试论实变函数中的富比尼定理

本文分析了实变函数中的富比尼定理,并讨论了该定理在积分换序方面的应用。     

关于《定积分换元法定理》

与说明:本文分两部分 一针对中东师大数学分析(上册)简称[1]中关于《定积分换元法定理》的论述的一处问题,提出一点看法与之商榷 二提出一个《定积分换元法定理》。本定理的内容是Γ、M菲赫全哥尔茨著《微积分学教程》第二卷一分册(第128页)关于《定积分换元公式》注解所提出的问题具体化。     

例说零点存在性定理在解题中的应用

零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.传统的函数零点存在性定理的考查,如:     

关于积分中值定理

先将积分中值定理复述如下:定理1 如果 f(t)为区间[a,x]上的连续函数,那么存在数 c∈(a,x),使得∫_a~xf(t)dt=f(c)(x-a).任何学过初等微积分的人都熟知这个重要的定理。但当 x 趋于 a 时,c 的值如何呢?实际上,这时 c的值将趋于 a 和 x 的中点。这一事实往往不被人们注意。下面给出这个结论及其简短的证明。定理2 如果 f(t)在 a 点可微,f′     

零值定理应用之管见

本文就零值定理在在二次函数中的应用,谈一点我们的看法。零值定理:设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数且在区间两端点的数值f(a)、f(b)异号,那么一定有一点C(a相似文献   

不等式中常见错误举例

一、忽略不等式性质定理的充分性与必要性,把非等价条件转化为等价条件 忽略不等式性质定理中是“→”还是“→←”,如果是单向的,则此定理不可逆用。例如,a〉b,c〉d,a＋c〉b＋d,但由a＋c〉b＋d不能得到a〉b,c〉d。     

整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)整数解存在性的讨论

定理1.整系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)存在整数解x=0的条件是c=0;存在整数解x=1的条件是a+b+c=0;存在整数解x=-1的条件是a-b+c=0。证明:x=0是ax~2+bx+c=0的解     

浅谈韦达定理在解题中的应用

韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现,关于涉及此定理的题目屡见不鲜,且条件隐蔽,在证(解)题时,学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞,或解法呆板,过程繁琐冗长。下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用,供大家参考。 一、直接应用韦达定理 若已知条件或待证结论中含有a b和a·b形式的式子,可考虑直接应用韦达定理。 例1 在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,D是AB边上一点,且BC=DC,设AD=d.求证: (1)c d=2bcosA; (2)c·d=b~2-a~2.     

一个条件等式的妙证、推广及应用

文 [1]、[2 ]证明了下面的等式 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,且 c+d=1,c2a+d2b=1a+b,求证 :c4a3 +d4b3 =1(a+b) 3 . 1文 [2 ]还把 1式推广为 :cm + 1am +dm + 1bm =1(a+b) m. 2本文给出 1的不等式证法 ,并把 1,2式的条件推广 ,同时给出其应用 .1　简证　由 x2y≥ 2 x- y知c2aa+b≥ 2 c- aa+b,d2ba+b≥ 2 d- ba+b.因为 c+d=1,所以 c2aa+b+d2ba+b≥ 2 (c+d) - (aa+b+ba+b) =1.由等号成立条件知 c=aa+b,d=ba+b,故 c4a3 +d4b3 =a4a3 (a+b) 4 +b4b3 (a+b) 4 =1(a+b) 3 .2　推广定理　设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,m,n∈N* ,m≠ n,若 c+d=1且 cm + 1am …     

c±d整除c·a^n±d·b^n的一个条件

文 [1 ]给出了 c d整除 c· an d· bn的一个充分条件 ,笔者通过对该条件的探讨 ,认为依此还可以得出 c- d整除 c· an d· bn,c±d整除 c· an- d· bn,c2±d2整除 c2· a2 n d2 · b2 n的一个充分条件 .定理 1　设 a,b,c,d是整数 ,n为正整数 ,c- d≠ 0 .n为奇数 ,且 c- d| a b,则 c-d| c·an d·bn.证明　c·an d·bn=c· an d· bn d· an- d· an=(c- d) an d· (an bn) .n为奇数时 ,an bn=(a b) (an- 1 - an- 2 b … bn- 1 ) .又 c- d| (c- d) an,故 c- d| can dbn.定理 2　设 a,b,c,d均是整数 ,n为正整数 ,c- d≠ 0 ,…     

也谈四面体的Nesbitt不等式

1引言1903年,A.M.Nesbitt建立了如下关于三角形边长a、b、c的几何不等式[1]:3/2≤a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)<2 文[2]将Nesbitt不等式推广到四面体中,得到:定理1设四面体A_1A_2A_3A_4中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数1λ≥,则122343414()()3SSSSSSSSλλλ≤++++++34412123()()2SSSSSSSSλλ+<++++,(2)文[2]称1λ=时的(2)式为关于四面体的Nesbitt不等式.本文给出四面体中的Nesbitt不等式在另一指数范围内的一个推广.2主要结论定理2设四面体1234AAAA中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数13/4…     

