利用sinα＋Cosα与sinαcosα的关系解题

sinα＋cosα与sinαcosα常出现在各类三角问题中,解决这类问题的关键是灵活运用sinα＋cosα与sinαcosα的关系．基本关系：（sinα＋cosα）^2=1＋2sinαcosα基本作用：可用sinα＋cosα表示sinαcosα;可用sinαcosα表示sinα＋cosα．设sinα＋cosα=t,则s...     

"sin2α+cos2α=1"的神奇功效

同角三角函数的基本关系主要是指:平方关系:sin2α cos2α=1:商数关系:sinα/cosα=tanα.它反映了同一个角在不同三角函数间的联系,其精髓在"同角".下面就sinα2 cos2α=1概述其常见的运用.     

三角函数中sinα±cosα,sinαcosα的友好关系

在三角函数求值问题中,若已知sinα cosα,sinα-cosα,sinαcosα中的一个式子的值,可求出其余两个式子的值,继而可以解决有关问题,这是因为利用平方关系sin~2α cos~2α=1,可知(sinα±cosα)~2=1±     

“sin^2α＋cos^2α=1”的神奇功效

同角三角函数的基本关系主要是指：平方关系：sin^2α＋cos^2α=1：商数关系：sinα/cosα=tanα．它反映了同一个角在不同三角函数间的联系,其精髓在“同角”．下面就sinα^2＋cos^2α=1概述其常见的运用。     

妙用公式“sin~2α+cos~2α=1”

公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos…     

点击“sin~2α+cos~2α=1”的应用

同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

巧用“1”的代换证明三角恒等式

在三角变换中,对于同角三角函数习惯于把sin2α cos2α化简为1,下面举例说明之.【例1】　求证1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α=32分析:①易见要解决本题,只需“装腔作势”地把左边化简,且化简的结果为32②注意到左边分子、分母的次数分别为6次、4 次, 故对于分子中的“1”可代换成(sin2α cos2α)3,对于分母中的“1”代换成(sin2α cos2α)2;这样可使分子、分母都化成齐次,有利于问题的解决.证明:左边=(cos2α sin2α)3 -sin6α-cos6α(cos2α sin2α)2 -sin4α-cos4α=3(sin4α·cos2α sin2α·cos4α)2sin2α·cos2α=3sin2α·cos2…     

一个正切不等式及其应用

定理　已知0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,若α+β<π2 ,则tanαtanβ≤tan2 α+β2 ;(1)若α+β>π2 ,则tanαtanβ≥tan2 α+β2 . (2 )当且仅当α=β时,上述两式取等号.证明　tanαtanβ-tan2 α+β2=sinαsinβcosαcosβ- 1-cos(α+β)1+cos(α+β)=cos(α- β)cos(α+β) -cos(α+β)cosαcosβ[1+cos(α+β) ]=- cos(α+β) [1-cos(α- β) ]cosαcosβ[1+cos(α+β) ].∵0 <α<π2 ,0 <β<π2 .∴cosα>0 ,cosβ>0 ,1+cos(α+β) >0 ,1-cos(α- β)≥0 ,从而可知,当α+β<π2 时,tanαtanβ-tan2 α+β2 ≤0 ,即(1)成立;当α+β>π2 时,tan…     

利用sin2θ＋cos2θ=1证明具有条件a＋b=1的几个不等式

中学数学中一些不等式的证明常常有条件a＋b=1,这类不等式若利用sin2θ＋cos2θ=1来作替换,即令a=sin2θ＋,b=cos2θ＋,然后去证明就大大简化了证明的过程．下面给出几道例题,供大家参考．     

一道联盟杯竞赛题的解法、推广与背景

题目 已知角α为锐角,则函数y=1/sinα＋3√3/cosα的最小值为____.（第五届联盟杯） 1．多种解法 解法1 y=1/sinα＋3√3/cosα,求导,得y′=-cosα/sin^2α＋3√3sinα/cos^2α     

例谈三角变式的解题技巧

三角函数中的公式较多，应熟练掌握公式的正用、逆用及变形用，特别是变形公式在解题中的应用。如：S2α，C2α，Tα β的变形公式：cosα=sin2α/2sinα，sin^2α=1-cos2α/2，cos^2α=1 cos2α/2，tanα tanβ=tan(α β)（1-tanαtanβ）。     

是巧解，还是巧合

例1 若cosα＋2sinα=-√5,则tanα=____. 解 对cosα＋2sinα=-√5两边求导,得-sinα＋2cosα=0, 所以tanα=2．     

直线方程的几种形式

例1 已知直线L的倾斜角为α，且经过点（sinα，-cosα），求证直线L的方程．解，当α≠π/2时，由点斜式，y＋cosα=tanα（x-sinα）.     

利用sinα cosα与sinαcosα的关系解题

sinα cosα与 sinαcosα常出现于各类三角问题之中.解决这类问题的关键是灵活运用 sinα cosα与sinαcosα的关系,问题便可顺利获解.基本关系(sinα cosα)~2=1 2sinαcosα基本作用 1.可用 sinα cosα表示 sinαcosα;2.可用 sinαcosα表示sinα cosα;3.设 sinα cosα=t,则sinαcosα=(t~2-1)/2,将三角问题转化成代数问题.     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

一道习题的错解及反思

有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗?     

sinα＋cosα sinαcosα sinα－cosα之间的联系

三角函数中,sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα三者之间的联系极多,应用甚广,同时在高考中也屡屡出现.因此,在学习中要摸清其联系,掌握其规律,从而在“实战”中处于不败之地.     

借助Maple讨论y=x^αsin1/x（α∈R）的连续性戈

借助Maple软件,对yn=x^nsin1/x（n=0,1,2,3）进行了分类比较、讨论,给出它们在x=0处及附近的部分分析性质的证明;作出十分直观的示意图,消除以前只能凭空想象的缺陷;并对y=x^αsin1/x（α∈R）和y=x^αcos1/x（α∈R）作了推广、引申：结合实际问题进行了应用讨论．     

三角恒等变换的技巧及其应用

一、技巧1.变角例1：求证：sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ证明：∵2α＋β=α＋β＋α∴sin（2α＋β）-2cos（α＋β）sinα=sin[（α＋β）＋α]-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα-cos（α＋β）sinα=sin（α＋β-α）=sinβ∴sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ评析：＂角＂是三角函数的基本元素,研究三角恒等变换离不开＂角＂的变换.对单角、倍角、和角、差角等进行适当的变形转化,往往能起到化难为易、化繁为简的作用.（甘肃省通渭县第一中     

半角正切有理式的联用

在全日制普通高级中学教科书(试验修订本,必修)第一册(下)P46(练习)中,给出了半角正切公式有理式的两种等价形式:tan α/2=1-cosα/sinα=sinα/1+cosα=sinα/1+cosα,在三角函数求值、化简、证明的有关问题中,与半角正切公式的无理式相比,有极大的优越性.若将半角正切公式的有理式联用解题,更有其独到之处.下面举例说明.