cosθ=cosθ_1·cosθ_2的应用

现行《立体几何》课本第116页的总复习参考题第3题是这样叙述的:如图,AB和平面α所成的角是0_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角0_2,设∠BAC=0,求证:     

一道高考题解题思路的探究及应用

这是2004年高考数学湖北卷第11题:已知平面α和平面β所成的二面角为80°,P 为α,β外一定点,过 P的一条直线与α,β所成角都是30°,则这样的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条分析此题是由1993年全国高考理科数学卷第18题演变而来的:已知异面直线 a 与 b 所成的角为50°,     

一道课本习题的应用及其拓展研究

北师大版高中数学必修5(2007年5月第3版,2009年7月第3次印刷)第2章“解三角形”,其中的第2节“三角形中的几何计算”的习题2-2B组题第1题,题目如下: 如图1,有3点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC=α,∠BPC=β,求证 sin(α+β)/PC=siα/PB+sinβ/PA.     

用课本结论简解九道高考题或竞赛题

一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)=     

一道例题错解了

贵刊90年第3期,在《在三角教学中怎样组织单元练习》一文中,第15页末有一道例题做错了,原题和解答过程是这样的: 化简:sin~2(α-30°)+sin~2(α+60°)-sin~2α     

浅议一道高考立体几何试题的“源”与“流”

2004年高考湖北卷第11题(以下简称04年试题):已知平面α与β所成的二面角为80°,P为α、β外一定点,过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有:(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条1源此题很容易让人联想到1993年全国高考理科数学第18题(以下简称93年试题):已知异面     

对85年上海市高考数学第九题的分析

一九八五年上海市普通高等学校招生考试数学试题(理工农医类)第九题,题目是:在三棱锥P-ABC中,顶点P到BC,AC,AB的距离分别为h_1,h_2,h_3,二面角P-BC-A=α_1,P-AC-B=α_2,P-AB-C=α_3。α_1,α_2,α_3都是锐角,且依次成等差数列,h_1,h_2,h_3依次成等比数列。求证:α_1=α_2=α_3。此题初看是一个立体几何题目,但进一步分析,它却是涉及代数,三角,立体几何三方面知识的较复杂的综合题。解答这个题目,要用到立体几何中的二面角的平面角概念和三垂线定理(或逆定理),代数中的等差中项和等比中项,及三角中的直角三角形中边角关系和三角     

谈谈课本上的两个公式

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学·第一册(下)》(2006年人民教育出版社) (下简称教科书)第45页第7题的(3),(4)小题是两个有用的公式: (3)cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β; (4)sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β. 其中的结论(4)就是正弦平方差公式.     

巧用三角函数证明几何题

平面几何的证明一般都是根据几何公理、定理进行逻辑推理论证 ,似乎与所学的锐角三角函数没有关系。事实上 ,借助于锐角三角函数证明几何题 ,则出奇制胜 ,巧妙之处 ,令人拍手叫绝。现举例如下 :一、求证线段及线段的乘方间的关系图 1例 1.已知 :如图 1,∠BAC=90°,AD⊥ BC,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为 D、E、F,求证 :AB3AC3=BECF(教材第二册 5.4 B组第 3题 )证明 :设∠ C =α,则∠ BDE=∠DAE=α在 Rt△ABC中 ,tgα=ABAC,∴ AB3AC3=tg3α;在 Rt△ BED中 ,BE=DEtgα;在 Rt△ CFD中 ,FC=DFctgα;在 Rt△ AED中 ,tgα…     

例说坐标思想解三角题

坐标思想是一种通过坐标系实现数、形结合,并相互转化使问题获解的思想方法.它富有活力,应用广泛。本文就坐标思想解三角题作一例说. 先看高考理科数学试题90年第22题:已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3.求tg(α+β)的值     

一道课本习题的多种证法及其变形

高中数学(人教版)第一册(下)第47页有这样一个题: 求证:1+2sinαcosα/cos2α-sin2α=1+tanα/1-tanα分析:这是一道三角恒等的证明问题,解决这类问题的一般策略是     

每期一题

题:设锐角α和β满足等式 sin~2α+sin~2β=sin(α+β), 试证明α+β=1/2π。本题是第十七届苏联数学奥林匹克十年级第1题。引导学生深入探索其题设与题断间的内在联系,寻求它的种种不同的证明途径,无疑将有益于学生分析、判断、推理诸能力的增强。下面介绍该题的四种证法。证法一(分析法)将已知等式改写为sin α(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) 因为 sinα>0,sinβ>0,所以只能有     

一道有争议的1990年上海市高中数学会考题

1990年上海市普通高级中学会考试题数学第一大题的第8小题是一道有争议的题目,原题是这样的,“顶点在原点,终边在x轴的负半轴上的角α的一般形式是____。”原题给出了角α的顶点及终边,但是没有给出角α的始边,标准答案是:α=π+2kπ,k∈Z。这个答案是可以商榷的。     

对高中教材一个传统命题及证明的商榷

文[1]第46页总复习参考题第7题和文[2]第88页复习参考题七B第3题是:     

一道俄罗斯数学竞赛题的复数证法

第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第四阶段)十一年级第5题:已知角α,β,γ满足不等式sinα sinβ sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2).文[1]另辟蹊径,提供了一种简明直观的几何证法,并进一步推广得如下的:定理 设m∈R~ ,n∈N,n≥2,m≤n,角α_1,α_2,α_3,…,α_n满足不等式sinα_1 sinα_2 … sinα_n≥m,-(n~2-m~2)/(1/2)≤     

一则“希望杯”培训题的推广(高一、高二、高三)

第13届“希望杯”全国数学邀请赛高中一年级培训题第56题综合了考查函数、反函数、方程等知识,并且可以应用数形结合思想。是一道很有思维空间的好题,试题如下:题已知函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),方程f(x)+x-2002=0有唯一实根α,方程f-1(x)+x-2002=0有唯一实根β,则α+β=___.解 (数形结合法)     

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2007年高考全国卷（I）第]5题是：等比数列（αn）的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3 成等差数列，则（αn）的公比为_____[第一段]     

追根溯源活高考

以下是09高考数学全国卷Ⅰ第10题： 已知二面角α—l-β为60°,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为√3,Q到α的距离为2√3,则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）     

一道课本习题及其应用

初中代数第四册p156第3题:如图1,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处,测得烟囱的仰角分别是α和β,CD间的距离是a米,求烟囱的高,(删去具体数值)     

例谈三角变换的途径

<正> 高一(下)新教材第4.7节习题中有这样一道题: 求证:tan(α+π/4)+tan(α-π/4)=2tan2α. 这道题有多种解法.本文拟通过其中的一些有代表性的证法谈谈三角变换中常见的变换途径. 途径1 切化弦.