理解零点存在定理应把握的四个方面

人教A版必修1给出了判断函数零点的定理,即零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根,这个定理比较抽象,要理解它并能较好地加以应用,应注意从四个方面加以把握。     

一个不等式推广问题的研讨

文[1]给出了如下: 定理1设a、b、c为正实数,l、m、n是不全为零的非负实数,则有 2aabcabc++l+m+nl+m+n, (1) 其中表示对a 、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lm=n=时成立. 文[2]将定理1推广为: 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、n是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabc--++l+m+nl+m+n,(2) 其中表示对a、b、c的循环和,当m>2时,等号当且仅当abc==时成立;当m=2时,等号当且仅当abc==或0,l筸=n0=时成立.. 本文从项数方面入手,将定理2推广为: 定理3 设1,2,,nxxxL为正实数,12,,ll ,nlL是不全为零的非负实数,2m,则有 11122mnnxxxx…     

由∑bc-(4Πa)/9≤1/4引起的“链式反应”

针对一类条件为 :a b c=1(a ,b,c为非负实数 )的三元非齐次不等式的证明问题 ,笔者提出如下定理 :　　　　　∑a2 2 ∑bc=1Ⅰ　　　　　∏a≤ 12 7 Ⅱ　　　　　∑bc-49Πa≤ 14 Ⅲ本文列举 10道三元非齐次条件不等式 ,均可由该定理直接或间接得到证明。其证明途径可列成如下网络 :这就是定理所产生的“链式反应”的主链、侧链、支链图     

零点定理和介值定理

如图 1所示 ,函数 y=f(x)在区间 [a,b]上连续变图 1化 ,且 f(a)与 f(b)异号 ,那末 ,在区间 [a,b]上至少存在一点 c,使 f (c) =0成立 .这就是关于连续函数的零点定理 .一、零点定理的正向应用根据物理量在某一闭区间上连续变化、两端异号的条件 ,判断该物理量的零点 ,属于零点定理的正向应用 .例 1　一个水平固定的大圆环 A,通有恒定的电图 2流 IA,方向如图 2所示 .现有一小金属环 B自 A环上方落下 ,B环在下落过程中保持水平 ,并与 A环共轴 ,那么 B环 (　　 )A.经过 A环平面的瞬时 ,B环中感应电流 IB最大 ;B.经过 A环平面的瞬时 ,B环…     

一个有理不等式猜想的证明

文[1]给出了如下不等式:设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d＜1/1+abcd (1) 文[2]给出了不等式(1)的一个类比 定理 设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2+d2/1+d2＜1/1+a2b2c2d2(2) 并提出如下.     

从一个定理的别证谈起

文[1]给出了求函数f(x)=√ax √b d-cx的值域的定理. 定理设f1(x)=ax b,f2(x)=d-cx(a、c＞0,(d/c)＞-(b/a)),则函数f(x)=√ax b √d-cx的值域是[√[f1(x) f2(x)]min, √f1((d/c)) f2(-(b/a))].     

一个不等式的推广

设a、b、c为正实数,则有 222[1]1(),2abcabcbccaab (1) 222[2]1().2abcabcabbcca (2) 文[3]将不等式(1)、(2)统一推广为 定理1 设a、b、c为正实数,l、m、u是不全为零的非负实数,则有 2aabcabclmulmu 宄 . (3) 其中表示对a、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lmu==时成立. 本文从指数方面考虑,给出不等式(3)的推广. 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、u是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabclmulmu-- 宄 . (4)证明 22()mmaaabcabclmulmu=? 22()()maabclmu? (根据Cauchy不等式)① 22()()maalmu= …     

研究一道奥林匹克试题

2004西部数学奥林匹克试题第三题为:求所有的实数k,使得不等式a2+b2+c2+d2+1≥k(a+b+c+d)对任意a,b,c,d∈[-1,+∞)都成立。文[1]给出它的解为k=34,从而上题可改叙如下:定理1对于任意a,b,c,d∈[-1,+∞),有a3+b3+c3+d3+1≥34(a+b+c+d)。证明见文[1]。进一步研究,又可得到如下的几个定理:定理2设k为大于1的偶数,则当n≥(k-1)k-1时,对坌xi∈R(i=1,2…,n),有:ni=1移xik+1≥nk xi。证明考察函数f(x)=nxk+1-kx,则f'(x)=k(nxk-1-1),令f’(x)=0,由k为大于1的偶数,得x=1k-1姨n,即当xk-1姨1n时f(x)单调增,即fmin(x)=f(1k-1姨…     

谈两个函数性质的证明

学习导数应用 ,有以下两个简单结论 :( 1)若在 [a ,b]上f(x) =0 ,则f(x)是一个常数。( 2 )若在 (a ,b)上f(x) >0 ,则f(x)是一个严格上升的函数。许多教科书中都是利用微分中值定理来证明上述两个性质的 ,本文则给出这两个定理的不同证明方法。( 1)的证明 :(用反证法 )首先假设存在a≤a1 相似文献