数学综合自我检测题

一、选择题(每小题只有1个选项符合要求) 1.函数y=3-x-2的反函数是( ). A y=log1/3(x+2)(x＞2); B y=log1/3x+2(x＞2); C y=log1/3(x+2)(x＞-2); D y=log1/3x+2(x＞-2) 2.已知cos(π/6+α)=-4/5,cos(π/6-α)=3/5,π/3＜α＜5π/6,那么cos2α的值是( ).     

期末综合测试题(二)

(时间:120分钟满分:120分) 　　一、选择题(每小题3分,共24分) 　　1.下列,变形正确的是( ). 　　A.由8+2x=6.得2x=6+8 　　B.由2x＞3.得x＞2/3 　　C.由-x=5.得x=-5 　　D.由-x＞5,得x＞-5……     

期末综合测试题(二)

(时间:120分钟满分:120分) 　　一、选择题(每小题3分,共24分) 　　1.下列,变形正确的是( ). 　　A.由8+2x=6.得2x=6+8 　　B.由2x＞3.得x＞2/3 　　C.由-x=5.得x=-5 　　D.由-x＞5,得x＞-5……     

2007年全国高中数学联赛江西省预赛

一、选择题(每小题6分,共 36分) 1.a、b、c为互不相等的正数,a2 c2＝2bc.则下列关系中可能成立的是( ). (A)a＞b＞c (B)b＞c＞a (C)b＞a＞c (D)a＞c＞b 2.已知f(x)＝(1 x)/(1-x),记f1(x)＝f(x),fk 1(x)＝f(fk(x))(k＝1,2,…).则f2 007(x)＝( ).     

不等式恒成立参数范围确定

不等式恒成立问题涉及面广,逻辑性强,许多同学对此类问题常常感到无从下手,下面举例分析,希望对同学们能够有所启迪. 1 利用一次函数的保号性 对于一次函数f(x)=kx+b,若f(m)＞0,f(n)＞0,则当x∈[m,n]时,f(x)＞0. 例1 已知当1≤m≤2时,不等式(log2m-1)(log3x)2-61og2m·log3x+log2m+1＞0恒成立,求x的取值范围. 解析 按常规思路,应将不等式视为关于log3x的二次函数1,这将难以求解.如果换一个思路,把log2m看作主元,log3x看作常量,则求解变得简单容易.     

解决二次根式问题中的数学思想

数学思想是解决数学问题的金钥匙,在解决二次根式的有关问题时,常用到如下几种数学思想: 一、方程思想 例1已知实数x、y、m满足√x+2+|3x+y+m|=0,且y为负数,则m的取值范围是(). (A)m＞6 (B)m＜6(C)m＞-6 (D) m＜-6 解析:由二次根式、绝对值的非负性,结合非负数的性质可知,√x+2=0,|3x+y+m|=0. 即｛x+2=0,3x+y+m=0. 解得｛x=-2,y=6-m. 因为y为负数,则有6-m＜0,解得m＞6. 故答案选A. 二、类比思想 例2(1)计算√8-3√1/2+√2=——; (2)计算4√1/2+3√1/3-√8的结果是().     

构造中间曲线加强不等式

2012年辽宁高考文科压轴题如下(见例1): 例1 设f(x)=lnx+√x-1, 证明(Ⅰ)当x＞1时,f(x)＜3/2(x-1); (Ⅱ)当1＜x＜3时,f(x)＜9(x-1)/x+5. 如果令l(x)=3/2(x-1),(∞)(x)=x+5/x+3(x-1),那么在定义域内f(x)≤(∞)(x)≤l(x)恒成立,本文我们把这样的曲线(∞)(x)称为f(x)与l(x)的中间曲线.(∞)(x)与f(x)具有相同的凸凹性,具有相同的切线l(x).一般的,如果f(x)是复杂的(超越)函数,(∞)(x)可以是比较简单的(初等)函数,并且符合要求的中间曲线(∞)(x)的个数较多.这些特点给我们命制鲜活的题目提供了一个新的生长点,也为我们的教学研究提供了一个新的视角.对于例1的第(Ⅱ)小题有当x≥25时,f(x)＞9(x-1)/x+5(证明略),以下只研究中间曲线.     

用RMI方法研究椭圆“类准线”的若干性质

一、问题的提出文[1]对2010年江苏省高考数学卷第18题的第(3)小题作了分析和推广.从推广后的结论看,与文[2]中的性质3是一致的.文[2]中把x=a2/m(m＞0)叫做椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的“类准线”,并研究了“类准线”所具有的一些性质.很明显,2010年江苏省高考数学卷第18题第(3)小...     

一道题目的解法辩析与探讨

题目巳知函数f(x)=ax2 bx c,a＞b＞c,f(1)=0. (1)求证f(x)的图像x轴有二不同交点; (2)是否存在实数m,当f(m)=-a时,f(m 3)为正数.     

