关于一个二元根式不等式的再讨论

文〔l]证明了如下不等式:若非负实数二,y满足二 y=1,又)1 (4)、(5)显然成立,下面设二,y均不为零,则。::厂二丁厂下2只叼石万十丫天不万‘又厅而…气”最近文〔2」给出了(l)式左边的一个下界,得到:若非负实数x,y满足x y=1,入二1溅尽不 、厂不…,告(2) Y八 yv入 x丫几一     

一类根式和下界不等式的又一种证法

文[1]证明了根式和下界不等式.文[2]也就此类不等式的证法作了研究,并给出了一种证法.本文就此类不等式的证明再给一种证法,首先给出下面不等式:     

一类根式双连不等式的统一证法

我们不难列举或编拟出下列一批既有趣 ,又令人有点望而生畏的无理不等式 :2≥ a 12 b 12 >2 62 .(1)(其中 a,b∈R ,a b=1)4 2≥ 5 x 3 5 y 3>3 13. (2 )(其中 x,y∈ R ,x y=2 )2 1≥ 4a 1 4 b 1 4 c 1>2 5 . (3)(其中 a,b,c∈ R ,a b c=1)4 2≥ 4a 1 4 b 1 4 c 1 4 d 1>3 5 . (4 )(其中 a,b,c,d∈R ,a b c d=1)33≥ 3a 1 3b 1 3c 1>2 7. (5 )(其中 a,b,c∈ R ,a b c=2 )4 3≥ tan A2 tan B2 5 tan B2 tan C2 5 tan C2 tan A2 5 >6 2 5 . (6 )(其中 A,B,C为△ ABC的三个内角 )6≥ 3 3a 7 3 3b 7 3 3c 7>2 3 7 3 10 . (7)(其…     

一类不等式及其证明

文 [1 ]有如下两个不等式 :已知a、b∈R ,a b =1 .则43≤ 1a 1 1b 1 <32 ,①32 <1a2 1 1b2 1 ≤85.②经研究 ,笔者发现式②可推广为命题 1　若a、b∈R ,a b =1 ,n∈N ,n≥2 ,则32 <1an 1 1bn 1 ≤ 2 n 12 n 1 .③证明 :先证明式③左边的不等式 .当n =2时 ,     

一个根式不等式的新证明

《数学通讯》2011年第8期文[1]给出了如下的代数不等式:命题令x i>0,i=1,2,…,n且x 1+x 2+…+x n=1,则有1 x 1+x 22+1 x 2+x 23+…+1 x n+x 21≥n n+1 n 2.笔者利用数学归纳法给出了上述不等式的一个新证明.     

一个根式不等式的推广

1999年8月,在江苏省苏州市召开的首届全国不等式研究学术会议上,中国科学院成都计算机应用研究所杨路教授应用他研发的Bottema软件给出以下不等式的一个“机器证明”. 若x,y,z∈R ,则 文[1]中,宋庆先生运用放缩法证明了不等式(1).本文将(1)式作如下推广. 定理设 ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,λ≥0,s=a1 a2 … an,则     

一类有关和的不等式的统一证明及推广

关于和的不等式在各类数学竞赛中频频出现，拜读了余红兵教授《关于和的不等式》一后受益匪浅．但对于中所说“在证明∑ai〈0时．可采用下面策略：对i=1,2,…，n．将每个单项ai放大至适当的bi，使得b1,…，bn的和b1＋…＋bn易于处理．且结果为0或不大于0，这一原则将“单项”与“整体”相结合，应用最为广泛．但怎样放大ai却并无简单的规则．得视具体问题而定．”对这一观点笔有不同的意见，经研究发现许多和的不等式按这种思路还是有统一的规则，能自然而简捷地解决，为此我们先证明如下定理．     

不等式的证明方法

高等数学能提供大量的不等式和等式，利用它来证明初等不等式，可使证明过程更简便．     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…     

用二项式定理证明不等式

二项式定理(a+b)n＝C0nan+C1nan-1b+…+Cnnbn,由于结构比较复杂,多年来在竞赛中未能充分展现应有的知识;而有些不等式,通过观察、分析题目的特点,构造二项式模型,经过放缩等手段便可使问题迅速求解.     

证明分式不等式的变形技巧

在证明分式不等式的过程中，无论使用什么方法，都是以一定的变形为基础，通过变形，沟通待证不等式与已知不等式之间的联系，从而使问题获得解决，从这个意义上说，变形成为证明分式不等式的关键．鉴于此，本文归纳出证明分式不等式的若干变形技巧，供同行参考．     

构造函数证明一类不等式

本给出了构造函数证明不等式的三种常用方法：1.利用二次函数f(x)=ax2 bx c的性质；2.利用函数的单调性；3.利用函数的凸凹性。     

一类不等式的证明

近年来,在一些竞赛和自主招生考试的试题中,经常可以看到含有min{x,y,…}或max{x,y,…}的不等式。这类问题综合性强,解法灵活多样,不少学生感到无从下手。本文举例说明这类不等式的证明策略,供读者参考。     

二项式定理和不等式的证明

利用二项式定理证明不等式,是二项式定理的一个重要应用．     

证明不等式的常用方法

美国著名数学家贝肯巴赫说：“数学是一门创造性艺术．数学的基本结果往往是不等式,而不是等式”．纵观近年来各地的初中数学试卷,不等式的问题屡见不鲜,其中以不等式的证明题型最为普遍．本文就这类问题常用的几种证明方法作一些归纳总结,供大家参考．     

构造函数证明一类不等式

本文给出了构造函数证明不等式的三种常用方法： １．利用 一次函数 ｆ（ｘ）＝ ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ的性质； ２．利用函数的单调性；３．利用函数的凸凹性。     

再谈一个不等式的改进及证明

文[1]给出了定理及其证明：[第一段]     

一类无理不等式的证明

若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明　根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1　已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a …     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…