第19届(1993)全俄数学奥林匹克试题与解答

9年级(最后一轮第一天) 对第二种操作,有 1.设自然数二使2,+1及3n+l都是平方数,间5二+3是否能为质数. 解设Zn+1=几2.3,+1=,:(泛,,〔N),则sn+3=4(加+1)一(3n+1)二4泛.一.盆~(幼+琳)(2汤一邢)是合数,选是由于2泛一,笋1,事实上,若2盛一,=1,即2盛二。+1,从而5,+3=2。+1,于是(,一1).=.一(2爪+1)+2二(3月+1)一(5月十3)十2=一2”<0,这就导致矛盾. 2.设两条单位长的线段AB和C刀相文于点O,且匕月OC二60’.求证:AC+BD》1. .,、。,,l‘二一二少,J’于二万, 证如图l作CBI//月B,且CB,=AB,则四边形ABBIC是平行四边形.从而月C二BB、,由△BB,D,…     

第19届(1993)全俄数学奥林匹克试题与解答

（最后一轮第一天）见我刊1993年第5期。     

第十四届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

八年级1.在正八边形的顶点上,是否可以记上数1,2,…,8,使得任意三个相邻的顶点上的数之和为:(1)大于11,(2)大于13?解(1)可以的.图1就是满足条件的一个例子。     

第15届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

第15届全俄中学生数学竞赛第三轮比赛于1989年2月举行.分八、九、十三个年级命题,每年级八个问题,其中标有*号的题目可以使用计算器.     

1987年全俄奥林匹克数学竞赛试题及解答(部分)

今年的全俄奥林匹克数学竞赛同往年有所不同,新增加了应用部分内容。竞赛分为两个阶段:一是进行实际操作训练的应用部分,一是和往年一样的理论部分。获奖名次主要根据理论部分的成绩来决定。理论部分八、九、十年级分别进行,而应用部分只为九、     

第12届全俄数学奥林匹克第三阶段试题及解答

八年级 1.三角形的边长不等且构成等差数列.证明:这个三角形有两个角小于600. 2.如图2,图形」BCDEF由四段圆弧组成。AB是以D为中心、半径为2,的圆弧,.洲户.、、~BCD是以DB二2,为直径的半圆,DE是以B 尸声.、为中心、半径为2二的圆弧,EFA是以K为中心的圆弧,其中K是线段AD和EB的交点,乙ADB=乙EBD二45”.求以ABCDEF为界的图形的面积. 3.求以数。=令万+粼丁为根的整系数多项式. 4.无穷方格纸片的每个方格都染上。种颜色之一(:)2)。证明能找出同样颜色的四个方格,其中心分别是某矩形的顶点,此矩形的边平行于方格纸的格线.>鲁,而刀…     

第十九届全俄中学生数学奥林匹克试题和解答

九年级1．将多项式X~4一7x~2＋1表示为两个次数不低于1的整系数多项式的乘积．（5分）2．五卷百科全书按照卷号递增的次序（从第1卷到第5卷）安放．要将这五卷书按相反的次序安放（即从第5卷到第1卷），如果每一次只交换相邻两本书的位置，问至少应调换多少次才能达到目的？（6分）答案：10次．先将第1卷依次与第2、3、4、5卷交换次序，再将第2卷依次与第3、4、5卷交换次序，再将第3卷依次与第4、5卷交换次序，最后调换4、5两卷的次序．经过这样10次调换后即符合要求．再证明至少要10次交换才能达到要求：事实上，在将初始位置改变到最后结…     

1988年全俄第三阶段中学生数学奥林匹克竞赛试题解答

八年级 1.将数1,2,…,8放置在正八边形的各个顶点上,是否可以使得放在任意三个连续顶点上的数之和:a)大于11;δ)大于13。解:a)可以。例如:按图1放置, δ)不可以,用反证法,假设有这样的方法:将数1,2,…,8放在正八边形的各顶点上,使得放在任意三个连续顶点上的数之和大于13,也就是不小于14。用a_1,a_2,…,a_8来记边形各个顶点上的数,(图2)它们的和用s表示,按假设,下列不等式成立。 a_1 a_2 a_3≥14; a_2 a_3 a_4≥14; a_3 a_4 a_5≥14; a_6 a_7 a_8≥14;     

第22届全苏中学生数学奥林匹克试题及解答

第一天 I、年级 i。一本书由30篇小说组成,各篇分别有1,2,…,30页.小说从第一页开始刊载,每一篇小说都从新的一页开始.问:以奇数页开头的小说最多可以有多少篇? 答:23。 2。设ABcD是凸四边形.考虑两个凸四边形F:和FZ,其中每个四边形的两个对角顶点为ABcD对角线的中点,而另两个顶点分别为ABCD一组对边的中点.已知四边形F:与FZ的面积相等。试证:四边形ABCD的一条对角线平分其面积. 3.设x,;,‘为三个不同的自然数,而且它们中的任意两数的乘积能被第三个数整除.试证:方程x一百 z=1有无穷多组解。 证将所求的解表示为x=。,,;=:k,‘=mk的…     

第十二届全俄数学奥林匹克决赛试题(十年级)

一、已知M点在圆内,证明在M处相交且相互垂直的两弦长的平方和为常数。解设O为圆心,R为其半径,AB与CD为相互垂直的两弦。它们的中点分别是K与L(图1)。如果M与O重合,所证显然成立。     

