捕捉双曲线信息 构造双曲线解题

双曲线不仅是一种形象十分优美的曲线,而且它有着众多各具特色的表现形式,捕捉题目中体现出的双曲线的各种信息,构造双曲线模型,以“形”助“数”,可以加强代数、三角、解几知识之间的横向联系与综合运用,提高学生分析问题,解决问题的能力．１　捕捉含“ａｓｅｃθ与ｂｔｇθ”的信息例１　求ｆ（θ）＝ｓｅｃθ－２２ｔｇθ－１π２＜θ＜π的值域．图１解　∵π２＜θ＜π,∴ｔｇθ＜０,ｓｅｃθ＜０．知动点Ｐ（２ｔｇθ,ｓｅｃθ）在双曲线ｙ２－ｘ２４＝１的第三象限内的部分上运动,ｆ（θ）表示动点Ｐ与定点Ａ（１,２）连…     

一道习题的引申与推广

１引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ,那么对 ｘ∈Ｒ,恒有 ｆ（ｘ ３） -３ｆ（ｘ ２） ３ｆ（ｘ １） - ｆ（ｘ）＝０（１）解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察（１）的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ ,ｎ为自然数 ,ｇ（ｘ,ｎ）＝Ｃｎｎｆ（ｘ＋ｎ）＋Ｃｎｎ－１ｆ（ｘ＋ｎ－１）（－１）＋ … ＋Ｃｎ１ｆ（ｘ＋１）（－１）ｎ－１＋Ｃｎ０ｆ（ｘ）（－１）ｎ （２）试求 ｇ（ｘ,３）的值 .自然提出 :（Ａ）当 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ时 ,…     

关于亚纯函数的公共值

证明了下列结果：两个平面上的亚纯函数ｆ１，ｆ２若以某７个复数ａ１，ａ２……，ａ７，的单重 ａｉ一值（１≤ｉ≤７）完全相同，则或才ｆ１，ｆ２皆为常数或者ｆ１＝ｆ２别无它种情形。     

数形结合 化难为易

数形结合化难为易卢朴勤（甘肃省甘谷一中７４１２００）今年高考第２４题：设二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０），方程ｆ（ｘ）－ｘ＝０的两根ｘ１、ｘ２满足０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ．（Ⅰ）当ｘ∈（０，ｘ１）时，证明ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（Ⅱ）设函数ｆ（ｘ...     

复习二次函数时容易出现的问题及解决办法

同学们在复习二次函数时常遇到一些棘手的问题,下面结合几道例题,谈一谈其产生原因及解决办法。例１．设二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｂｘ＋ｃＣ满足ｆ（１）＝－４,ｆ（２）＝３／５,ｆ（４）,求此函数的最小值。答：－４。（１９９６年成人高考理科试题）本题主要考查二次函数的定义、图像、性质及二元一次方程组的解法。复习中,同学们基本能够根据二次函数概念列出正确方程组。存在问题：１．加减、代入消无法不熟练,致使方程组答案错误。２．能正确解方程组、写出解析式,但因配方法掌握不熟练,造成最后结果有误。３．有的同学试图用…     

用三角代换求两类无理函数的值域

文［１］用构造直线与圆锥曲线的方法,并通过对它们位置关系的讨论,求得无理方程ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋ｎａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）及ｇ（ｘ）＝ｍａｘ＋ｂ＋ｎｃｘ＋ｄ（ａｃ≠０）的值域．该文不失为用构造思想、数形结合解题的范例,读后受益匪浅．本文中,笔者试图...     

