关于四面体的一个定理及其应用

四面体是空间最基本的几何体，对它的研究可以使我们在解决立体几何有关问题时找到解题的有效途径．本文将给出一个定理并简单说明其应用．定理设四面体P-ABC的一组对棱PA和BC所成的角为θ，则证明如图设MK是异面直线PA和BC的公垂线段（如图1）.AP和BC所成的角为θ．由异面直线     

从一个特殊的四面体所想到的

正如三角形是平面几何的基本图形一样，四面体也是立体几何的一个基本的几何体在空间的点与线间的关系。线与面的关系、面与面的关系，都可以在四面体上进行研究．特别是有关二面角问题用四面体为载体进行研究更为便捷．下面就来研究一个特殊的四面体即四个面都是直角三角形的四面体，与立体几何题的关系．     

线段垂直的一个充要条件的推广及应用

文[1]给出了平面内两条线段互相垂直的一个充要条件（本文称为定理1）．定理三线段AB与CD垂直的充要条件是对于任意平面四边形，定理1即为“平面四边形的两条对角线互相垂直的充要条件是其两组对边的平方和相等”．若将平面四边形沿其对角钱折成一个空间四边形，其两条对角线与两组对边之间也有此结论．由于空间四边形总对应于一个四面体，因此将定理1推广到四面体中，可得到四面体的如下性质．定理2四面体的一组对棱互相垂直的充要条件是另两组对棱的平方和相等．也就是：在四面体D－ABC中，AB上CD的充要条件是AC’＋BD’一AD’＋B…     

三角形的老大哥——四面体

2003年新教材数学高考题和2002年上海市春季高考题都涉及到三角形中的结论在四面体(有底面的三角面)中的推广，在数学竞赛中更是常见．二角形是最简单的平面图形，四面体是最基本的空间几何体，通过三角形与四面体的类比，可以看到平面几何与立体几何之间的衔接，也可以使奥赛内容与教学内容的交汇和渗透．     

四直四面体中角的若干关系式

我们把四个面均为直角三角形的四面体称为四直四面体．四直四面体是一类很重要的四面体，关于四直四面体中的角有如下若干关系式．     

活跃在立体几何高考题中的明星四面体

四面体是立体几何中最基本的空间图形，立体几何中的许多问题都可化归为四面体中的有关问题，它同时也是数学高考立体几何试题的重要载体之一．其中4个面都是直角三角形的四面体是高考试题中出现频率最高的基本图形，许多命题专家对它情有独钟，是四面体中的“明星”，其中2013年、2014年浙江省数学高考理科试卷中的立体几何大题，其原形均是“明星四面体”．本文先介绍“明星四面体”的有关性质，然后再介绍其应用，供大家参考．     

等面四面体必为等腰四面体——兼论一错解题

贵刊1994年第3期《四面体二面角平分面的性质－文中例2的证明过程有误．该题为“如呆四面体的四个面的面积相等，求证这四个面全等．”它的结论虽不错，但是在原证明中，从四面体的等面性推出四个面皆为等边三角形,这就错了.     

构造四面体 巧解异面直线的夹角

立体几何中两条异面直线的夹角问题。初学者一般通过平移使其相交在三角形中求解。然而在一些空间图形中很难实现平移,如空间四边形、四面体等．文【1】推论1推导的四面体中对棱所在异面直线的夹角公式结构对称。简明易懂．给我们解决这类问题带来一种行之有效的方法．本文以定理形式给出公式．并以人教版高中教材《数学》第二册（下B）部分习题举例。试图拓宽我们的空间识图能力和几何解题能力．     

直角四面体的性质分类与解析

直角四面体(也叫直角三棱锥)是由同一点出发的，两两互相垂直的三条棱所构成的四面体，其中两两垂直的三条棱叫直角棱，两两垂直的三个面叫直角面，另一个面相对来说叫做斜面。     

