椭圆，双曲线的一个性质及应用

设F1，F2为椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a&;gt;b&;gt;0)或双曲线C2：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a,b&;gt;0)的两个焦点，点P（x0,y0)在C1或C2上（x0≠&;#177;a),∠F1PF2=θ,半焦距为c，则     

均值不等式定理的应用

设α、b、c&;gt;0，则α+b/2≥√αb,α+b+c/3≥3√αbc(当且仅当α=b=c时取等号)，这是均值不等式定理，运用它可解答下面几类高考题。     

从双曲线的一个命题谈起

命题1设双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的两焦点为F_1(-c,0),F_2(c,0),点P为双曲线右支上除顶点外的任意一点,∠PF_1F_2=α,∠PF_2F_1=β,则tanα/2cotβ/2=(c-a)/(c a)(*)这个命题经常作为一道解析几何习题出现,证明时往往是利用双曲线的定义、正弦定理及三角函数中有关和角公式与和差化积等知识来进行的,过程比较复杂,这里从略.     

双曲线焦点三角形内心旁心的轨迹方程

文[1]谈了椭圆焦点三角形内心和旁心的轨迹方程,本文进一步谈双曲线焦点三角形内心和旁心的轨迹方程.设M点是双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)是双曲线的两个焦点,称三角形M F1F2为双曲线的焦点三角形.引理(1)设∠M F1F2=α,∠M F2F1=β,M点在双曲线右支上,则t a n2α?c o t2β=c-ac a;M点在双曲线左支上,则t a n2α?c o t2β=cc -aa.引理(2)(如图1)设M(x0,y0),△M F1F2的内心为K,连M K并延长M K交x轴于N点,则N点的横坐标xN=xa02.证明:(1)当M点在双曲线右支上时,鸐F1?s i nβ=鸐s i nFα2?s i n?(Fα1F 2?β…     

双曲线切线的一条性质

定理过双曲线上一点 P 作切线交渐近线于点A、B,则(1)PA=PB;(2)△OAB(O 为双曲线的中心)的面积为定值.证明:不妨设双曲线的方程为 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),渐近线为 y=±(b/a)x,P(x_0,y_0)为双曲线上任一点,则 AB 的方程为 xx_0/a~2-yy_0/b~2=1,与 y=±(b/a)x 联立,     

圆锥曲线定点弦与定直线相关性的推广

经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b>0)的过定点F(m,0)(m>a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p>0)的过定点F(m,0)(m>0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a>b>0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a>0,b>0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M...     

椭圆双曲线离心率的三角表达式及其应用

设椭圆、双曲线的方程分别是b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,b2 x2 -a2 y2 =a2 b2 (a >0 ,b>0 ) ,且P为其图像上的一点 ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β(0 <α <π ,0 <β<π ,F1、F2 为其焦点 ) ,则它们离心率的三角表达式分别为(1)　e椭圆 =sin(α+ β)sinα +sinβ;(2 )　e双曲线 =sin(α + β)｜sinα -sinβ｜.证明　如图 1,∵e椭圆 =ca =2c2a =｜F1F2 ｜｜PF1｜+｜PF2 ｜=2Rsin(α+ β)2R(sinα+sinβ) =sin(α+ β)sinα+sinβ,∴e椭圆 =sin(α + β)sinα+sinβ.(2 )如图 2 ,∵e双曲线 =ca =｜F1F2 ｜｜｜PF1｜-｜PF2 ｜｜=2R…     

斜抛运动中的数学(高二、高三)

若不考虑空气阻力,在如图1所示的坐标系内,物体做斜抛运动的参数方程是 x=v0tcosα① y=v0tsinα-1/2gt2②     

一元二次型问题的内在联系

一元二次型问题包括一元二次式(αx^2+bx+c)、一元二次方程(αx^2+bx+c=0)、二次函数(y=αx^2+bx+c)、一元二次不等式(αx^2+bx+c&;gt;0或αx^2+bx+c&;lt;0)这四类．这四类问题都有一个共同点：都含有一个相同的代数式：αx^2+bx+c，但反映的又是不同类型的问题，     

圆锥曲线平行弦性质探究

文献[1]给出了双曲线平行弦的2个优美性质:性质1过双曲线ax22-yb22=1(a>0,b>0)顶点A的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP与AQ平行,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.性质2MN是过双曲线x2a2-by22=1(a>0,b>0)焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP与MN平行,则|OP|2=2a|MN|.在此基础上,笔者对椭圆与抛物线的平行弦做了探究,有些结论令人惊喜.图1定理1如图1,过椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)顶点A的弦AQ交y轴于点R,过椭圆中心O的半弦OP与AQ平行,则|OP|2=21|AR|·|AQ|.证明设OP的参数方程为x=tcosα;y=tsinα,(α为倾斜角,t为参数)将x,y代入椭圆方…     

再谈双曲线弦的中点的“盲区”

文[1]称双曲线弦的中点不能到达的区域为双曲线的“盲区”，并求得一般的规律：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的“盲区”为区域{（x,y）｜0≤x^2/a^2-y^2/b^2≤1（除原点）}.     

