培养学生的逆向思维能力

一、概念教学中建立双向思维联结对有些较难理解的概念,如适当注意从逆向思考,从结论的反面去讨论,可以加深学生对概念的理解与掌握,养成双向考虑问题的习惯.如,反三角函数的概念是高中数学中的一个难点,而反正弦函数的概念又是其重点.在引出反正弦函数定义之前,可先从正向题入手,渐渐转到逆向问题.1.以从正弦函数y=sinx的正向思维为起点,让学生根据反函数定义来判断正弦函数在定义域R内是否存在反函数.首先提出正向问题:对于正弦函数y=sinx(x∈R),当x=π6时,求y.接着提出逆向问题,当正弦函数值y=12时,求对应角x.于是根据反函数定义可知,正…     

反三角函数教学的几点体会

反三角函数是高中数学教学的一个突出难点,拙文就反三角函数教学问题谈几点粗浅体会,恳请大家指教.1.如何讲清 arcsinx 含义的问题教材(指现行六年制重点中学高中代数第二册、十年制高中数学第一册有关反三角函数内容,下同)在紧接反正弦函数 y=arcsinx(x∈[-1,1])定义之后,就提出 arcsinx 的含义问题,搞清它显得十分必要.这不仅能加深对反正弦函数定义的理解,对接下来要证明、演算反正弦有关问题     

深入认识小菱形

我们对新朋友——正弦(边长为1的菱形的面积)越来越熟悉了.但可惜的是,我们还不知道它究竟是多少,除了知道sin0°=sin180°=0和sin90°=1.能不能了解得更多一些,更准确一些?能不能多知道一些角的正弦值呢?现在我们就来解决这个问题.首先,我们需要一个公式,这个公式非常重要,十分有用.它不但能帮我们求一些正弦值,还能帮我们解决很多几何问题.     

“交流电”教学问题释疑

在“交流电”教学中,学生对一些基本概念、规律理解不透,提出了许多似是而非、易混淆的问题,有必要给予解释清楚. 问题1:线圈在磁场中转动时是否一定产生正弦交流电? 释疑:所谓交流电就是电流的强度和方向随时间做周期性变化的电流,中学阶段学习的是最简单的交流电——正弦交流电(或余弦交流电).所以,学生往往片面地认为:凡是线圈在磁场中转动就一定产生正弦交流电,其实不然.     

这样讲反正弦函数概念行吗?

反三角函数一节是教学中的一个难点,而反正弦是一个模本。学好反正弦后,学习其它反三角函数的困难就可迎刃而解。因此,反正弦函数的概念既是教学的重点,又是难点,如何进行反正弦函数概念的教学呢? 由于中专数学教学中对于逆向思维的训练难度与频率不够,故一碰到逆向问题,便产生思维障碍。再之由于反三角函数的超越性,在其单调区间内的反函数不可能通过代数运算来解出它的反函数的表达式,这就需要创造新的数学符号来表示反正弦函数,这使反正弦函数更显得难以捉摸。当引进反正弦函数符号后,对符号本身的理解也很困难。因此我在教学中作了改进,其过程如下: 1.创设问题情境,引导学生进行讨论,为逾越障碍作适当的铺垫。 为了使得反正弦函数化为原有知识的“最近发展区”,应深入挖掘新旧知识的内在联系,有必要重温那些相关的知识。首先请同学们回答黑板上这样几个问题:求出下列函数的反函数:     

历届《高等数学》(二)考点分析及应试方法(上)

考点一、函数定义域的求法。定义域的求法主要理解和掌握如下几个问题:1 .分式中的分母不能为零。2 .偶次方根的表达式不能为负数。3.对数的真数必须大于零。4.取反正弦、反余弦的值的绝对值必须小于等于1。5 .如果求解的是两个或两个以上的不等式,则取各个不等式的交集。例1　求函数y=ln( x+ 1 )x- 1 的定义域( 2 0 0 0年选择题1 )。解　对数的真数必须大于零,所以x+ 1 >0 ,偶次方根的表达式不能为负数以及分式中的分母不能为零,所以x- 1 >0 ,我们得到不等式方程组:x+ 1 >0x- 1 >0 ,　解得　x>- 1x>1 ,取解集的交得x>1 ,即函数y=ln( x+ 1 )…     