三角形的性质定理在四面体中的推广

空间最基本的几何图形是四面体,它的每一个面都是三角形,当共顶点的三条棱逐渐缩短,直到该点落到对面三角形所在平面,空间图形又回到平面图形．也就是说,四面体与三角形之间有着必然的联系．三角形的如下性质已经类比地推广到了四面体中：     

四面体在空间图形计算中的作用

任何一个多方面体都可分割成四面体,进而分割成四个面都是直角三角形的四面体(如图)。因此,可以认为一切多面体都可由基本的单一的四个面为直角三角形的四面体经过有限次组合而得到。本文就此谈谈笔者的一管之见. 首先指出,如图所示的四面体,如果知道其面角中的八个锐角和六条     

关于四面体二面角平分面面积的不等式

本文建立了一个关于四面体二面角的三角恒等式，进而获得两个关于四面体二面角平分面面积的几何不等式及其推论。     

等面四面体的一个重要性质

我们知道,三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体,它的四个面为全等三角形,本文介绍等面四面体一个重要的非常有趣的性质。     

四面体的功能探研

载体功能。以四面体为裁体的问题大多新、奇、巧，能够考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、分类讨论能力等，在各类竞赛和考试中，命题人情有独钟．要求学生应熟练掌握四面体的点、线、面、体相关知识．     

一个面积最值命题的简证

文[1]将一个面积最值问题和结论(本文略去)推广到空间。 问题 设P为三面角O-XYZ内一点,过P作一个平面,使它与三面角O-XYZ的三个面所围成的四面体的体积最小。 定理 若四面体O-ABC是满足上述要求的体积最小的四面体,则P必为△ABC的重心。     

垂心四面体的垂心的一个向量形式——兼谈四面体的垂心与欧拉球心之间的关系

众所周知,对棱互相垂直的四面体存在惟一确定的垂心,这样的四面体称为垂心四面体．本文首先给出垂心四面体的垂心的一个向量形式并说明其应用,然后揭示四面体的垂心与欧拉球心之间的关系．     

如何识读“组合体”

如何识读“组合体”四川张有若“组合体”是各级各类工科学校制图课中．都已进入的一个基本的重要的教学内容。其中．怎样按照“形体分析法”去识读组合体的视图，对“悟性强”、“天份高”的学生．自然不在话下，对一般学生，却是一个不大不小的难题。准点有四．且都在公...     

一个四面体体积公式及其应用

本文介绍了一个四面体的体积公式,并据其形式特点列举了运用这一公式在求四面体体积,确定两异面直线空间位置等方面的独道之处。     

关于四面体的一个新的不等式

关于四面体不等式的研究已取得了不少重要成果.本文给出一个关于四面体的一个新的不等式. 为了便于叙述，首先给出 引理1 若12,,,,,naaaR 鬃a>b则 111212()(),nnaaaaaannaaabbbba 鬃? 鬃?当且仅当12naaa==鬃?时取等号. 该命题的证明见文[1]. 引理2 设四面体1234AAAA中三对对棱之间的距离分别为123,,,ddd且P为四面体内任意一点,记(1,2,3,4)iiPARi==, 则 22221234123()4(),RRRRddd ? 当且仅当四面体为等面四面体,且P为其外心时取等号. 下面就是本人建立的关于四面体的新的不等式: 定理 若引理2中的条件成立,且,nN 1n>,则 1234nnnn…     

任意四面体的一个性质

在平面几何中，过平行四边形对角线交点的任一直线必将此平行四边形分成等面积的两部分．本文将给出立体几何中关于任意四面体的一个类似性质．定理在四面体ABCD中，E、F分别为相对棱BC、AD的中点，则过E、F两点的任一个平面必将此四面体分成等体积的两部分．证由于E是CB之中点，所以C、B到平面EPFQ的距离相等．这里EPFQ是过E、F的任一平面，且交CD于P，交AB于Q，交BD延长线于G，如图所示．设四面体ABCD的体积为V，由平几中的梅氏定理得：由①②知：平面EPFQ平分四面体的体积．当平面QEPF与BD平行时结论显然成立．综上…