说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

用导数求解曲线的切线问题

函数切线问题是高考热点之一,导数与函数的切线有缘,因为f’（x₀）的几何意义是曲线y=f（x）在点（x₀,f（x₀））处的切线斜率。因此,利用导数求解函数问题,是新课标高考重点考查内容。在这类问题中,导数所肩负的任务是求切线的斜率,考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法,真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。下面举例说明。一、求曲线的切线方程例1（2012年广东卷·理12）曲线y=x³-x+3在点（1,3）处的切线方程为_<sub><sub><sub>。     

导数一直线和曲线相切问题的基本策略

近年来,与导数有关的直线和曲线相切问题一直是高考命题的热点和难点.无论题目千变万化,处理这一问题的关键是理解y=f（χ）在点χ处的导数f’（χ₀）的几何意义是曲线y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的斜率.求函数y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的一般步骤是:①求出函数y=f（χ）在点χ₀处的导数f’（χ₀）,即y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））处的切线的斜率.②由点斜式写出切线方程y-f（χ₀）=f’（χ₀）（χ-χ₀）,但要注意函数的导数不存在处的切线是与χ轴垂直的直线.例1已知函数f（χ）=χ³+bχ²+cχ+d的图象过点P（0,2）,且在点M（-1,f（-1））处的切线方程为6χ-y+7=0,求函数y=f（χ）的解析式.     

对形如f(x)=plnx+mx~2+nx+c(p,m,n,c∈R)一类题型的初探——2011辽宁高考理科卷第21题的多种证法及推广

考题再现:（2009辽宁）已知函数f（x）=1/2x²-ax+（a-1）ln x,a>1.问题（略）;（2010辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1.问题（略）;（2011辽宁）已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x.（1）（2）略;（3）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x₀,证明:     

二次函数交点式的应用

如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点A（x₁,0）、B（x₂,0）,那么二次函数的解析式可写成y=a（x-x₁）（x- x₂）的形式,其中a是待定系数,这就是二次函数的交点式（或零点式）.下面举例说明这个形式在解题中的应用.     

例谈知识点交汇问题的解题策略

一、与向量、方程、函数知识点的交汇例1,若抛物线C:y²=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,l的斜率为1,求OA,OB的夹角.解:∵F（1,0）,l的斜率K_l=1,∴l的方程为:y=x-1.设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,l与C相交将l:y=x-1代入C:y²=4x中得:x²-6x+1=0,x₁,x₂为其两根,则x₁+x₂=6,x₁·x₂=1,     

注重数学“四基”的协同发展教学——评析2013南通市中考数学卷第28题

本文就2013年南通市中考数学卷第28题进行评价,谈谈"四基"的协同教学问题.如图1,直线（b>0）与抛物线y=kx+b（b>0）与抛物线y=x²/8_相交于A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS     

不等式的恒成立、有解、无解

题目（见2010年山东卷（理）22题）已知函数f（x）=1nx-ax+（1-a）/x-1,g（x）=x²-2bx+4,当a=1/4时,若对任意x₁∈（0,2）,存在x₂∈[1,2],使f（x₁）≥g（x₂）,求实数b的取值范围.     

利用二分法求方程的近似解

知识点一:两个重要结论结论1:如果二次函数f（x）=ax²+bx+c在闭区间[m,n]上满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上有唯一解,即存在x₁∈（m,n）,使得f（x₁）=0,方程f（x）=0的另一解x₂∈（-∞,m）∪（n,+∞）。结论2:如果函数f（x）在区间[m,n]上的图像是连续不断的一条曲线,且满足f（m）f（n）<0,那么方程f（x）=0在开区间（m,n）上至少有一个解。注意点:结论1适用于二次函数,结论2适用于一般函数。     

2014年高考数学必做解答题——导数及其应用

第1点导数与函数（）必做1已知函数f（x）=eax·（a/x+a+a）,其中a≥-1.（1）求f（x）的单调递减区间;（2）若存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,求a的取值范围.牛刀小试破解思路第（1）问求出导数后,分a=-1,-10求出单调递减区间.第（2）问注意理解条件是存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,可以直接论证或者构造反例求解.     

