解三角形之误区剖析

1 知识概念不清以及随意约去可能为零的因式产生漏解而导致错误 例1 在△ABC中，已知acos A=bcos B,试判断△ABC的形状。     

利用中线性质巧解两道竞赛题

定理 设D是△ABC的边BC中点,则S_△ABD=S_△ACD。这是中线的一个性质,本文巧用这一性质解两道竞赛。 例1 (81年芜湖市竞赛题)如图1,AA′,BB′,CC′是△ABC的外接圆直径,试证:S_△ABC=S_△ABC′ S_△BCA′ S_△CAB′。     

可用轴对称解的一类赛题

在初中数学竞赛中,曾出现过以下一类试题,解这类题目,学生比较困难。本文利用轴对称知识,给出这类试题的统一解法。 [试题1] P是等边△ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,则△ABC的边长等于____。(浙江第二届初中数学竞赛决赛试题) 解:分别以△ABC的三边为对称轴作P点的对称点P_1,P_2,P_3,并分别连结各相邻顶点(如图1)于是P_1B=P_2B=PB=5,∠P_1BA=∠PBA,∠P_2BC=∠PBC。又因△ABC为等边三角形,∠ABC=60°,则∠P_1BP_2=120°。连结P_1P_2,在等腰△P_1BP_2中,     

例谈面积法解中考题

面积法在解几何题中有着广泛的应用,下面结合几例谈谈它在解中考题中的应用。例1 (2000 年重庆市)如图1,在△ABC中,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,则EB的长为_______。     

一道三角形内接矩形问题的变式探究

<正>一、例题呈现及一般结论例1如图1,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高AD=40cm,四边形PQRS是正方形.(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?(2)求正方形PQRS的边长.解∵四边形PQRS是正方形,所以SR//BC,∴∠ASR=∠ABC,∠ARS=∠ACB. ∴△ASR∽△ABC.可得AE/AD=SR/BC.设正方形的边长为x cm,则AE=(40-     

构造轴对称图形解题

<正>我们在解(证)几何问题时,常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形,这样能使解题过程更加简捷.下面举例说明.例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,D是△ABC内一点,满足AD=3^(1/2),BD=5,CD=2,求△ABC的面积.分析把△ACD、△CDB、△ADB分别AD、CB、AB作轴对称变换,把分散的线段,集     

错在哪里

题 已知:如图∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,△ABC∽△CDB? (《几何》第二册第231页例4) 解 ∵∠ABC=∠CDB=90°, ∴ 当AC/BC=BC/BD时,△ABC∽△CDB。 即 a/b=b/BD,BD=b~2/a。 答:当BD=b~2/a时,△ABC∽△CDB。     

几何中的面积问题

<正>面积问题是几何中常见的问题之一,一般都会转化为三角形的面积来求,本文就来谈谈这类问题的解法。例1在△ABC中,AB=4cm,AC=3cm,∠BAC的角平分线AD=2cm,求此三角形的面积。解:如图1,在△ABC中,设∠BAC=α,S_(△ABC)=S_(△ADC)+S_(△ADB)。所以1/2AB·AC·sinα=1/2AC·     

不同的描述 不同的含意——谈相似三角形问题

<正>相似三角形是初中数学的核心知识.我们在描述两个三角形相似时,要注意不同的描述有不同的含意.一、若用符号"∽"描述,则各边的对应关系确定,此时相关问题有唯一解例1 已知:如图1,在△ABC和△AED中,AB=6,AC=9,AE=2,△ABC∽△AED.求AD的长.分析与解本题中,对两个三角形相似的描述直接使用相似符号"∽",这时两个相似三角形的各对应点是固定的.即△ABC的顶点A、B、C分别对应△AED的顶点A、E、     

因式分解在三角形中的应用

一、判断三角形的形状例1 已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足条件ac2+b2c-b3-abc=0,试判断△ABC的形状.解:∵ac2+b2c-b3-abc=0, ∴(c-b)(ac+b2)=0, ∵a、b、c为△ABC的三边长,     

一道有趣的求轨迹题

命题:已知圆方程为x~2 y~2=4,△ABC是圆的内接三角形,A点坐标为（2,0）,B、C在圆上,若∠BAC恒为π/3,求△ABC的重心轨迹方程。 本题解法较多,但运用平几知识,数形结合去解却十分简捷。 解 （如图）设M（x_0,y_0）是BC的中点,G（x,y）为△ABC的重心。 连OB、OC、OM,则     

三角形重心向量性质的再推广

文[1]提出并证明了三角重心的一个向量性质. 命题,已知a、b、c、分别为△ABC中解A、B、C的对边,G为△ABC重心,且a·GA+b·GB+c·GC=0,则△ABC为正三角形.     

