P^i（P≥3）元域上的方程∑（—1）^ia^ix^n—1—i=0宗明

F是一个p^k(p≥3）元域,n是一个正整数。x^n-1-ax^n-2 … (-1)^n-1a^n-1=0(a≠0）是F上的方程。本给出该方程在F中有根或没有根的条件。当该方程有限时,则给出根的个数。     

pk元域上的方程∑aixn-1-i=0与∑(-a)ixn-1-i=0

F是一个pk元域,n是一个正整数.xn-1+axn-2+...+an-2x+an-1=0(a≠0)与xn-1axn-2+...+(-a)n-2x+(-a)n-1=0(a≠0)是F上的方程.本文完整地给出这些方程在F中的根的状况:(n,pk-1)-1个单根,(n,pk-1)组互不相同的重根,没有根.同时,给出根的求法及例子.     

P~k(P≥3)元域上的方程∑(-1)~ia~ix~(n-1-i)=0

F是一个pk（p≥3）元域,n是一个正整数。xn-1－axn-2＋…＋（－1）n-1an-1＝0（a≠0）是F上的方程。本文给出该方程在F中有根或没有根的条件。当该方程有根时,则给出根的个数。     

超越方程a~x=x~α根的个数

1问题研究关于x的方程ax=xα(a>0且a≠1,α≠0,x>0)根的个数.为了研究方便,这里我们仅考虑x>0时的情况.下面给出两个处理方案:方案1转化为研究指数函数y=ax与幂函数y=xα(x>0)图象的交点个数.     

a b c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,常常隐含着a+b+c=0,此时方程的根究竟有什么特征呢?下面我们来研究这个问题。首先,为了能更清楚地看到方程与系数的关系,我们可以先由a+b+c=0,得b=-(a+c),代入方程消去b,得ax2-(a+c)x+c=0,ax(x-1)-c(x-1)=0,(x-1)(ax-c)=0,哈,原来方程的两根为x1=1,x2=ca。由此,我们得到如下一个结论:当a+b+c=0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根为1,另一根为ca。运用这个简单的结论解决一些相关的问题十分简洁。请看:例1解方程:穴3姨-2雪x2+穴1-3姨-2姨雪x+2姨+1=0分析:直接用解一元二次方程的方法求解显然很…     

“△=b^2-4ac”的别用

我们知道，△=b^2-4ac是一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0)的根的判别式，根据△的大小可以判别方程根的个数．事实上，“△”还有其它特殊的用途，试举几例加以说明．     

超越方程log_ax bx c=0的解法探讨

对数函数在理论上的重要性及应用的广泛性，早已有所肯定．在应用中提出了这样一类问题：求曲线y=loga~x与直线y=kx b的交点，即需解方程组于是问题归结为解形如logax bx c=0的超越方程．迄今为止，超越方程log_a~x bx c=0（b≠0）还没有一般解法，本文将讨论这类方程的初等解法及其根的个数判别式．一、定理定理设a、b、c、x都是实数，且x＞0，a＞0，a≠1，b≠0，则超越方程有根x＝a~a（a∈R）的充要条件是证必要性从略．充分性：从（2）式成立→（1）式有根a~a．反证法：假定x＝a~a不是（1）式的根，a~a不满足（1）式，有a ba~a c≠0即a~…     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

asinα+bcosα的一个性质及应用

性质　若 sinα与 cosα的一次齐次式asinα+ bcosα满足 asinα1 + bcosα1 =asinα2+ bcosα2 =0 (α1 ≠ kπ+α2 ,k∈ Z) ,则 asinα+bcosα恒等于零 .证明　由条件 asinα1 + bcosα1 =0 ,asinα2 + bcosα2 =0 ,∵α1 -α2 ≠ kπ( k∈ Z) ,∴ sinα1 cosα2 - cosα1 sinα2 =sin( α1 - α2 )≠ 0 ,∴上述关于 a,b的齐次线性方程组只有零解 a=b=0 ,∴ asinα+bcosα恒等于零 .利用上述性质 ,可以使一类三角函数式的求值、化简、证明问题 ,获得简明的解法 ,下面略举几例 ,以示说明 .例 1　求证 :sin( 5π6 - φ) + sin( 5π6 + φ) …     