第十八届(1984年)全苏中学数学奥林匹克试题及部分解答

八年级 1.(1)如果存在n个整数,其积为n且其和为零,那么数n能被4整除。 (2)如果自然数n能被4整除,试证必存在n个整数它们的乘积为n,而和为零。 2.证明:对任意的非负数a和b,下述不等式成立 1/2(a+b)~2+1/4(a+b)≥ab~(1/2)+ba~(1/2)。 3.平面上有二个等边三角形A_1A_2A_3和B_1B_2B_3,A_1→A_2→A_3与B_1→B_2→B_3为顺时针方向。     

第26届全俄中学生数学奥林匹克初中试题

这里提供的试题译自俄罗斯《数学教学》杂志2000年第5期.题目新颖,富于思考性.你不妨自己先解答,确有困难时,再阅读提供的参考答案.     

1992中国数学奥林匹克(CMO)试题及解答

1992中国数学奥林匹克(第七届全国中学生数学冬令营)于1992.1.11～1.15在北京举行.香港张百康先生、台湾孙文先先生参加了本届冬令营活动.16个省、市组队参加了本届冬令营的“陈省身杯”团体比赛.经过两天比赛,湖南、四川、北京、黑龙江、广东、江苏荣获团体前六名.上海建平中学张健、安徽安庆一中何斯迈、天津耀华中学唐宁等21名营员入选中国数学奥林匹克国家集训队.     

第20届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对于满足匕A=2艺B,匕C是钝角,三边长a,b,。是整数的△月BC,求周长的最小值并给出证明. 2.对任何非空数集S,令a(S)和二(S)分别表示S中所有元素的和与乘积.求证: ~口(S)_/_,,,_、2.,1,1 、,二粤笔李=l称2+2件l一tl+今+李 ‘曰兀(S)、一/、一23a_b+e乙a+…十令)(·+,),其中“兄”表示对{1,2,…,,}的所有非空子集求和. 5.对于任意固定的整数n)1,求证数列 2 2,22,22,…(modn)自某项后是常数.4.设a==mm+1+”n+1爪m+n其中二,”是正整数.求证: am+a”)mm+n”. 5.设D是已给△ABC的边AB上的动点,E点在该三角形的内部且是△ACD和△BCD内切…     

第28届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题解答

(试题见上期)必1.十一XZ卜·’+‘x。{毛侧几.1.解乙p。(无)=nl,a IXI十aZXZ十‘”十a”劣朴惫=O劣2}十…+.x:’)P。(论)=C井·P,_*(o) 儿l无!(n一k)!P。_、(0), 石(无一1川:,}+ 镇(无一l)了”. 把区间〔o,(忍一1)份,每一小区间之长为杯介〕等分成沦’‘一1等 (无一1)了几 无”一1仙兄无尸。(无)。=0习k.丽而二丽了尸一,(o)刀!自=1 由于a‘二0,1,…,无一1“=1,所以一共有犷一l个数 口1劣1+口2劣么+二’+口。x.。根据抽屉原则,总有两个数 ”一1 云 七一1=----兰-----一,下一~(。一卫灭而一1)!(。一k)!Uaf:,一卜a茵二:十…+a二劣。一P(…     

第18届美国数学奥林匹克试题及解答

1.对每个正整数n,令试求整数0相似文献   

第4届(1989)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

1.边长为3/2,5~(1/2)/2,2~(1/2)的三角形纸片沿垂直于长度为3/2的边的方向折叠。问重叠部分面积的最大值是多少? 解一不妨设△ABC中a=3/2,b=2~(1/2),c=5~(1/2)/2。如图,设BC中点为D,AE⊥BC,且沿MN折叠时重叠部分面积取到最大值。则易知,     

第24届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级 1.设t为任意实数,求证不等式t~4-t 1/2>0. 2.已知在凸四边形中,过一组对边的两个中点的直线与四边形的两条对角线成等角,求证两条对角线相等.     

第25届全苏数学奥林匹克试题及解答

九年级1.求方程组{x之一Zyt=3,xt+y之=1的整数解. 2.黑板上写有:个实数.允许从中擦去任何两个数,例如a和b,而代以另写的一个数宁(。十“).这科r手续共进行”一‘次,最后黑板上只剩下一个数.证明:如果一开始黑板上写有:个1,那么,在所有手续进行完毕后,黑板上所乘。的那个数不“、于专. 3.在平面上有4条直线,其中任何两条均相交,但任何3条均不共点.于是在每条直线上都交得3个交点,它们从直线上截出两条线段,这样共得到8条线段.试问,这8条线段的长度能否分别等于: (a)1,2,3,4,5,石,7,8? (b)互不相同均自然数? 4.彩票上有依次排列着的50个空格,…     

第26届国际数学奥林匹克试题及解答

第26届国际数学奥林匹克比赛于1985年7月3日至5日,在芬兰首都赫尔辛基市举行.我国中学生代表吴思皓(上海向明中学高二学生)和王锋(北京大学附中高三学生)由中国科协王寿仁、中国数学会裘宗沪两同志率领下,首次远征参加国际中学生数学竞赛.这次竞赛的笔试分二场完成,满分为42分.我国选手吴思皓以17分成绩获得三等奖.《科学画报》1985年第12期和1986年第1期分别刊登了这两场笔试的试题,并请吴思皓同学作了解答,现转载如下.