等腰三角形新题型解析

本文就等腰三角形的三类新题型解析如下,供同学们学习时参考.一、从已知图形中数等腰三角形的个数例1如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有()A.6个"B.7个"C.8个"D.9个(天津市中考题)解:因为AB=AC,∠A=36°,所以易求得∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠5=∠6=∠7=∠8=72°,从而图中共有8个等腰三角形,即:△ABC、△FBC、△BCD、△CBE、△DAB、△EAC、△CDF、△BEF.故应选C.二、从已知图形中找构成等腰三角形的点例2在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△…     

高考复习的几个策略之二——第三轮复习

一、加强基础复习策略（抓住选择题和填空题特点,加强训练） 例1 设点P是△ABC内任意一点,S△ABC的面积,λ1=S△PBC/S△ABC=S△PCA/S△ABC,λ1=S△PAB/S△ABC,定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G为△ABC的重心,f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）．     

对一道高考选择题的思考

题目设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PCA/S△ABC，λ3=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1，λ2，λ3），若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2，1/3，1/6），则（）     

第五章 平面向量

5.9正弦定理、余弦定理教材细解1.正弦定理(1)正弦定理:在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,R为△ABC的外接圆的半径,则有asinA=sibnB=sincC=2R.(2)正弦定理的证明:①向量法:先选定与其中     

等边三角形、正方形中的几个相关量

今年江苏省高考中有一题,请同学按要求设计一个底面是正六边形的帐篷,如果考生在初中打下了良好的数学基础,知道正六边形的边长和面积之间的关系,问题解起来会顺手得多,很多同学恰恰在这儿卡住了,或者慢慢去推算,导致时间不够.由此可见,对一些常见的图形,熟知它们的各个量之间的关系大有益处.一、等边三角形中边长、高、面积之间的关系如图1,等边△ABC的边长AB=a,AD是△ABC的高,那么D是BC中点,15图1∴BD=12a.∴AD2=AB2-BD2=a2-12a2=a2-14a2=34a2.∴AD=34a2=34a=32a.∴等边△ABC的面积S△ABC=12BC·AD=12a·32a=34a2.即:边长为…     

一道题的发现、探究、运用

题目:如图1在△ABC中,DE∥BC分别交AB、AC于D、E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F,请按图示的数据计算.(1)求平行四边形DBEF的面积S,(2)求△EFC的面积S1,(3)求△ADE的面积S2,(4)发现的规律是什么?解:(1)S=BF×3=2×3=6.(2)S1=12CF×3=12×6×3=9.(3)因为:DE∥BC,EF∥AB.所以四边形DBFE是平行四边形所以DE=BF=2,所以∠ADE=∠ABC.因为∠A=∠A,所以△ADE~△ABC.     

构造直角三角形解题

有些几何题 ,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化 ,就会收到化难为易、事半功倍的效果 .1　求边长例 1、如图 1所示 ,在△ABC中 ,AB=4 ,BC=3 ,∠ABC=1 2 0°,求 AC的长 .解 :经过 A作 CB延长线的垂线 ,垂足为 E.因为∠ABC=1 2 0°,故∠ ABE=60°.在 Rt△ ABE中 ,AE=AB· sin60°=4× 3 /2=2 3 ,BE=AB· cos60°=4× 1 /2 =2 .在 Rt△ACE中 ,AC=AE2 CE2=( 2 3 ) 2 52 =3 7.2　求角例 2　如图 2所示 ,在△ ABC中 ,AB=4 ,AC=2 1 ,BC=5,求∠ B的度数 .解 :作 AD⊥ BC于 D.设 BD=x,则 D…     

应用中线性质解几何题

<正>一、三角形中线将原三角形面积分半.【例1】如图1,在三角形ABC中,BD是中线,AD=CD=12AC,BE⊥AC于E,即BE是△ABC的边AC上的高,同时BE也是△ABD高,也是钝角三角形BCD的高.解:根据三角形的面积公式,S△ABD、S△BCD的面积可