．教育实践与研究,2012（5B）． 马乾凯,陈亮,雷添淇．论对向量的数性理解．中国数学教育：高中版,2012（3）． 潘颖艺．注重通性通法教学,凸显数学本质理解．福建中学数学,2012（2）． 杨家政．抓纲务本,促进数学理解一例谈2011年上海数学高考试题和启示．数学教学,2012（2）．     

初高中学生“过渡期”数学学习困难的成因及建议

在数学教学中我们都会发现一种很普遍的现象,有相当部分学生在进入高一年级学习的过程中,成绩出现一定程度的“滑坡”,尤其以数学成绩的下滑较为明显．本文就这个问题结合自身的教学实践,分析学生在初高中“过渡阶段”数学学习中的主要困难,并提出针对性建议,为数学教师开展数学学习衔接性辅导教育提供参考依据．     

通向“儿童数学”的途中——“儿童数学”的现象学意蕴

“儿童数学”的现象学意蕴是以现象学的态度——“回到事物本身”来研究数学,追求“数学思想”的敞亮和儿童“数学之思”的显发与弘扬。实践申。通过儿童“生命·实践”的教学化活动——儿童的生命实践活动体验、生命实践活动建构、生命实践活动创造、生命实践活动表达,达成“儿童数学”的现象学旨趣——“面向思的事情”!由此．现象学所带给“儿童数学”的绝不仅仅是某种特定的教育实践与研究方法（如悬置——对教学经验或理论的存而不论、数学的本质探原、返回儿童的生活世界、消解师生主客二分的本质直观等等）,而是一种“儿童数学”的现象学精神——回归儿童的“生命·实践”路向!     

数形结合：一个解题案例的再分析

重视解题案例（包括正例与错例）的分析，在分析中注重数学实质的揭示和认知过程的剖析，是当前解题研究的一个可喜动向．它反映了解题研究从单纯关注“这样解”（数学方面）到也关注“怎样解”（数学与教育双方面）的深化，反映了从时髦名词贴标签到理论与实践相结合的转向．在研究方法上，以案例为载体的反思，也构成了一个鲜明的特色．     

"做数学"之我见

“做数学”既包括动手操作和动手实践，也包括动脑思考和动脑“运算”，“数学实验”既包括外部的操作性实验（实体实验），也包括内部的思维性实验（思想实验）．在数学教学中，我们不仅要做数学，更要开展数学想象，需要注重“做”的数学意义，进行数学抽象．     

等差数列的等价形式

若数列{an}的前n项的和为Sn,则下列描述相互等价： （1）{an}是等差数列;（2）an=an＋b; （3）Sn=pn^2＋qn．