高考中考查初等函数模型的特点

初等函数是能用一个解析式表示的函数，它是由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的函数复合所形成的．在高中数学中初等函数模型约定为16个函数，它们是：y=kx，u=k／x，y=kx+b(b≠0)，y=ax^2+bx+c(a≠0)，y=x^α(α∈Q)，y=a^2(a&;gt;0，a≠1)，y=logax(a&;gt;0，a≠1)，y=sinx，     

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微

定义以椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(1)的两个焦点 F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2-b~2)~(1/2))及椭圆上任意一点 P(但不是长轴顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做椭圆的焦点三角形;以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)(2)的两个焦点F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2 b~2)~(1/2))及双曲线上任意一点 P(但不是双曲线顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做双曲线的焦点三角形(由对称性,本文姑且设 P 在双曲线的右支上).     

双曲线上轴对称点的两个定理及其应用

一、定理定理1 设双曲线 E:x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0,c=(a~2 b~2)~(1/2)和直线 l:y=kx t(k≠0),那么(1)当且仅当00,b     

双曲线的一个不等式及应用

文 [1]～ [4 ]给出了与圆锥曲线有关的一些不等式 ,本文再给出与双曲线有关的一个不等式 ,然后介绍它的应用 .定理　设F是双曲线的一个焦点 ,l是过焦点F且垂直实轴的直线 ,A1、A2 是双曲线与实轴的两个交点 ,P∈l,∠A1PA2 =α ,e是双曲线的离心率 ,则α为锐角 ,且sinα≤ 1e.当且仅当点P到双曲线实轴的距离是双曲线虚半轴长时取等号 .证明　不妨设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1,F(c,0 )为右焦点 ,P位于x轴上方 ,如图 1所示 .易知过点F垂直于x轴的直线l的方程为x =c,从而可设点P的坐标为 (c ,y) (y>0 ) .又知A1(-a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,由…     

双曲线与其共轭双曲线的一条性质

设双曲线E1：x2/a2-y2/b2=1（a〉0,b〉0）,则它的共轭双曲线为E2：x2/a2-y2/b2=-1（a〉0,b〉0）.在对圆锥曲线的研究中,笔者发现了涉及双曲线与共轭双曲线的一个有趣性质,现介绍如下.     

双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论

1、问题的提出:《平面解析几何》课本的给出了双曲线方程x~2/a~2-y~2/b~2=1的渐近线方程x/a±y/b=0,即x~2/a~2-y~2/b~2=0。于是一些学生误认为,一般双曲线方程,只要令其常数为零,即得双曲线的渐近线方程,然而事实并非如此,因为双曲线方程与其渐近线方程相差一个常数。 2、《解析几何答疑解惑》(陕西人民教育出版社)p110有一个结论;以y=±3/5x为渐近线的双曲线方程为:     

从1989年数学高考试题中获得的一点启示

全国、上海、广东的1989年数学试题中涉及形象思维的内容较多,现摘其有代表性的作一些分析如下: 一、全国(文史类)第24题。给定椭圆:(x~2/b~2)+(y~2/a~2)=1(a>b>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。 [分析] 如图1,设所求双曲线方程为 (x~2/α~2)-(y~2/β~2)=-1。     

双曲线及其一个同心圆的性质

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),圆O:x^2+y^2=r^2(r>0).(1)当b>a>0,r^2=a^2b^2/b^2-a^2时,直线l是圆O的切线,若直线l与双曲线C相交于点A、B,则OA⊥OB;(2)当a>b>0,r^2=a^2-b^2时,若从圆O上点P引双曲线C的两条切线PA、PB,则PA⊥PB.     

运用共渐近线的双曲线系来解题

高中解析几何课本有这样一类题目:已知双曲线的渐近线方程,再附有其他已知条件,求此双曲线方程.若能运用共渐近线的双曲线系来解此类问题,常能带来方便,本文试图探讨这一问题. 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和它的共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1有共同的渐近线x/a±y/b=0. 双曲线系x~2/a~2-y~2/b~2=λ(λ≠0)的渐近线方程也是x/a±y/b=0.