用激光演示泊松亮斑

１实验器材 Ｈｅ—Ｎｅ激光器Ａ，扩束凸透镜Ｌｌ（ｆ＝５ｃｍ），自行车上的小钢球Ｂ（φ３ｍｍ＝４ｍｍ），扩束凹透镜 Ｌ２（ｆ＝１０ｃｍ），光屏或白墙壁 Ｃ．２实验装置 图１中，小钢球Ｂ用少许橡皮泥粘在Ｌ２的表面中心，或在Ｌ２的表面中心涂一浓墨汁圆斑．Ａ和Ｌ１相距约１０ｃｍ～１５ｃｍ，Ｌ１和Ｌ２相距的１５ｃｍ～２０ｃｍ，Ｂ和Ｃ相距２ｍ左右．其中 Ｌ１的作用是使激光扩束，成为发散的球面波束，Ｌ２的作用是将带有衍射信息的球面波束作进一步的发散、放大，以便在光屏Ｃ上获得可见度很大的、清晰的衍射图样．３实验方法 …     

浅析缓冲溶液[H~ ]计算公式的应用

浅析缓冲溶液［Ｈ￣＋］计算公式的应用王慧萍在《医用化学》课本上有这样一道练习题：将４０ｍｇ固体ＮａＯＨ分别加到下列两种溶液中，它们的体积均为１升，试分别计算这两种溶液的ｐＨ值变化（ＨＡｃ，ＰＫａ＝４．７５）（１）０．１ＮＨＡｃ，（２）０．１ＭＨＡｃ和...     

二元二次多项式的因式分解

本文给出了二元二次多项式ｆ（ｘ,ｙ）＝ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ（１）在整数及实数范围内可分解因式的充要条件,使用所给出的方法,使得二元二次多项式的因式分解规范化,并且简单易行．一、在整数范围内分解定理１　设（１）是整系数多项式,则它可分解为因式（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２）的充要条件是（Ⅰ）ａｘ２＋ｄｘ＋ｆ＝（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）,ｂｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝（ｂ１ｙ＋ｃ１）（ｂ２ｙ＋ｃ２）,ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＝（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ）．只要比较ａ…     

物理竞赛题选编与解答

一、单项选择题１．在倾斜的木板上，将木块从斜面顶端推下，撤去推力后，木块仍在斜面上匀速下滑．现用８牛的推力沿着斜面向上推木块、正好又使木块沿着斜面向上做匀速运动．前后两种情况下木块受到的摩擦力与：（）Ａ．ｆ１＝ｆ２＝８牛，方向相同；Ｂ．ｆ１＝ｆ２＝８牛，方向相反；Ｃ．ｆ１＝ｆ２＝４牛，方向相同；Ｄ．ｆ１＝ｆ２＝４牛，方向相反．２．如图１所示，小车在平衡力Ｆ１和Ｆ２作用下以速度ｖ向右匀速运动．如果将这对平衡力同时等量缓慢地减少，最后为０，则物体将：（）Ａ．继续以ｖ向右匀速运动；Ｂ．物体的运动速度将…     

构造函数法证不等式的思考途径

构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一　利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明　令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 …     

与最值相关问题的解法(上)

一、内容概述：与最值相关的数学问题在现实生活中普遍存在,各个学科领域普遍涉及．此类问题的表现形式有：（１）求一些代数式的最值（最大值,最小值）,（２）求函数值域,（３）求一些代数式中参量的取值范围等．解决此类问题的方法多种多样,常用到的有判别式法、配方法、配对法、代换法、数形结合法等．本文将结合一些相关问题对上述诸法作以初步诠释,供大家参考．二、基础知识１．关于ｘ的实系数二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有实数根判别式Δ≥０．２．二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）在ｘ≥－ｂ２ａ时…     