点击“sin~2α+cos~2α=1”的应用

同角三角函数关系式“sin~2α cos~2α=1”在三角恒等变形中具有广泛的应用．本文作一介绍,供大家参考．一、正用例1已知tanα=m≠0,求sinα．解:由sin~2α cos~2α=1,sinα/cosα=tanα,可得tan~2α=sin~2α/cos~2α=1-cos~2α/cos~2α= 1/cos~2α-1,所以cos~2α=1/1 m~2,可得cosα=±1/(?)~(1/2)．又m≠0,知α终边     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

一个与无穷小量有关的命题

若有无穷小量序列 {αn},(其中αn≠ 0 (n=1 ,2 ,3 ,… ) ) ,且有当 n→ +∞时αn+ 1 /αn→ c　 (0 相似文献   

级数∑n=1^∞α（α—1）…（α—n＋1）／n!x^n在x=±1敛散性的讨论

函数f(x)=(1+x)α在(-1,1)上可以展开为马克劳林级数,即(1+x)α=1+αx+α(α-1)/2! x2…+α(α-1)…(α-n+1)/n! xα+…(-1相似文献   

k1x^2＋k2x-1=0型一元二次方程根的位置与系数关系

一元二次方程是初中阶段最常见重要的方程类型，讨论其根的位置与系数的关系是中考、竞赛中最难的题目类型之一．这里巧妙地应用判别式和韦达定理将k1x^2＋k2x-1=0（k1≠0）型的常见位置关系分述如下，读者可用求根公式验证，希望对读者有所启发．     

一道数学竞赛题推广定理的另证

1986年的全国高中数学联赛二试题1的一个推广,得到如下定理：已知实数列a0,a1,a2,…满足ai－1＋ai＋1=2ai（i=1,2,3,…）．求证：对于任何自然数n,P（x）=a0^2Cn^0·（1-x）^n＋a1^2Cn^1x（1-x）^n-1＋a2^2C^2nX^2（1－x）^n-2＋…＋an^2-1Cn^n^-1x^n-1（1-x）＋an^2Cn^x^n是x的次数不超过2的多项式．     

系数和为0的一元二次方程

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0. 运用这个结论可解决不少的问题.请看: 例1 解方程:4x2-5x+ 1=0. 分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4. 温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根.     

a＋b＋c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果字母系数的和a＋b＋c=0，那么x1=1一定是方程的根，且另一根为x2=c/a；反之如果有一根为x1=1，则a＋b＋c=0．     

关于p^k（p〉3）元域上的三次方程

F是p^k(p&;gt;3)元域。本文首先证明，研究F上的三次方程可以转化为研究方程x^3+ax+b=0(a≠0，b≠0)，而后得到，x^3+ax+b=0(a≠0,b≠0)在域F中有且仅有一根，或一个单根与一个二重根，或三个互异的根，或没有根；给出了必要充分条件，完整地解答了这一问题。     

方程x2+p|x|+q=0与x|x|+px+q=0的根与判别式△=p2-4q的关系

在实数范围内,方程x~2 p|x| q=0(p≠0)与x|x| px q=0共同特点是含有|X|,它们的实根的求解与方程x~2 px q=0是否有所不同,其根的存在是否由判别式△=p~2-4q唯一确定呢?下面就这两个方程加以讨论,得其根的情况:     

新年趣题

值此 2 0 0 3年来临之际 ,特拟一组与 2 0 0 3有关的新年趣题 ,使同学们在解题中感悟新年快乐 ,并祝大家在新的一年里取得优异成绩 .1.已知 a=2 0 0 22 0 0 3 -1,求 12 a3 -a2 -10 0 1a+ 1的值 .2 .设α、β是方程 2 0 0 1x2 + 2 0 0 2 x -2 0 0 3 =0的两根 ,若 Sn =αn +βn.求 2 0 0 1S2 0 0 3 +2 0 0 2 S2 0 0 2 -2 0 0 3 S2 0 0 1 + 2 0 0 3的值 .3 .方程 (2 0 0 3 x) 2 -2 0 0 2× 2 0 0 4x-1=0的较大根为 p ,较小根为α,方程 x2 + 2 0 0 2 x -2 0 0 3 =0的较小根为 q,求 p-q-2 0 0 3 αq的值 .4.已知 a≠ b,a2 0 0 3× 23 -a2 0 0 3…