一道中考试题的分析与启示

题目:如图直线y=kx+b与x轴交于D点,与y轴交于C点,连结CD,△COD的面积为S,且ks+32=0.抛物线y=x²/8与直线y=kx+b交于A（x₁,y₁）、B（x₂、y₂）两点,连接AO、BO.（1）求b的值;（2）求证:点（y₁,y₂）在反比例函数y=64/x上;（3）求证:x₁·BO+y₂·AO=0.一、试题的质量分析1.这是一道比较好的试题,它把知识的基础性与运用的灵活性很好好的融合在一起.第（1）问求字母b的值,用常规的方法设横坐标为0,求出C的坐标（0,b）;设纵坐标为0,求出D的坐标（-b/k,0）,通过面积S_△COD=DO·CO/2=-b²/2k,再代入ks+32=0中就能求出b=8.这比较基础,绝大部分学生都能把基本分拿到手.第（2）问中验证一个点在已知函数的图象上,这个     

分题型精选的创新题

一、选择题1.已知集合M={（x,y）|y=f（x）},若对于任意的（x₁,y₁）∈M,存在（x₂,y₂）∈M,使得x₁x₂+y₁y₂=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={（x,y）|y=1/x};②M={（x,y）|y=sin x+1};③M={（x,y）|y=log₂x};④M={（x,y）|y=e^x-2}.其中是“垂直对点集”的序号是A.①②B.②③C.①④D.②④2.对于任意的x,|x|表示不超过x的最大整数,如[1.1]=1,[-2.1]=-3.定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x],若A={y|y=f（x）,0≤x≤1),则A中所有元素的和为     

二次函数表达式的第三种形式——对称点式

二次函数的定义给出了二次函数的表达式——一般式:y=ax²+bx+c（a≠0）,用配方法可以将一般式化成另一种形式——顶点式:y=a（x一h）²十k（a≠0）,我们正是用顶点式详细地研究了二次函数的图象和性质.如果二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（x₁,m）     

多条妙计智取解几压轴题

题目已知曲线C_n:x²-2nx+y²=0（n=1,2,…）.从点P（-1,0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n,切点为P_n（x_n,y_n）.（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式;（2）证明:x₁·x₃·x₅·…·x_2n-1<（（1-x_n）/（1+x_n））^1/2<2^1/2sinx_n/y_n.     

一道高考压轴题的解法赏析

<正>2012全国卷理科第22题已知函数f（x）=x²-2x-3,定义数列{xn}如下:x₁=2,x_n+1是过两点P（4,5）,Q_n（x_n,f（x_n））的直线PQ_n与x轴的交点的横坐标.（1）证明:2≤x_nn+1<3;（2）求数列{x_n}的通项公式.     

“解答题”检测题

1.设函数f（x）=cos x/4（sin x/4+cos x/4）-1/2。（1）求函数y=f（x）取最值时x的取值集合;（2）在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f（A）的取值范围。2.已知函数f（x）=ax+b（1+x²）^1/2（x≥0）的图像经过（0,1）,且f(3^1/2)=2-3^1/2。（1）求f（x）的值域;     

一个公式的证明及其应用

设二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点为A和B,其横坐标分别是方程ax²+bx+c=0的两个根x₁,x₂,则A、B两点间的距离为:|AB|=（?）/|a|下面用两种方法证明公式     

一道双变量“存在性或任意性”问题的深层次探究

<正>问题已知函数f(x)=x+4/x,g(x)=2x+a．若?x₁∈[1/2,1]，?x₂∈[2,3]，使f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1/2,]1时，f’(x)=1-4/x²<0,f(x)单调减，可得f(x)在[1/2,1]的最小值f(x)_min=f(1)=5．又g(x)=2^x+a单调增，故g(x)在[2,3]的最大值g(x)_max=g(3)=8+a．     

一个结论的妙用

如图1,点A（x₁,m）、B（x₂,m）是抛物线y=ax²+bx+c上的两个不同的点,则其对称轴为x=x₁+x₂/2.这个一个显而易见的结论,但却非常有用.由于课本和一般教辅资料中都没有对其进行研究,所以不为同学们所注意,因此在遇到可以应用这个结论来简便解决问题时,不能灵活应用.为此,下面通过典型例题的分析来说明这个结论的妙用.例1（2011年山东省济宁市中考题）已知二次函数y=ax²+bx+c中,其函数y与自变量x之间的部分对应     

变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等