一道三角函数高考题的演变过程

高考真题(2011年高考湖南理科卷第17题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求3(1/2)sinA-cos(B+π/4)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.参考答案(Ⅰ)由正弦定理得sinCsinA=sinA·cosC.因为00.从而有sinC=cosC.     

高考三角函数基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求考生:1掌握三角函数定义、图象、性质及其应用,会用“五点法”画正弦、余弦函数和正弦型函数的简图,并能解决与之有关的实际问题;2能推导并掌握同角函数关系式,诱导公式,两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式;能正确地运用上述公式化简、求值和恒等式证明;会由已知函数值求角并能用反三角表示;3掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程,并能运用它们解斜三角形.下面介绍三角函数基础试题考点及其解析.考点1　求三角函数周期、振幅例1　(2001年新课程卷高考题)函数y=3sin(x2+π3)的周期、振幅依次是(　　)(A)4π…     

例说三角形中取值范围问题的精准界定

<正>一、问题与解答问题在锐角三角形ABC中，已知A,B,C分别为△ABC三边a,b,c所对的角，且■(1)求角B的大小;(2)若b=2■，求a+c的取值范围．解(1)由条件得bcos A+acos B=■bsin C，再运用正弦定理，得sin Bcos A+sin Acos B=■sin Bsin C，即sin(A+B)=■sin Bsin C，亦即sin C=■sin Bsin C，     

正弦定理与余弦定理的应用之我见

正弦定理与余弦定理都反映了三角形中边与角之间的关系，广泛应用于角与距离这两类(特别是在立体几何中)上新编教材数学第一册(下)(P128及P130)，在总结正、余弦定理的应用时说：应用正弦定理可以解决：(1)已知两角和一边求其余的边与角，(2)已知两边和一边所对的角求其余的边与角两类问题；应用余弦定理可以解决：(3)已知三边求角，(4)已知两边及夹角求其余的边与角两类问题，这种严格的划分未免太偏颇，既制约了学生思维的灵活性，又忽视知识之间的广泛联系事实上，正由于正弦定理与余弦定都是反映同一个三角形的边与角的关系，因而两者并不独立，即两者可以互相推证。     

联想出妙解——构造直角三角形解题一例

问题已知正数a,b(a≠b)与锐角α,β(α≠β)满足(a^2/a-b·(sin^2α/sin^2β-1))+b=b·tanα-a=√(a^2+b^ 2),求α+β的大小.分析题中给出关于正数a,b与锐角α,β的三角函数之间比较复杂的等量关系,根据其结构特点,直接求α+β的度数,往往使人感到束手无策,所以直接求解此题具有一定的难度.     

明晰比较关系 快解简单应用题

“求比一个数多(少)几的数的应用题”有两种类型:一种是正叙的;一种是反叙的。虽然小学二年级学生已经学习过解答常见的加减应用题,但在解答反叙的“求比一个数多(少)几的数的应用题”时,往往把它同正叙的“求比一个数多(少)几的数的应用题”相混淆,机械地见到“多几”就用加法,见到“少几”就用减法。为了防止学生如此错误地理解和计算,提高学生的审题能力,正确解答“求比一个数多(少)几的数的应用题”,我在教学中采用以下教学方法,收到了良好的效果。     

谈正弦、余弦定理与面积相关的问题

一、利用正弦、余弦定理结合面积公式求三角形的面积 例1(2012年高考江西理18)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.已知A=π/4,并且bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a. (1)求证:B-C=π/2; (2)若a=√2,求△ABC的面积. 解析:(1)已知由bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a,应用正弦定理得: sin Bsin(π/4+C)-sin Csin(π/4+B)=sin A.     

