对一道中考几何题的思考和探讨

题目如图1,已知两个等圆⊙O1、⊙O2相交于A、B两点,一条直线经过点A,分别与两圆相交于点C、D,MC切⊙O1于点C,MD切⊙O2于点D.若∠BCD＝30°,则∠M＝____.     

一个数学问题的简证

问题:⊙O1、⊙O2内切于P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,求证:AACP22=RR-r.这个问题曾两次刊登于《数学通报》的“数学问题解答”栏目,分别是问题1436和问题1578,并分别由两位老师给出不同的证明方法,笔者通过研究发现,利用平行线分线段成比例这一性质和圆的切割线定理可巧妙地解决这一问题,现给出这一问题简证如下.证明:因为⊙O1、⊙O2内切于P,所以O1、O2、P三点共线,如图连结O1、O2、P三点,并延长使其与⊙O1、⊙O2分别相交于M、N,连结AP,设其与⊙O2交于点D.当A、D分别与M、N重合时,由圆的切割线定理得:AACP22=MMNP=2R-2r2R=RR-r.当A、D与M、N分别不重合时,连结DO2、AO1,所以∠DO2N=2∠DPN,∠AO1M=2∠APM,则∠DO2N=∠AO1M.所以DO2∥AO1,AADP=OO11OP2=R-rR.又由切割线定理得:AACP22=AADP=RR-r.综上所述,AC2AP2=RR-r.(责任编辑李闯)一个数学问题的简证@罗建宇$张家港市暨阳高级中学!江苏215600     

“切点三角形”的探究性学习

题目　如图 1,已知⊙O1 和⊙O2 外切于点P ,AB是⊙O1 和⊙O2 公切线 ,A、B是切点 ,求证 :PA⊥PB(人教版《几何》第三册p .12 9例 4 ) .图中△PAB一般称为切点三角形 .其演变极为丰富 .本文拟对其作一探究 .在探究中注意到合情推理的运用、对称观点的把握和对题目本质的揭示 .探究一 :公切线的演变变 1　公切线演变为一圆切线 ,一圆割线 .如图 2 :直线AB交⊙O1 于点A、C ,切⊙O2 于点B .则结论该如演变 ?简析　此时原题中的点A分化为A、C ,原题中的∠APB分化为∠APB和∠CPB ,易证∠APB+∠CPB =180° .变 2　公切线演变为两…     

“圆”的综合测试题

一、填空题(本大题含10个小题,每小题3分,共30分)1.见图1,已知⊙O的半径OA=5,弦AB的弦心距O C=3,则AB=.2.见图2,⊙O为△ABC的外接圆,AB为直径,AC=BC,则∠A的度数是.3.见图3,已知⊙O1与⊙O2外切于切点P,⊙O1的半径为3,且O1O2=8,则⊙O2的半径R=.4.一个圆锥的底面半径为2,母线长为4,则圆锥的侧面积是.5.见图4,⊙O的半径O D为5cm,直线l⊥O D,则直线l沿射线O D方向平移cm时与⊙O相切.6.见图5,⊙O的半径为1,PA切⊙O于点A,且PA=2,则tan∠APO的值为.7.见图6,AB是⊙O的直径,AB=4,∠CD B=30°,则弦BC的长为.8.⊙O的直径为50cm,…     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

一题三问 一问三解

题目已知,如图1,点P在x轴上,⊙P切y轴于O,直线y=-33x+1与⊙P相切于C,交坐标轴于A、B两点.(1)求⊙P的半径;(2)求点C的坐标;(3)求过A、C、P三点的抛物线的解析式.分析与解(1)思路1根据直线y=-33x+1与坐标轴交于A、B两点,易求得两点的坐标分别为A(3,0)、B(0,1),即BO=1,AO=3,于是可得AB=2.又因⊙P切y轴于O,切直线AC于C,故BO=BC=1,AC=AB+BC=3.如图2,连接PC,在RtACP中,设⊙P的半径为r,根据勾股定理得:(r+3)2-r2=32,解得r=3.思路2由RtAOB∽RtACP,有OAAC=OBPC,即33=1r,得r=3.思路3运用切割线定理,设⊙P与x轴的另一交点为D,…     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

数学奥林匹克问题

本期问题 初189 如图1，在△ABC中，AB：BC：CA=3：5：4，⊙O1、⊙O2是两个互相外切的等圆，且都与边BC相切，其中，⊙O1，又与边AB相切，⊙O2又与边AC相切．已知直线O1O2分别交两圆于点P、Q，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足为M、N.求证：NC=2BM．     

勾画“隐圆” 破解最值

<正>1几个结论1.如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.2.如图2,P是⊙O内的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.3.如图3,当点P在圆上时,直线PO交⊙O于点     

以相似三角形为基点 探圆中等积式的证明

多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1　基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1　直接证相似例 1　已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析　要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则…     

2005年IMO中国国家集训队选拔考试

第一天 一、设⊙ O的内接凸四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点为P,过P、B两点的⊙O1与过P、A两点的⊙O2相交于两点P、Q,且⊙O1、⊙O2分别与⊙O相交于另一点E、F.求证:直线PQ、CE、DF共点或者互相平行.     