2013年新课标高考数学试题理科21题

题目 已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)＞0. (Ⅰ)略. (Ⅱ)解法1 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,恒有ln(x+m)≤ln(x+2),即只需证明m=2时成立,即ex-ln(x+2)＞0即可. 即证明ee|-x-2 ＞0. 设g(x)=eex-x-2,g’(x)=ex+ex-1, 因为g″(x)=ex+ex(1+ex)＞0,知g’(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数.     

错解背后的真相

1 困惑重重思错解 已知f(x)=aexInx+bex-1/x,曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)证明:f(x)＞1. 原解:(Ⅰ)f(1)=2,f1(1)=e,解得a=1,b=2. (Ⅱ)f(x)=exInx+2ex1/x,f(x)＞1(=)xInx＞xe-x-2/e,设k(x)=xInx,则k'(x)=1+lnx,故k(x)min=k(1/e)=-1/e,h(x)=xex-1-2/e,则h'(x)=e-x(1-x),故h(x)max=h(1)=-1/e,所以:xlnx＞xe-x-2/e(=)f(x)＞1. 这是2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题,开学初,笔者把它介绍给学生.有一个学生提出了他的一个困惑,说第二问按他的方法怎么也做不出来.     

不等式易错题剖析

解一元一次不等式时容易出现各种各样的错误,现以近年中考试题为例,把常见的错误剖析如下. 一、没有掌握不等式的基本性质 例1(2016年常州卷)若x＞y,则下列不等式中不一定成立的是() A.x-1＞y-1.B.2x＞2y.C.x/2＞y/2.D.x2＞y2. 错解:A. 错解剖析:由x＞y得x-1 ＞y-1,它是在不等式两边同减去1,所以是正确的. 正解:选D.举个反例,1 ＞-5,但12＜(-5)2.     

一元不等式的错解纠正

文[1]中的例7(3)的解答是一个典型错误.现摘抄原文如下: 例7 写出下列命题的否定: (3)1/x2 2x-3≥0 ① 解: (3)(」)p:1/x2 2x-3＜0 ②;因为p是1/x2 2x-3＞0或1/x2 2x-3=0,(」)p是对p的否定,即为1/x2 2x-3≤0且1/x2 2x-3≠0.     

W.Janous猜测推广的推广

W.Janous猜测:设x,y,z＞0,则x2-z2/y z y2-x2/z x z2-y2/x y≥0文[1]证明了(1)式的如下推广: 设xi＞0(i=1,2,…,n),n≥3,记S=x1 x2 … xn,则当k＞0时,有xk1-xkn/S-x1 xk2-xk1/S-x2 … xkn-xkn-1/S-xb≥0(2)当k＜0时,(2)式不等号反向.     

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

赏析近年“华约”数学试题

例1(2012年清华保送生)f(x)=lnex-1/x,a1=1,an+1=f(an). (1)求证:exx-ex+1≥0恒成立; (2)试求f(x)的单调区间; (3)求证:{an}为递减数列,且an＞0恒成立. 解析:(1)令g(x)=exx-ex+1,则g'(x)=exx. 当x＜0时,g '(x)＜0;当x＞0时,g'(x)＞0. 所以g(x)在(-∞,0)内为减函数,在(0,+∞)内为增函数.所以g(x)≥g(0)=0,即exx-ex+1≥0恒成立.     

错在哪里

1.设函数f(x)=1+2x+4x·a/3(a∈R),若x∈(-∞,1]时,f(x)＞0恒成立,求a的取值范围. 错解:令t=2x. 由f(x)＞0,得at2+t+1＞0恒成立,则a＞0且△=1-4a＜0,解得a＜1/4. 2.如图1所示,一条长为3L的绝缘丝线过圆心穿过两个质量都是m的小金属球A和B,丝线的两端共同系于天花板上的O点,使小金属球带上等量的电荷后,两小金属球便因受静电斥力而使丝线构成一个等边三角形,此时两小球恰处于同一水平线上,若不计小球与丝线的摩擦,求小金属球所带的电量是多少.     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

椭圆x2/c2 y2 b2=1(a＞c＞6＞0,c=√a2-b2)内含于椭圆x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0)、双曲线x2/c2-y2/b2=1(a＞0,b＞0,c=√a2 b2)内含于双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,6＞0).所以,我们不妨把它们叫做"母子"椭圆和双曲线.经过探索研究,它们有如下一个十分有趣性质.     

掌握基市解法的同时应兼顾巧解

人教版全日制普通高级中学教科书(必修)<数学>第二册(上)第6.4不等式的解法举例一节中P18例2解不等式x2--3x+2/x2-2x-3＜0.该题的解法是:根据等价转化的思想方法,原不等式等价为两个不等式组(Ⅰ){x2-3x+2＞0 或(Ⅱ){x2-3x+2＜0x2-2x-3＜0 x2-2x-3＞0.     

对一个错误结论的分析

2012年《数学教学》第2期19页有这样一个结论(结论3):已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),过直线x=a2/t(0＜t＜a)上的点P的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D,则弦AD、BC都过定点N(t,0). 分析:实际上在这篇文章中,结论3是结论2(已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),弦AB、 CD都过定点N(t,0),则AC、BD的交点都在直线x=a2/t)上的逆命题.