学生错解“平均问题”浅析

在教学中,发现有相当一部分学生对一“平均问题”的错解。此“平均问题”是:一辆汽车从甲地到乙地的速度是45千米/小时,从乙地到甲地的速度是55千米/小时,求这辆汽车往返的平均速度是每小时多少千米?经常有学生把它错解为:(45 55)÷2=50(千米)。学生的这种解答结果实质是求“45”和“55”这两个速度的“平均数”,而不是求“平均速度”这一问题。产生这种错误的原因在于学生未理解“平均速度”这一概念及其解法,混淆了“平均数”与“平均速度”的概念;同时也存在着不能正确区分、比较相关的知识,对所学的知识还不能进行正确迁移和融会贯通;还…     

都是“a”惹的祸——一元二次方程常见错解剖析

ax~2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式,这里的条件是a≠0.在解决问题时,同学们往往会忽略这一个隐含条件,导致解题失误.例1:已知方程kx~2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.错解:因为方程有两个不相等的实数根,所以b~2-4ac>0,即【-(2k+1)】~2-4k~2>     

隐含条件的相对性与我们的对策

在数学命题中包含着条件与结论,我们解题要得到正确的结论,前提是明确命题中全部基本条件,由于问题中的条件有的是明列的,有的是隐含的,因而降低条件的隐含仕,提高挖掘隐含条件的本领是很重要的.为此本文讨论条件隐含的相对性以及我们对隐含条件的对策. 一、条件隐含的相对性我们先来讨论几个例子. 例1 试求f(x)=aresin(x~2-x+1)~(1/2)的值域. 对这个问题在同一个年级里的学生会给出如下四种不同的解答: 1)仅考虑到反正弦函数的值域,给出[-π/2,π/2]的结论;     

关于反正弦函数教学的思考

在高中数学各章节内容中,反三角函数是学生最易遗忘的内容之一,也是理科考生在高考中得分率最低的内容（虽然考题并不难）．学生易犯的通病一般是受定势思维的负面影响,而与三角函数混淆,分不清反三角函数的定义域、值域以及自变量的取值与反三角函数值的对应关系．客观存在的这些问题充分说明教学目的没有很好的达到．那么教学目的是什么？怎样才能达到？下面以反正弦函数为例加以说明．教学目的：理解反正弦函数的概念,由反正弦函数的图像得出反正弦函数的性质,并能运用反正弦函数的定义、图像、性质解决一些简单问题．教学重点：理…     

例谈三角函数y=sin(ωx+φ)中对称轴类问题的解题方法

由于三角函数y=Asin(ωx+φ)是由正弦函数y=sinu和一次函数u=ωx+φ复合而成的,而正弦函数y=sinu的对称轴是u=kπ+π/2(k∈Z),它的对称轴总是经过图像的最高点或者最低点.所以解决函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴问题应从正弦函数的对称轴方程或函数关于直线对称的性质着手寻找解题思路.     

关于化学开放性问题设计切入点的思考

开放性问题因其能有效地考查学生的创造性思维能力而倍受青睐，但开放性问题的设计与教学应符合学生的认知规律，不能一味求深求难，“高考要考的只是中学生所能达到的能力”(教育部考试中心副主任应书增语)．所以，开放性问题的设计与教学务必重视基础，而源于化学常识、课本图表或基础习题的开放性问题设计则是一个较佳的切入点．     

例说运用正余弦定理解题

在解有关三角问题时,若能根据题目的 结构特征,灵活地运用正弦定理或余弦定理 探求思路,不仅能迅速找到解题的切入点,而 且还能避免冗繁的运算,优化解题过程,提高 解题速度,本文分类例析,以供参考. 一、求角度 【例1】　在△ABC中,已知 tanA-tanB tanA+tanB=c-bc,求∠A. 简析:联系正弦定理,将原式变形为 …