“母子圆”的性质

这里把经过另一圆心的圆叫“母圆” ,把圆心在另一圆上的圆叫“子圆” .下面介绍母子圆的性质和相应的中考题 .图 1如图 1,点A在母圆⊙O上 ,子圆⊙A与母圆⊙O交于B、C ,点P是母圆⊙OBC的上的任意一点 (不与点B、C重合 ,且点A、P在直线BC的两侧 ) ,PA交BC于D ,设子圆⊙A的半径为r ,则有下列结论成立 (此文中结论与所注中考原题在形式上略有不同 ,但本质相同 ) .1 PA平分∠BPC .证明 :因为AB =AC ,所以 AB =AC ,所以∠BPA =∠CPA .2 ( 1) .△ABD ∽△APB∽△CPD ;2 ( 2 ) .△ACD ∽△APC∽△BPD .3 .PB·PC =PD·P…     

数学教学中的变式与创新

“新”与“旧”是相对的,创新要以一定的旧知识、方法和能力为前提,没有“旧”也就没有创新。因此,在教学过程中,教师应注重有关知识、方法、能力和数学思想的复习,选准“新”的生长点,利用“变式”为创新做好铺垫。例1(1)如图1所示,AB、AC是⊙O的两条弦,OA平分∠BAC。求证:AB=AC。(2)如图2所示,点A是⊙O外任意一点,过A作直线AB、AC,两直线分别交⊙O于D、B和E、C,且使OA平分∠BAC,求证:BD=CE。(3)如图3所示,点A是⊙O内任意一点,过A作直线AB和AC分别交⊙O于B、E和C、D,并使OA平分∠BAC。求证:BE=CD。利用上面这组变式…     

数学奥林匹克问题

初23.已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高,⊙O_1和⊙O_2分别为△ADC,△BDC内切圆,AC切⊙O_1于点P,BC切⊙O_2于点Q,AO_1,B0_2交于点O,OM⊥O_1O_2于点M。求证:∠O_1PM ∠O_2QN=45°。     

一道中考几何题的多种解法

题目:如图1,⊙O和⊙O＇都经过A、B两点,过B作直线交⊙O于C,交⊙O＇于D,G为圆外一点,GC交⊙O于E。GD交⊙O＇于F。求证:∠EAF ∠G=180°。 (1997,天津市中考题)     

数学问题与解答 2011年第2期问题解答

816.如图1,⊙M和⊙N外切于点F,它们的一条外公切线分别同⊙M和⊙N相切于点A、B,一条平行于AB的直线与⊙N相切于点C,与⊙M相交于点D、E,连结AD、BE,求证：∠BAD=2∠ABE.     

九年级第一学期期末几何质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.正△ABC的边长为1,以点A为圆心、32为半径的圆与边BC所在直线的位置关系是().(A)相交(B)相离(C)相切(D)不能确定图12.如图1,PA切⊙O于点A,OP⊥弦AB.如果PA=15,⊙O的半径为8,则AB的弦心距等于().(A)6017(B)6417(C)15(D)不能求得3.在△ABC中,∠A=90°,⊙O分别与AB、AC切于点D、E,点O在BC上.设AB=a,AC=b.则⊙O的半径等于().(A)aba+b(B)a+bab(C)a+b2(D)ab4.如图2,PQ、PR、AB是⊙O的切线,切点分别是Q、R、S.若∠APB=40°,则∠AOB等于().(A)50°(B)60°(C)70°(D)80°图2图35.如图3,A…     

浅谈“切点三角形”的性质及应用

两圆外切时,该切点和一条外公切线与两圆的两个切点构成的三角形称为“切点三角形”.如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB为⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点.则△APB为切点三角形,它有一个重要的性质,即∠APB=90°.为了证明这一性质,不妨过点P作⊙O1和⊙O2的内公切线PC,交AB于点C.因     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…