多项式值的一种算法

１ 问题的提出 设Ｒ是数环，求ｆ（ｘ）在ａ的值ｆ（ａ）． 当ｆ（ｘ）次数较低时可将ａ代入ｆ（ｘ）直接计算［２］；当ｆ（ｘ）次数较高或ａ的形式较复杂时，直接代入计算就不可能了．那么此时如何计算ｆ（ｘ）呢？ 例 求多项式ｆ（ｘ）＝３ｘ８－６８ｘ６－１４４ｘ５－２５ｘ４＋９６ｘ３＋４６ｘ２－７在值 显然，直接代入计算，运算量大，且容易出错．下面给出一种简便易行的方法．２ 主要结论 命题 ｆ（ｘ）∈Ｒ［ｘ］，ａ∈Ｒ．若存在ｇ（ｘ）∈其中 或则 由带余除法［３］容易证明，此处略． 于是，解决问题的关键是找到合适的ｇ（…     

构造函数证明一类不等式

本文给出了构造函数证明不等式的三种常用方法： １．利用 一次函数 ｆ（ｘ）＝ ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ的性质； ２．利用函数的单调性；３．利用函数的凸凹性。     

数形结合在解题中的巧妙应用

数形结合是一种重要的数学思想方法．本文拟就如何适时地妙用数形结合，谈些个人观点，供参考． 一、数形结合在求最值中的妙用 求函数的最值，方法颇多．但有些题目看似代数问题，采用代数方法求解，往往演算过程繁琐冗长，或者无从着手．假如题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题就迎刃而解． 例１求函数，ｙ＝的最值． 解：由“比”联想到斜率，问题就转化为：求动点（ｃｏｓｘ、ｓｉｎｘ）与定点（２，２）的连线斜率的最值． 又因为动点（ｃｏｓｘ、ｓｉｎｘ）的轨迹为ｘ２＋ ｙ２＝ １ 设过（２，２）的直线方程为： …     

一元二次方程根的范围的制约条件

一元二次方程根的范围的制约条件史晓蓉本文就一元二次方程根的范围的制约条件，介绍几个定理及其应用，供参考。引理若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则至少有一点ｃ，ａ＜ｃ＜ｂ，使得ｆ（ｃ）＝０。定理设ｘ１、ｘ２（Ｘ１≤ｘ２）...     

对一道高考题的思考

１９９６年全国高考（１５）题：设ｆ（ｘ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）．当０≤ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（７－５）＝（　　）（Ａ）０－５，（Ｂ）－０－５，（Ｃ）１－５，（Ｄ）－１－５．此题解法较多，这里不赘述．引起笔者注意的是对条件ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ）的两种变形．将ｘ以ｘ＋２代换得ｆ（ｘ＋４）＝－ｆ（ｘ＋２）＝－〔－ｆ（ｘ）〕＝ｆ（ｘ）．（１）若将ｘ以－ｘ代换可得ｆ（２－ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）．（２）（１）表明ｆ（ｘ）是周期函数；结合ｆ（ｘ）为奇函数得到的（２）…     

例说配方法在解题中的妙用

配方法是中学数学中一种重要的数学方法,其应用十分广泛．巧用配方法,可使很多数学问题迎刃而解．举例说明如下：１巧用配方求值例１若ａ＋ｘ２＝１９９７,ｂ＋ｘ２＝１９９８,ｃ＋ｘ２＝１９９９,且ａｂｃ＝１２,求ａｂｃ＋ｂａｃ＋ｃａｂ－１ａ－１ｂ－１ｃ的值．...     

杨图的分割与对称群S_n表示的约化

对称群Ｓｎ的不可约表示Г（ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ）与杨图Ｔ（ｆ１．ｆ２，．．．，ｆｎ）之间存在着１－１对应．由对称群的分支规则给出杨图的分割线段，从而用分割杨图的几何方法确定Ｓｎ的任意一个不可约表示在Ｓｎ－ｋ（１≤ｋ＜ｎ）中的约化结果．     

Orthogonal Polynomials and Padé Approximation

１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＴｈｅＰａｄéａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｉｓａｔｙｐｅｏｆｒａｔｉｏｎａｌｆｒａｃｔｉｏｎａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｔｏａｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｌｅｔｆｂｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙａｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓｆ（ｘ）＝∑∞ｉ＝０ｃ...